ТОП 10:

Глава 3 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ



В предыдущих разделах изучение движения тел осуществлялось в рамках трех законов Ньютона. При таком подходе центральным явля- ется понятие силы — векторной меры взаимодействия материальных объектов. В настоящей главе рассматривается альтернативное описа- ние движения тел с помощью понятий энергии и импульса. Важной особенностью этих величин является то, что они при определенных и достаточно общих условиях сохраняются, т. е. при любых измене- ниях в механической системе остаются постоянными. Эти свойст- ва позволяют не только глубже заглянуть в устройство материи, но и представляют собой другой, не менее мощный инструмент решения практических задач.

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Механическая система — совокупность выбранных для рассмот- рения тел, взаимодействующих между собой при непосредственном контакте (трение, давление тел друг на друга) или посредством фи- зических полей. В частных случаях система может состоять из одно- го тела или из невзаимодействующих тел.

Замкнутая система — механическая система, не взаимодействую- щая с внешними телами.

Внешние тела — тела, не входящие в состав рассматриваемой ме- ханической системы.

Внешние силы — силы, действующие на механическую систему со стороны внешних тел.

Внутренние силы — силы взаимодействия между частями рассмат- риваемой механической системы.


3.1. Основные понятия и определения 149

 

Консервативные (потенциальные) силы — силы, работа которых за- висит только от начальных и конечных положений точек их прило- жения и не зависит ни от вида траекторий этих точек, ни от законов их движения по траекториям.

Физическое поле — особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие материальных тел, не находящих- ся в контакте.

Стационарное поле — не изменяющеес�я с течением времени фи- зическое поле; в любой точке поля сила F , действующая на тело, не

зависит явно от времени.

Потенциальное поле — стационарное поле, в котором на матери- альную точку действуют потенциальные силы.

Консервативная механическая система — система, в которой ра- бота действующих сил зависит только от ее начального и конечного положений; в этих системах все действующие на материальную точ- ку непотенциальные силы работы не совершают, а все внешние по- тенциальные силы стационарны.

Импульс (количество движения) материальной точки — вектор-

ная величина � , равная произведению массы m частицы на ее ско-

pi i

vi
рость � .

� �

pi = mi vi .

Импульс системы — геометрическая сумма импульсов всех мате- риальных тел системы

� �


p
p = å

i


. (3.1)

i


Импульс силы (элементарный) — векторная величина F Ät , равная произведению силы F на время Ät ее действия на тело.

Работа силы — мера действия силы на материальное тело, зави- сящая от величины силы, ее направления и пути, пройденного точ- кой приложения.

Энергия — общая количественная мера движения и взаимодейст- вия всех видов материи. Энергия не возникает из ничего и не исче- зает, она может только переходить из одной формы в другую. Соглас- но классическим представлениям энергия любой системы меняется непрерывно и может принимать любые значения.


 

РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ

Изменение механического движения тела может быть вызвано только действующими на него силами. Для количественного описа- ния такого силового воздействия на данное тело других тел в меха- нике пользуются понятием работы силы, приложенной к рассмат- риваемому телу. Напомним, что результирующая сила, действующая на тело, — это мера взаимодействия данного тела с другими телами системы.

 

Работа постоянной силы

Пусть тело находится на горизонтальной плоскости (рис. 3.1).

 

 

F F

А б в

Рис. 3.1

и к нему приложены четыре постоянные силы: � — сила тяжести;

mg

N – нормальная сила реакции опор�ы; Fтр — сила трения; F — внеш- няя сила. Работа постоянной силы F при перемещении тела на пря-

молинейном участке пути S определяется соотношением

AF = F × S × cos a , (3.2)


где F = F


— модуль силы; a — угол между направлением силы и на-


правлением перемещения. Формулу�(3.2) можно предст�авить в виде

скалярного произведения вектора F силы на вектор S перемеще-


ния тела


� �

AF = (F , S ) = FxSx+ FySy+ FzSz. (3.3)


Работу каждой из остальных трех сил, приложенных к телу, запи- шем в следующем виде:


 


A = ( , ) = F S cos p = -F S ; A


= (m �, �) = mgS cos p= 0 ;


тр
F Fтр S


 

тр тр


mg g S 2


N N S
A = ( � , �) = NS cos p= 0 . (3.4)

Согласно формуле (3.2) работа AF> 0 , если угол a�< p/2; AF= 0

при a = p/2. При значениях p/2 < a £ p работа силы F отрицатель-

на ( AF < 0 ). Работа силы трения отрицательна, поскольку a = p и cos p = –1. Силы тяжести и реакции работы не совершают, так как направлены под прямым углом к перемещению (a = p/2).

В системе СИ единицей измерения работы является джоуль (Дж). Один джоуль — работа силы в 1 Н при перемещении тела на расстоя- ние 1 м в направлении действия силы. Размерность этой величины: 1 Дж = 1 Н · 1 м = 1 кг · м2 · с–2.

Внесистемные единицы работы: 1 кал = 1 калория = 4,1868 Дж; 1 Вт· ч = 1 Ватт· час = 3600 Дж.

С работой от нескольких до сотен джоулей человек имеет дело в повседневной практике. Поднимая рукой равномерно стакан мас- сой m = 200 г на высоту h = 1 м мускульная сила совершает работу А = mgh = 0,2 · 9,8 · 1 = 1,96 (Дж); опуская равномерно ящик массой m = 25 кг на расстояние h = 1 м работа мускульной силы — А = –mgh =

= –25 · 9,8 · 1 = –245 (Дж).

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение работы, совершаемой постоянной силой. В чем состоит физический смысл работы силы?

2. Назовите три условия, необходимые для совершения силой ра- боты, отличной от нуля.

3. При каких условиях работа силы положительна, отрицатель- на, равна нулю?

4. Представьте работу силы в виде произведения модулей силы и перемещения, а также через проекции векторов силы и перемеще- ния на оси координат.

5. Зависит ли работа, совершаемая силой над телом, от выбора системы отсчета?

6. Совершает ли работу центростремительная сила при перемеще- нии тела по криволинейной траектории?


 

7. Может ли сила реакции опоры совершать работу? Рассмотри- те движение тела по горизонтальной поверхности, по поверхности, расположенной под углом к горизонту, и вдоль вертикальной оси вверх и вниз.

8. Почему работа силы трения при перемещении тела по непод- вижной горизонтальной плоскости отрицательна?

9. Равную ли работу совершает сила тяжести тела, свободно падаю- щего с некоторой высоты, за одинаковые промежутки времени?

10. Дайте графическую интерпретацию работы, откладывая вдоль вертикальной оси значения проекции силы на направление переме- щения, а вдоль другой оси — пройденное телом расстояние.

 

Примеры решения задач

Задача 3.1

Лифт массой m = 300 кг равномерно поднимается на высоту h =

10 м. Найти работы AF и Amg , которые совершают при этом сила на- тяжения каната, поднимающего лифт, и его сила тяжести.

Дано: m = 300 кг; h = 10 м.

Найти: �AF , Amg. �


Пусть F — сила натяжения каната, mg


— сила тяжести лифта,


поднимающегося равномерно вертикально вверх. Принимая во вни- мание первый закон Ньютона и определение работы силы, запишем следующую систему уравнений:

� �

F + mg = 0 — условие равномерного движения лифта (1)

(первый закон Ньютона);

AF = Fhcos0° — работа силы натяжения; (2)

Amg = mgh cosp – работа силы тяжести; (3)

Поскольку угол между направлениями силы натяжения и переме- щения лифта равен нулю, то в соотношении (2) присутствует множи- тель cos0°. Противоположные направления силы тяжести и переме- щения обуславливают наличие в формуле (3) множителя cosp.

Из равенства (1) имеем

F = mg. (4)


 

Подставляя модуль силы натяжения каната (4) в соотношение (2) и учитывая, что cos0° = 1, cosp = –1, запишем выражения для работ и получим их численные значения

AF = mgh = 29400 Дж = 29,4 кДж,

Amg = –mgh = –29,4 кДж.

Отметим, что полная работа, совершаемая силами, действующи- ми на лифт, равна нулю

AF + Amg = 0.

Этот результат является следствием того, что результирующая сила, приложенная к лифту, равна нулю.

Ответ: AF = 29,4 кДж; Amg = –29,4 кДж.

 

  α α
Задача 3.2

Найти работу Amg силы тяжести при дви- жении тела массой m с высоты h по наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом.

Дано: m, h, a. Найти: Amg.

Запишем выражение для работы согласно ее определению

A = (m �, �) = mgS cos( p- a) , (1)

mg g S 2


Учитывая, что


Amg = mgS sin a . (2)

h = S sina,


где S — длина плоскости, по которой движется тело, запишем окон- чательный результат в виде

Amg = mgh.

Ответ: Amg = mgh — работа силы тяжести зависит не от длины пути по наклонной плоскости, а от высоты h, на которую опуска- ется тело.


 

Задача 3.3

Математический маятник со- стоит из нити длиной L и матери- альной точки массой m, к которой приложена постоянная внешняя го-

ризонтальная сила F = iF . Найти

работу внешней силы AF, силы на- тяжения нити AT, силы тяжести Amg при перемещении материальной

точки от равновесного положения до остановки.

Дано: L, m, F. Найти: AF, AT, Amg.

Для решения задачи запишем следующую систему уравнений:

� � �

T + mg + F = 0 — условие равновесия в конечной (1)

точке траектории;

� � � � �

AF = ò(F , dS ) = ò(iF , idx + jdy) — работа внешней силы; (2)


S S

A = (m �, d �) = (- �


� �

g, x + y) — работа силы тяжести; (3)


mg ò g S

S


ò jm id jd

S


� � p

A = ( , ) = TdS cos = 0 — работа силы натяжения нити. (4)

T òT dS ò 2

S S

Представим векторное уравнение (1) в виде проекций на оси Оx

и Oy

T sin a0 =F;


 

и получим


T cos a = mg;


F mg

sin a0= , cosa = . (5)

� �

��Так как скалярное произведение единичных векторов (i , j ) = 0 ,

(i , i ) = 1, то выражение (2) преобразуем к виду

x0

AF = òFdx = Fx0 , (6)

где x0 = Lsina0 (см. рис). Учитывая последнее равенство и первое из

двух соотношений в (5), запишем работу (6) в окончательном виде


 


AF =


F 2 L

.


 

Аналогично из соотношения (3) для работы силы тяжести получим

y0


Amg


= - òmgdy = -mgy0 ,


где y0 = L(1 – cosa0). С учетом (5) последний результат принимает окончательный вид, представленный в ответе.


Ответ: AF =


F 2 L


; AT = 0 ; Amg = -mgL ⎜1-


mg

⎟.


 

Работа переменной силы

В процессе движения тела силы, приложенные к нему, могут из- меняться по величине и направлению. Поэтому нельзя пользовать- ся определением работы (3.2), (3.3) и необходимо его обобщение. Для этого представим траекторию движения тела в виде непрерывно-

го�ряда N отдельных (элементарных) прямолинейны�х перемещений ÄSi, (i = 1, 2, 3, … N), на каждом из которых силу Fi , д�ействующую на тело, будем считать постоянной. Тогда работу силы Fi на i-ом уча-

стке траектории можно представить в форме (3.3)

� �

ÄAi = (Fi , ÄSi ) , (3.5)

а работу по перемещению тела вдоль всей траектории — в виде сум- мы на отдельных ее участках

N N � �

A » åÄAi= å(Fi, ÄSi).

i =1 i =1

Просуммировав элементарные работы для каждого из переме- щений, получим приближенное значение работы силы на всем пути. Если число N разбиений траектории S увеличивать, то точность при-

ближенного равенства будет возр�астать. Погрешность равенства при безграничном убывании всех ÄSi стремится к нулю. Точное значе-

ние работы получается как предел бесконечной суммы

N N � �

A = lim åÄAi= lim å(Fi, ÄSi). (3.6)

N ®¥ i =1 N ®¥ i =1


 

в предположении, что длины всех векторов ÄSi одновременно стре-

мятся к нулю. Используя для предельной суммы в последнем соот- ношении обозначение, принятое в интегральном исчислении, запи-


шем (3.6) в виде


� �

A = òdA = ò(F , dS ) = òFS× dS , (3.7)


S S S

где FS– проек�ция вектора силы на направление элементарного пе-


ремещения dS .

Согласно (3.7) работа силы


F представляет собой интеграл по


траектории�S. В� общем случае сила является функцией координат и времени: F = F (x, y, z, t) .

Если на всем пути проекция вектора силы на направление пере- мещения постоянна, то значение FS для всех элементов суммы одно и то же и его можно вынести из-под знака интеграла

A = FSòdS. (3.8)

S

Примером может служить движение тела по наклонной плоско- сти (см. задачу 3.2). Входящий в выражение (3.8) интеграл равен дли- не траектории S, т. е.

A = FSS = FS cosa. (3.9)

Для тела, движущегося по прямолинейной�траектории, к которо- му под углом a приложена постоянная сила F , последнее соотноше-

ние приводитс�я к виду (3.3).

Если сила F постоянна по величине и направлению, но величи-

на ее проекции на направление перемещения изменяется, так как траектория движения не прямолинейна, то из-под знака интеграла в (3.7) можно вынести модуль вектора силы F

� �

A = Fòcos(F , ^ dS ) × dS , (3.10)

S � �

где в�ыраж�ение под знаком косинуса (F , ^ dS ) — угол между вектора-

ми F и dS (не путать со скалярным произведением векторов!). Под

знаком интеграла стоит проекция элементарного перемещения на постоянное направление силы. Но сумма проекций всех элементов пути на постоянное направление равна проекции всего пути на это направление. Следовательно, работа силы равна


 

A = FSF,

гд�е SF— длина проекции всего пути на постоянное направление силы

F . Примером может служить работа силы тяжести при движении тела

по произвольному криволинейному пути (см. задачу 3.4).

Для характеристики работы, совершаемой за единицу времени, пользуются понятием мощности. Мгновенной мощностью называет- ся скалярная физическая величина Р, равная отношению элементар- ной работы dA к бесконечно малому промежутку времени dt, в тече- ние которого работа совершается,

P(t) = dA . (3.11)

dt � �

Принимая во внимание, что dA = (F , dS ) , соотношение (3.11) пе-


репишем в виде,


� � �


       
   

P(t) = (F , dS ) = ⎛� , dS ⎞= ( � , �) ,


dt ⎜⎝ F


dt F v


v
т. е. мощность равна скалярному произведению силы F на скорость тела � . В общем случае мощность изменяется со временем.

Средней мощностью в интервале времени от t до t + Ät называет- ся величина áP t)ñ, равная отношению работы ÄA, совершаемой за этот промежуток времени, к его продолжительности


Pt)


=ÄA .

Ät


Единица мощности — Ватт (Вт) 1 Вт = 1 Дж/1 с.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение элементарной работы, совершаемой пере- менной силой.

2. При каких условиях работа силы на элементарном участке пути положительна, отрицательна, равна нулю?

3. Представьте работу силы на элементарном участке пути в виде произведения модулей силы и элементарного перемещения, а так- же через проекции векторов силы и элементарного перемещения на оси координат.


 

4. Если вагонетка приходит в движение по горизонтальному пути от кратковременного толчка человека, то совершает ли он при этом работу?

5. Дайте определение работы переменной силы как предельной суммы работ на элементарных участках траектории.

6. Дайте определение работы переменной силы как интеграла по траектории движения тела.

7. Получите на основании интегрального представления (3.7) ра- боты переменной силы выражение (3.3) для работы постоянной силы при перемещении тела по горизонтальному пути.

8. Дайте определение мгновенной и средней мощности.

9. Покажите на примерах, что средняя мощность зависит от ин- тервала времени, в течение которого совершается работа.

 

Примеры решения задач

Задача 3.4

Найти работу Amg силы тяжести при движении тела массой m с высоты h до горизонтальной плоскости по произ- вольной криволинейной траектории.

Дано: m, h. Найти: Amg.

Для нахождения работы Amg воспользуемся соотношением

A = (m �, d �) = mg cos(m �, ^ d �)dS , (1)

mg ò g S ò g S

где mg —� модуль силы тяжести; выражени�е под знаком косинуса

mg
mg
( �, ^ dS ) — угол между векторами � и dS .

Так как длина проекции элементарного смещения dS на направ-

ление силы тяжести, т. е. на вертикальное нап�равление, есть элемен-

тарное изменение высоты тела, то cos ( �, ^ dS ) dS = dh. Следователь-

mg

но, проекция всего пути на направление вектора mg совпадает с вы-

сотой h, на которую спускается тело при движении по криволинейной


mg dS
траектории, т. е.


òcos( �, ^ �)dS = h . (2)


Подставляя (2) в соотношение (1), имеем


 

Amg = mgh.

Последний результат означает, что работа силы тяжести, как и в задаче 3.2, не зависит от длины и формы траектории, а определяется лишь изменением высоты тела при движении, т. е. его начальным и конечным положениями по вертикали. Согласно данным выше оп- ределениям в этой задаче рассмотрена консервативная механическая система, сила тяжести — потенциальная.

Ответ: Amg = mgh.

 

Задача 3.5

Найти работу Aупрупругой силы и работу AFвнешней силы при равно- мерном растяжении пружины с коэффициентом упругости k = 120 Н/м на расстояние ÄL = 30 см от недеформированного состояния.

Дано: k = 120 Н/м; ÄL = 30 см = 0,3 м. Найти: Aупр, AF.

Пусть сила, возникающая в растягиваемой пружине, подчиняет-


ся закону Гука


 

 
Fупр = - kx , �


где k — коэффициент упругости пружины; x — вектор деформации

x
( � = x – абсолютное удлинение пружины). Знак минус указывает,

что сила упругости и вектор деформации пружины направлены про- тивоположно. Элементарная работа силы упругости определяется следующим образом


dAупр


= (-kx , dx ) = kxdx cos p .


Если пружина удлиняется на величину ÄL, то работа силы упру- гости равна


Aупр


= òdAупр


ÄL

= -k òxdx = -k


ÄL = -k


ÄL2

2 .


Для растяжения пружины к ней необходимо приложить внеш- нюю силу по направлению, совпадающему с направлением ее удли- нения. При равномерном перемещении точки приложения внеш-

няя сила равна � �

F = kx ,

и ее элементарная работа определяется следующим соотношением

dA = ( �, d�) = kxdx cos 0o .

F kx x


На расстоянии ÄL внешняя сила совершает работу


ÄL

AF = òdAF = k òxdx = k


ÄL ÄL2

= k ,


значение которой, согласно последней формуле, зависит только от величины растяжения.

Обратите внимание, что независимо от того, как изменяется внеш- няя сила, работа упругой силы пружины зависит только от положе- ния начальной и конечной точек, между которыми произошло пе- ремещение конца пружины. Упругая сила пружины — потенциаль-

ная сила.


Ответ:


Aупр


= -k


ÄL2

2 = –10,8 (Дж); AF = k


ÄL2

= 10,8 (Дж).


Задача 3.6

Математический маятник состоит из нити длиной L и материаль-

a
ной точки�массой m, к которой приложена переменная горизонтальная сила F = iF , под действием которой материальная точка очень мед- ленно движется, так что ее ускорение � = 0. Найти работу внешней

силы AF, силы натяжения нити AT, силы тяжести Amg при отклонении нити маятника на угол a0 от равновесного положения.

 
 

Дано: L, m, F, a0. Найти: AF, AT, Amg.

Рис. 1 Рис.2

F + m � + T = 0 . (1)
a
1. Согласно первому закону Ньютона ( � = 0 ) для любой точки тра- ектории выполняется векто�рное рав�енство

g

Представим его в виде проекций на горизонтальную

F - T sin a = 0 (2)


 


и вертикальную оси


 

mg - T cos a = 0 . (3)


Из последнего соотношения получим модуль силы натяжения нити


=
mg

T cos a


. (4)


Подставляя (4) в равенство (2), получим зависимость модуля внеш- ней силы от угла a

F = mgtga . (5)

(Обратите внимание, что внешняя сила — переменная величина, зависящая от угла a.). Учитывая, что внешняя сила параллельна оси ОХ, представим ее в виде

� �

F = imgtga; (Fx = mgtga; Fy = 0) . (6)

Входящее в формулу для элементарной работы

� �


dAF = (F , dS ) = FxdSx + FydSy


(7)


элементарное смещение dS , можно представить следующим обра-


зом (рис. 2)


� � � � �

dS = idx + jdy = i cos adS + j sin adS . (8)


Найдем проекции смещения dS на оси координат (рис.2)

dx = cosadS; dy = sinadS . (9) Подставляя в формулу (7) проекции внешней силы (6) и смеще-

ния (9), получим

dAF = mg tga cosa dS = mg sina dS = mgdy.

Следовательно, работа силы F имеет вид

a0 y0

AF = òmg sin adS = mg òdy = mgy0 ,

0 0

где y0 = L(1 – cosa0) — координата материальной точки при отклоне- нии нити маятника на угол a0 (рис. 1). В последнем соотношении уч- тено, что dy = sin adS . Окончательный результат имеет вид

AF = mgL(1 – cosa0).


 

2. Сила натяжения нити T не совершает работы, так как она дей-

ствует в направлении, перпендикулярном перемещению материаль-


ной точки


dA = ( �, d �) = TdS cos p= 0 ® A = 0.

T T S T
2


3. Работа силы тяжести определяется соотношением

a0 � �

Amg = òmgdS . (10)

Принимая во внимание, что


m � � g, d � = � + �


� �

, ) = 0 ,


g = - jm

перепишем (10) в виде

y0


S idx jdy


(i , j


Amg = -òmgdy = -mgL(1- cos a0 ) .

Отметим, что полная работа, совершаемая всеми силами, дейст- вующими на материальную точку, равна нулю

AF + AT + Amg = 0,

что согласуется с тем, что результирующая сила, действующая на ма- териальную точку, согласно условию задачи (1), равна нулю.

Примечание: сравните решение этой задачи с решением задачи 3.3. Ответ: AF = mgL(1 – cosa0); AT = 0; Amg = –mgL(1 – cosa0).

 

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

Энергия — одно из наиболее значительных понятий в физике. Бу- дем рассматривать энергию как «способность тела совершать работу»1. Такой подход не вполне точен и не применим ко всем видам энергии, вводимым в различных разделах физики. Однако его достаточно для механической энергии, обсуждаемой в настоящей главе. Определим теперь один из основных видов энергии — кинетическую энергию.

 
 

1 Строго говоря, работу совершает не тело, а возникающая при контакте тел сила. Такая «подмена» определения работы силы не приводит к искажению су- щества вопроса. Действительно, в данном случае причиной появления сил яв- ляется контактное взаимодействие тел, которые являются носителями сил, со- вершающими работу.


 

Движущееся тело может совершить работу над другим телом при контактном взаимодействии с ним. Действительно, летящее пушеч- ное ядро совершает работу, проламывая стену. Падающий на гвоздь молоток совершает работу по его забиванию. В обоих случаях дви- жущееся тело действует с определенной силой на второе тело и пе- ремещает его на некоторое расстояние. Таким образом, при кон- тактном взаимодействии двух тел, движущегося и неподвижного, возникает сила и перемещение, т. е. совершается работа. Посколь- ку движущееся тело способно совершить работу, то оно обладает энергией. Энергия механического движения называется кинетиче- ской энергией.

Для того чтобы получить количественное определение кинетиче- ской энергии, рассмотрим частный случай одномерного движения. Пусть на неподвижное тело, находящееся на�горизонтальной плос-

кости, вдоль нее действует�постоянная сила F . Тогда система урав-

нений, связывающая силу F , скорость v (t) тела, пройденный путь S

за время t и работу А, совершаемую силой, имеет вид

F = ma; (3.12)

v = at ® t = v ; (3.13)

a


at 2

S =


; (3.14)


A = FS. (3.15)

Подставляя в соотношение (3.15) соответствующие параметры (3.12-3.14), получим выражение для работы


at 2 1

 


v ⎞ 2

 
 


A = FS = ma


= ma2⎜⎝


a ⎟⎠ ,


принимающее окончательный вид

 

A = FS =


 

mv2

2


 

 

. (3.16)


Теперь выясним, какую работу могут совершить силы, возникаю- щие при столкновении двух тел. Пусть движущееся тело имеет ско- рость v, другое тело неподвижно. Для простоты полагаем, что со сто- роны неподвижного на движущееся тело, действует постоянная сила


 


� �

F ¢ (сила F ¢


 

приложена к движущемуся телу). Система уравнений в


скалярной форме аналогичная (3.12–3.15), имеет вид

F ¢ = ma ¢; (3.17)


v a ¢t ¢ = 0 ® t ¢ =

a¢t ¢2


v ; (3.18)

a¢


S ¢ = vt ¢ -


; (3.19)

2


A = FS cosp. (3.20)

a
Здесь t ¢– время, в течение которого движущееся тело останавли- вается; S ¢ — путь, пройденный точкой приложения силы; �¢ – уско-

рение этой точки (для простоты считается постоянным), сила F ¢ со- вершает отрицательную работу A ¢, так как направления силы и пере- мещения противоположны. Теперь в соотношение (3.20) подставим (3.17–3.19)


a¢t ¢2⎞


v2


a¢ v2 ⎞


A¢ = -F ¢S ¢ = -ma¢ ⎜⎝vt ¢ -


2 ⎟⎠ =-ma¢⎜⎝ a¢ -2 a¢2 ⎟⎠ .


После простых преобразований имеем

mv2

A¢ = -F ¢S ¢ = -


 

. (3.21)


Обратим внимание на то, что со стороны движущегося тела к не- подвижному также приложена сила. Со�гласно третьему закону Нью-

тона она по модулю совпадает с силой F ¢ , но противоположна ей по знаку. Работа, совершенная этой силой, очевидно, определяется со- отношением

A ¢¢ = F ¢S ¢ cos 0° = F ¢S ¢ = –A ¢,

так как вектор перемещения движущегося тела и сила (-F ¢) направ- лены в противоположные стороны. Отсюда следует равенство

A ¢ + A ¢¢ = 0.

Из приведенных простых примеров можно сделать очень важные

выводы. Когда на покоя�щееся тело начинает действовать постоянная

v
по направлению сила F , то приобретаемая им скорость � совпада-

ет по направлению с силой и возрастает по величине. При этом сила совершает положительную работу (3.16), так как перемещение тела


 

совпадает по направлению с силой. Наоборот, если на движущееся тело начинает действовать сила, направленная навстречу его скоро- сти (со стороны второго тела при столкновении), то скорость тела уменьшается, сила к нему приложенная совершает отрицательную работу (3.21), так как перемещение тела и сила направлены в проти- воположные стороны. Сила способна совершать работу до тех пор, пока скорость движущегося тела не уменьшится до нуля.

Таким образом, в результате работы внешней силы тело приобре- тает определенную скорость, а вместе с тем и способность совершать работу, теряя скорость (3.21). При этом

A + A ¢ = 0. (3.22)

Последнее равенство означает, что движущееся тело способно со- вершить ровно столько работы, сколько оно предварительно «запа- сает» под действием внешней силы.

Движущееся со скоростью v тело массой m, если его остановить совершает работу по модулю, равную (3.21). Данное выше качествен- ное определение энергии как способности тела совершать работу, со- вместно с соотношением (3.21), позволяет ввести энергию тела, свя- занную с его движением, следующим образом

mv2

K = . (3.23)

Последнее соотношение представляет собой кинетическую энер- гию движущегося тела.

Рассмотрим более общий, чем приведенны�й выше случай. Пусть на тело действует переменная внешняя сила F , увеличивающая его

скорость, т. е. сила совершает работу над этим телом. Тогда ее работа на произвольной траектории S определяется соотношением (3.7)

� �

A = ò(F , dS ) . (3.24)

S

Если воспользоваться вторым законом Ньютона и определением

мгновенной скорости

� � �

vd
F = m dv ; dS = � t ,

dt

то (3.24) можно переписать в следующем виде:

A = òm( �� = òm( �, d�) . (3.25)

dv, v ) v v

S S


Подынтегральное выражение представим в форме

(v�, dv�) = 1 dv2. (3.26)

Действительно, с одной стороны,


(v, dv ) = v


dvx +v


dvy +v


dvz . (3.27)


dt

С другой стороны,


x dt


y dt


z dt


1 dv2


= v dv = v


= v dvx + v


dvy +v


dvz . (3.28)


2 dt dt


x dt


y dt


z dt


Сравнение соотношений (3.27) и (3.28) подтверждает правильность формулы (3.26). С учетом сказанного перепишем (3.25) в виде

d mv2⎞ mv2

S
A dt ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = 2 .

Отсюда следует, что формула (3.21), введенная для кинетической энергии на основании рассмотрения частного примера, не изменя- ется и в общем случае.

�Если же скорость т�ела п�од действием приложенной к нему силы







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.22.210 (0.078 с.)