ТОП 10:

Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты при разности фаз, равной p



Сложим два взаимно перпендикулярных гармонических колеба- ния одинаковой циклической частоты, происходящих вдоль осей x и y, разность начальных фаз которых равна p


 

x = A cos wt , (6.29)

y =B cos (wt +p).

Так как cos(wt + p) = - coswt , то

y = -B cos wt . (6.30)

Разделив (6.30) на (6.29), получим урав- нение прямой с отрицательным значением

тангенса угла наклона y = - B x (рис. 6.9).

A

Результирующее движение — гармониче-

ское колебание с амплитудой C = ,


частотой w, совершающееся вдоль отрезка, на-

клоненного к оси х под углом ⎛180 - arctg A⎞.

 


Рис. 6.9


⎝⎜ B ⎟⎠

Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты при разности фаз, равной p

Сложим два взаимно перпендикулярных гармонических колеба-

ния одинаквой циклической частоты, происходящих вдоль осей x и

y, разность начальных фаз которых равна p.


x = A cos wt , 2

y = B cos ⎛wt + p⎞.


(6. 31)


⎜⎝ 2 ⎟⎠

Так как cos ⎛wt + p⎞= -sin wt , то


⎝⎜ 2 ⎟⎠


 

y = -B sin wt


 

. (6.32)


Представим уравнения (6.31) и (6.32) в виде

x = cos wt ,

A

y = -sin wt .

B

Возведем уравнение в квадрат и сложим

       
   

x2 + y2 =

A2 B2 1 . (6.33)


 

Уравнение (6.33) — уравнение эллипса с полуосями А и В (рис. 6.10).

Движение, происходящее по траектории (6.33), не является гармоническим.

Материальная точка описывает эллипс за

время, равное периоду складываемых коле-

баний T = 2p. Если j - j = p, то движе-


Рис. 6.10


w 02 01 2


ние материальной точки по эллипсу проис-

ходит по часовой стрелке. Если j - j = - p, то движение проис-

02 01 2

ходит против часовой стрелки. Если А = В, то эллипс вырождается

в окружность.

При сложении взаимно перпендикулярных гармонических коле- баний с разными частотами результирующее движение будет проис- ходить по сложным траекториям, называемым фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот составляю- щих колебаний и разности их начальных фаз.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. В чем различие колебаний, получающихся в результате сложе- ния двух одинаково направленных гармонических колебаний одина- ковой частоты и с мало различающимися частотами?

2. Чем различаются результаты сложения двух гармонических ко- лебаний одинаковой частоты, направленных вдоль одной прямой и взаимно перпендикулярных?

3. При каких условиях в результате сложения двух взаимно перпен- дикулярных колебаний одинаковой частоты получаются колебания, траекториями движения которых будут эллипс, круг и отрезок?

4. Покажите, что равномерное движение материальной точки по окружности можно представить как результат сложения двух взаим- но перпендикулярных колебаний.

5. Что изменится в уравнении гармонических колебаний, если на век- торной диаграмме вращать вектор амплитуды по часовой стрелке?

6. Можно ли с помощью векторной диаграммы найти результат сложения трех одинаково направленных гармонических колебаний одной частоты?


 

Примеры решения задач

Задача 6.9

Вычислить амплитуду результирующего колебания, полученно- го путем сложения двух гармонических колебаний, совершающихся вдоль одного направления с одинаковыми периодами и амплитудами, равными А1 = 10 см, А2 = 20 см. На-

чальные фазы колебаний равны со-


ответственно j


=p

01 3


и j =p.

02 6


Дано: T1 = T2 = T; w1 = w2 = w;


j = p; j

01 3


= p; А1 = 0,1 м;

02 6


А2 = 0,2 м.

Найти: А.

Чтобы сложить два гармонических колебания, происходящих вдоль оси х

x1(t) = A1 cos(wt + j01) и x2 (t) = A2 cos(wt + j02 ) ,

воспользуемся методом векторных диаграмм. �

Из начала оси (с�м. рис) проведем под у�глом j01вектор A1, под уг-

л�ом j�02— вектор A2. Построи�м в�ектор�A , равный сумме векторов

A1 и A2 . Проекции векторов A1 , A2 и A на ось x определяют состав-

ляющие колебания x1(t), x2 (t) и результирующее колебание x (t). A и

j0 — амплитуда и начальная фаза результирующего колебания.

Из треугольника ÄOA1A по теореме косинусов для момента вре- мени t = 0 имеем


A =

=

 

tgj


=

 

=A1 sin j01 + A2 sin j02 .


0 A cos j + A cosj

1 01 2 02

Ответ: амплитуда результирующего колебания

A = (0,1)2+(0, 2)2+2 ×0,1×0, 2 cos 30 =

= 0, 01+0, 04 +0, 04 ×0,87 =0, 29 м,


 

начальная фаза:


tgj0


=0,1sin 60°+ 0, 2 sin 30° =0,83, 0,1cos 60°+ 0, 2 cos 30°


j0 = arctg0,83 = 39° = 0, 68 рад.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.229.119.29 (0.007 с.)