ТОП 10:

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ИХ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ



ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Рассмотрим систему, состоящую из двух твердых тел. Тогда со- гласно (4.20) � � �


� � �


L = L1 + L2 и Lz =


L1z +L2 z ,


где


L1 , L2 и


L — моменты импульса, а L1z , L2 z и Lz — проекции мо-


ментов импульса первого, второго тела и системы тел на неподвиж- ную ось z. Для любой системы частиц (в том числе и для системы твердых тел) справедливо равенство (4.23)

dLz =M внеш .

dt z

z
Здесь M внеш — сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телам системы. Если (4.27)

z
M внеш =0 ,


 

то имеет место закон сохранения проекции момента импульса сис- темы твердых тел,

L1z(t) + L2z (t) = L1z(t ¢) + L2z (t ¢) , (5.42) где t и t ¢ — два произвольных момента времени. Если в эти момен- ты времени тела системы совершают только вращательное движение относительно неподвижной оси, то моменты импульса тел можно представить в виде (5.25)


L1z (t) =

L2 z (t) = L1z (t ¢) = L2z (t ¢) =

Тогда из (5.42) следует


I1(t)w1z (t) ,

I2 (t)w2 z (t) ,

I1(t ¢)w1z (t ¢) ,

I2 (t ¢)w2 z (t ¢) .


I1(t)w1z (t) + I2 (t)w2 z (t) = I1(t ¢)w1z (t ¢) + I2 (t ¢)w2 z (t ¢) ,

где I1, I2 , w1z , w2 z — моменты инерции и проекции вектора угловой

скорости на ось z первого и второго тела в моменты времени t и t ¢ . Обобщим полученное выражение на систему, состоящую из произ- вольного числа совершающих вращательное движение тел и частиц:

Если M внеш = 0 , то Iw = const или

z z

I (t)wz(t) = I (t ¢)wz(t ¢) . (5.43)

Здесь I — момент инерции системы твердых тел. Отметим, что


в промежутке времени между t и t ¢


тела системы могут совершать


более сложные движения, чем просто вращение вокруг неподвиж- ной оси.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Сформулируйте закон сохранения момента импульса для сис- темы частиц.

2. Сформулируйте закон сохранения момента импульса для сис- темы твердых тел и частиц, совершающих вращательное движение вокруг неподвижной оси.

3. Можно ли применять закон сохранения момента импульса, если тела системы участвуют в сложных движениях, не сводящихся толь- ко к вращению вокруг неподвижной оси?


 

Примеры решения задач

Задача 5.10

Горизонтальная платформа массой М = 50 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой n1 =12 мин–1. В центре стоит человек и держит на вытянутых руках гири. Считая платформу диском, определить час- тоту n2 вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I1 = 6,2 кг· м2 до I2 = 1 кг· м2.

Дано: M = 50 кг; R = 1 м;

n1 =12 мин–1 = 0,2 с–1. I1 = 6,2 · м2;

I2 = 1 кг· м2. Найти: n2.

   
  R

 

Дана система, состоящяя из несколь- ких твердых тел: платформа, человек, гири. На эти твердые тела действуют внешние силы: силы тяжести и силы со стороны оси, на которой держится плат- форма. Все внешние силы или параллель- ны или антипараллельны оси z. Из (5.10)

следует, что проекция момента любой силы на ось z

Mz = xFy - yFx, (1)

т. е. зависит только от компонент силы, действующих в плоскости XOY, перпендикулярных оси z. Следовательно, проекции моментов всех внешних сил на ось z

Mz = 0 . (2)

Тогда имеет место закон сохранения момента импульса системы тел и

L(t) = L(t ¢) , (3)

где L(t) и L(t ¢) — сумма моментов импульса тел системы в любые два момента времени. Если считать t начальным, а t' конечным момента- ми времени, то моменты импульса платформы L1 и человека с гиря- ми L2 (когда тела совершают только вращательные движения вокруг неподвижной оси), соответственно равны (5.25)

L1(t) = Ipw1, L1(t' ) = I1w1 , (4)

L2(t) = Ipw2, L2(t' ) = I2w2, (5)


 

где w1, I1 и w2,I2 — круговые частоты вращения и моменты инерции человека с гирями в начальный и конечный момент времени, Ip — момент инерции платформы. Подставляя (4) и (5) в (3) с учетом ра- венств


 

 

получаем


w1 = 2pn1 , (6)

w2 = 2pn2 , (7)


 

или


I p 2pn1 + I12pn1 = I p 2pn2 + I2 2pn2


(8)


(I p + I1)n1 = (I p + I2)n2. (9)

Выражая из уравнения (9) n2, имеем

I + I

n = p 1 n . (10)

I
p
2 +I 1

Так как платформа — диск, то момент инерции платформы отно- сительно оси, проходящей через ее центр перпендикулярно плоско- сти платформы (задача 5.6, выражение 6), равен

MR2


I p =


. (11)

2


Подставляя (11) в (10), находим n2

 
 

MR2 +


I p + I1


2 I1

 
 


n2 =

I
p


+ I2


n1 =MR2

2


 

+ I2


n1. (12)


Используя данные условия задачи, определяем численное зна- чение


 

n2 =


50 ×12

+
6, 2

2 0, 2 =

+
50 ×12

1


 

31, 2

26


 

0, 2 = 0, 24 c–1.


 

 

Ответ: n2 =


+
MR2

I

2 1

+
MR2

I

2 2


 

 

n1 = 0, 24 c–1.


 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.234.241.200 (0.009 с.)