Классич. опред-ие вер-ти события. Формулы комбинаторики.

Исходы эксперимента наз-ся равновозможными, если вер-ти их наступления равны м/у собой.

Опр. Вер-ти событий, эксперименты кот. можно разложить на равновозможные исходы, равны отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов.

, где m - это число благоприятных событий А, n - общее число возможных исходов.

Исход наз-ся благоприятствующим событию А, если его появление влечет появление события А.

Формулы комбинаторики: 1) Сочетаниями из n элементов по m наз. соединения, состоящие из m элементов и отличающихся друг от друга составом элементов. Число сочетаний равно числу способов выбора соединений из m элементов из общего числа n элементов.

2) Размещениями из n элементов по m наз. соединения, состоящие из m элементов и отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком их следования.

3) Перестановками из n элементов наз. соединения, состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга порядком следования элементов.

4) Если в сочетании из n эл-тов по m некот. эл-ты повторяются, то их наз. сочетанием с повторением:

5) Если в размещениях из n эл-тов по m некот. эл-ты повторяются, то их наз. размещение с повторением:

 

Геометрическое определение вероятности события.

Согласно геометрич. схеме опред-ия вер-ти. Вер-ть события, эксперимент по воспроизведению кот. можно разложить на бесконечное число равно возможных исходов, равна отшению меры благоприятствующей данному событию области к мере всей области. , где m(G) – мера благоприятствующей обл.

m(S) – мера всей обл.

В кач-ве меры может выступать длина отрезка, площадь фигуры или объем тела.

В обл. S появл. случайная точка. Внутри обл. S выделяются замкнутые обл. G₁, G₂ и G₃, тогда вер-ть того, что случайная точка обл. S окажется в замкнутых обл. равна:

 

21.Точные законы распред-ия С.В. Распред-ие Стьюдента.

К точным относятся законы распред-ия непрерывных С.В, в формуле плотности распред-ия вер-тей кот. присутствуют только точные значения параметров, но никак ни значения определяемых по статистич. данным.

Пусть мы имеем С.В. V, распределенную по закону с n степенями свободы. Также задана С.В. Z, распределенная по закону Гаусса. С.В. V и Z независимы. Сконструируем из них новую С.В. T по формуле:

Получившийся в результате исследования закон распределения величины T получил название распред-ие Стьюдента. Ф-ия плотности этого распред-ия имеет вид:

Параметр n обозначает число степеней свободы.

 

 

22.Точные законы распред-ия С.В. Распред-ие Фишера-Снедекора.

К точным относятся законы распред-ия непрерывных С.В, в формуле плотности распред-ия вер-тей кот. присутствуют только точные значения параметров, но никак ни значения определяемых по статистич. данным.

Пусть две независим. С.В. U и V распределены по закону со степенями свободы k₁ и k₂ соответственно. Из этих величин конструируется новая С.В. .

Исследования закона распред-ия С.В. F показало, что ф-ия плотности этого распред-ия имеет вид:

Всегда f(x) > 0

23. Понятие двумерной дискретной СВ и таблица её распред-ия.

Опр. ДвумернаяС.В. (X; Y) наз. дискретной, если С.В. X и Y дискретны, т.е.конечны.

Если С.В. Х может принимать только значения x₁,x₂…x_n, а С.В. Y – значения y₁, y₂…y_n, то двумерный случайныя вектор (X; Y) может принимать только пары значений , где, j . Также, как и в одномерном случае, распред-ие двумерной дискретной С.В. естественно описывается с помощью таблицы:

Функция распред-ия двумерной С.В.

Опр. ДвумернаяС.В. (X; Y) наз. дискретной, если С.В. X и Y дискретны, т.е.конечны.

Опр. Функцией распред-ия F(x, y) двумерной С.В. (X,Y) наз. вер-ть того, что X < x, а Y < y. F(x,y) = p(X < x, Y < y)

Замечание. Определение ф-ии распред-ия справедливо как для непрерывной, так и для дискретной С.В.

Св-ва: 1) 0 <F(x, y)< 1, т.к. F(x, y)явл. вер-тью;

2) F(x, y)есть неубывающая ф-ия по каждому аргументу.

F(x₂, y) F(x₁, y), еслиx₂ > x₁; F(x, y­₂) F(x, y₁), еслиy₂ > y₁;

3) Имеет место предельное соотношение:

4) При y = ф-ия распред-ия двумерной С.В. становится ф-ий распред-ия составляющей X:

При x = ф-ия распред-ия двумерной С.В. становится ф-ий распред-ия составляющей Y: