Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты при разности фаз, равной p

Сложим два взаимно перпендикулярных гармонических колеба- ния одинаковой циклической частоты, происходящих вдоль осей x и y, разность начальных фаз которых равна p

 

x = A cos w t, (6.29)

y = B cos (w t +p).

Так как cos(w t + p) = - cosw t, то

y = - B cos w t. (6.30)

Разделив (6.30) на (6.29), получим урав- нение прямой с отрицательным значением

тангенса угла наклона y = - B x (рис. 6.9).

A

Результирующее движение — гармониче-

ское колебание с амплитудой C =,

частотой w, совершающееся вдоль отрезка, на-

клоненного к оси х под углом ⎛180 - arctg A ⎞.

 

Рис. 6.9

⎝⎜ B ⎟⎠

Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты при разности фаз, равной p

Сложим два взаимно перпендикулярных гармонических колеба-

ния одинаквой циклической частоты, происходящих вдоль осей x и

y, разность начальных фаз которых равна p.

x = A cos w t, 2

y = B cos ⎛w t + p ⎞.

(6. 31)

⎜⎝ 2 ⎟⎠

Так как cos ⎛w t + p ⎞= -sin w t, то

⎝⎜ 2 ⎟⎠

 

y = - B sin w t

 

. (6.32)

Представим уравнения (6.31) и (6.32) в виде

x = cos w t,

A

y = -sin w t.

B

Возведем уравнение в квадрат и сложим

x 2 + y 2 =

A 2 B 2 1. (6.33)

 

Уравнение (6.33) — уравнение эллипса с полуосями А и В (рис. 6.10).

Движение, происходящее по траектории (6.33), не является гармоническим.

Материальная точка описывает эллипс за

время, равное периоду складываемых коле-

баний T = 2p. Если j - j = p, то движе-

Рис. 6.10

w 02 01 2

ние материальной точки по эллипсу проис-

ходит по часовой стрелке. Если j - j = - p, то движение проис-

02 01 2

ходит против часовой стрелки. Если А = В, то эллипс вырождается

в окружность.

При сложении взаимно перпендикулярных гармонических коле- баний с разными частотами результирующее движение будет проис- ходить по сложным траекториям, называемым фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот составляю- щих колебаний и разности их начальных фаз.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. В чем различие колебаний, получающихся в результате сложе- ния двух одинаково направленных гармонических колебаний одина- ковой частоты и с мало различающимися частотами?

2. Чем различаются результаты сложения двух гармонических ко- лебаний одинаковой частоты, направленных вдоль одной прямой и взаимно перпендикулярных?

3. При каких условиях в результате сложения двух взаимно перпен- дикулярных колебаний одинаковой частоты получаются колебания, траекториями движения которых будут эллипс, круг и отрезок?

4. Покажите, что равномерное движение материальной точки по окружности можно представить как результат сложения двух взаим- но перпендикулярных колебаний.

5. Что изменится в уравнении гармонических колебаний, если на век- торной диаграмме вращать вектор амплитуды по часовой стрелке?

6. Можно ли с помощью векторной диаграммы найти результат сложения трех одинаково направленных гармонических колебаний одной частоты?

 

Примеры решения задач

Задача 6.9

Вычислить амплитуду результирующего колебания, полученно- го путем сложения двух гармонических колебаний, совершающихся вдоль одного направления с одинаковыми периодами и амплитудами, равными А 1 = 10 см, А 2 = 20 см. На-

чальные фазы колебаний равны со-

ответственно j

= p

01 3

и j = p.

02 6

Дано: T 1 = T 2 = T; w1 = w2 = w;

j = p; j

01 3

= p; А 1 = 0,1 м;

02 6

А 2 = 0,2 м.

Найти: А.

Чтобы сложить два гармонических колебания, происходящих вдоль оси х

x 1(t) = A 1 cos(w t + j01) и x 2 (t) = A 2 cos(w t + j02),

воспользуемся методом векторных диаграмм. �

Из начала оси (с�м. рис) проведем под у�глом j01вектор A 1, под уг-

л�ом j�02— вектор A 2. Построи�м в�ектор� A, равный сумме векторов

A 1 и A 2. Проекции векторов A 1, A 2 и A на ось x определяют состав-

ляющие колебания x 1(t), x 2 (t) и результирующее колебание x (t). A и

j0 — амплитуда и начальная фаза результирующего колебания.

Из треугольника Ä OA 1 A по теореме косинусов для момента вре- мени t = 0 имеем

A =

=

 

tgj

=

 

= A 1 sin j01 + A 2 sin j02.

0 A cos j + A cosj

1 01 2 02

Ответ: амплитуда результирующего колебания

A = (0,1)2+(0, 2)2+2 ×0,1×0, 2 cos 30 =

= 0, 01+0, 04 +0, 04 ×0,87 =0, 29 м,

 

начальная фаза:

tgj0

= 0,1sin 60°+ 0, 2 sin 30° =0,83, 0,1cos 60°+ 0, 2 cos 30°

j0 = arctg0,83 = 39° = 0, 68 рад.