Закон сохранения момента импульса системы твердых тел при их вращательном движении

ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Рассмотрим систему, состоящую из двух твердых тел. Тогда со- гласно (4.20) � � �

� � �

L = L 1 + L 2 и Lz =

L 1 z + L 2 z,

где

L 1, L 2 и

L — моменты импульса, а L 1 z, L 2 z и Lz — проекции мо-

ментов импульса первого, второго тела и системы тел на неподвиж- ную ось z. Для любой системы частиц (в том числе и для системы твердых тел) справедливо равенство (4.23)

dLz = M внеш.

dt z

z

Здесь M внеш — сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телам системы. Если (4.27)

z

M внеш =0,

 

то имеет место закон сохранения проекции момента импульса сис- темы твердых тел,

L 1 z (t) + L 2 z (t) = L 1 z (t ¢) + L 2 z (t ¢), (5.42) где t и t ¢ — два произвольных момента времени. Если в эти момен- ты времени тела системы совершают только вращательное движение относительно неподвижной оси, то моменты импульса тел можно представить в виде (5.25)

L 1 z (t) =

L 2 z (t) = L 1 z (t ¢) = L 2 z (t ¢) =

Тогда из (5.42) следует

I 1(t)w1 z (t),

I 2 (t)w2 z (t),

I 1(t ¢)w1 z (t ¢),

I 2 (t ¢)w2 z (t ¢).

I 1(t)w1 z (t) + I 2 (t)w2 z (t) = I 1(t ¢)w1 z (t ¢) + I 2 (t ¢)w2 z (t ¢),

где I 1, I 2, w1 z, w2 z — моменты инерции и проекции вектора угловой

скорости на ось z первого и второго тела в моменты времени t и t ¢. Обобщим полученное выражение на систему, состоящую из произ- вольного числа совершающих вращательное движение тел и частиц:

Если M внеш = 0, то I w = const или

z z

I (t)w z (t) = I (t ¢)w z (t ¢). (5.43)

Здесь I — момент инерции системы твердых тел. Отметим, что

в промежутке времени между t и t ¢

тела системы могут совершать

более сложные движения, чем просто вращение вокруг неподвиж- ной оси.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Сформулируйте закон сохранения момента импульса для сис- темы частиц.

2. Сформулируйте закон сохранения момента импульса для сис- темы твердых тел и частиц, совершающих вращательное движение вокруг неподвижной оси.

3. Можно ли применять закон сохранения момента импульса, если тела системы участвуют в сложных движениях, не сводящихся толь- ко к вращению вокруг неподвижной оси?

 

Примеры решения задач

Задача 5.10

Горизонтальная платформа массой М = 50 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой n1 =12 мин–1. В центре стоит человек и держит на вытянутых руках гири. Считая платформу диском, определить час- тоту n2 вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I 1 = 6,2 кг· м2 до I 2 = 1 кг· м2.

Дано: M = 50 кг; R = 1 м;

n1 =12 мин–1 = 0,2 с–1. I 1 = 6,2 · м2;

I 2 = 1 кг· м2. Найти: n2.

R

Дана система, состоящяя из несколь- ких твердых тел: платформа, человек, гири. На эти твердые тела действуют внешние силы: силы тяжести и силы со стороны оси, на которой держится плат- форма. Все внешние силы или параллель- ны или антипараллельны оси z. Из (5.10)

следует, что проекция момента любой силы на ось z

Mz = xFy - yFx, (1)

т. е. зависит только от компонент силы, действующих в плоскости XOY, перпендикулярных оси z. Следовательно, проекции моментов всех внешних сил на ось z

Mz = 0. (2)

Тогда имеет место закон сохранения момента импульса системы тел и

L (t) = L (t ¢), (3)

где L (t) и L (t ¢) — сумма моментов импульса тел системы в любые два момента времени. Если считать t начальным, а t' конечным момента- ми времени, то моменты импульса платформы L 1 и человека с гиря- ми L 2 (когда тела совершают только вращательные движения вокруг неподвижной оси), соответственно равны (5.25)

L 1(t) = Ip w1, L 1(t') = I 1w1, (4)

L 2(t) = Ip w2, L 2(t') = I 2w2, (5)

 

где w1, I 1 и w2, I 2 — круговые частоты вращения и моменты инерции человека с гирями в начальный и конечный момент времени, Ip — момент инерции платформы. Подставляя (4) и (5) в (3) с учетом ра- венств

 

 

получаем

w1 = 2pn1, (6)

w2 = 2pn2, (7)

 

или

I p 2pn1 + I 12pn1 = I p 2pn2 + I 2 2pn2

(8)

(I p + I 1)n1 = (I p + I 2)n2. (9)

Выражая из уравнения (9) n2, имеем

I + I

n = p 1 n. (10)

I

p

2 + I 1

Так как платформа — диск, то момент инерции платформы отно- сительно оси, проходящей через ее центр перпендикулярно плоско- сти платформы (задача 5.6, выражение 6), равен

MR 2

I p =

. (11)

2

Подставляя (11) в (10), находим n2

MR 2 +

I p + I 1

2 I 1

n2 =

I

p

+ I 2

n1 = MR 2

2

 

+ I 2

n1. (12)

Используя данные условия задачи, определяем численное зна- чение

 

n2 =

50 ×12

+

6, 2

2 0, 2 =

+

50 ×12

1

 

31, 2

26

 

0, 2 = 0, 24 c–1.

 

 

Ответ: n2 =

+

MR 2

I

2 1

+

MR 2

I

2 2

 

 

n 1 = 0, 24 c–1.