ТОП 10:

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ



Понятие производной введено Г. Лейбницем (Германия) и И. Нью- тоном (Великобритания) в конце XVII века практически одновремен- но. Лейбниц решал геометрическую задачу о проведении касатель- ной к плоской кривой. Ньютон же рассматривал движение точки и ввел понятие скорости в данный момент времени. Так как значение производной от функции в данной точке характеризует скорость изме- нения функции в этой точке по сравнению со скоростью возраста- ния независимой переменной, можно использовать понятие произ- водной при определении скорости различных процессов.

Замечания

1. Для независимой переменной x по определению dx = Äx.

2. Наряду с обозначением y ¢ используют запись y ¢= dy .

dx

3. В физике для производной по времени приняты следующие

обозначения:

x = x (t); x. = dx .

dt

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

И ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Для нахождения производных пользуются таблицей производных элементарных функций.

Таблица производных элементарных функций

Функция Производная   Функция Производная  
С (посто- янная) (1) loga x 1 × loga e = 1 x x × ln 0 (11)
X (2) lg x 1 ×lg e » 0, 4343 x x (12)
x n n ×x n–1 (3) sin x cos x (13)
x -1 x2 (4) cos x –sin x (14)

Продолжение табл.

Функция Производная   Функция Производная  
xn - n xn+1 (5) tg x cos2 x (15)
x 2 × x (6) ctg x - 1 sin2 x (16)
n x n ×n xn-1 (7) arcsin x 1- x2 (17)
е х е х (8) arccos x - 1 1- x2 (18)
а х а х × ln а (9) arctg x 1+ x2 (19)
ln x x (10) arcctg x - 1 1+ x2 (20)

Существуют следующие основные правила дифференцирова- ния (здесь С — постоянная, а u и v — функции от x, имеющие про- изводные):

(C)¢ = 0 (2.12)

(u + v)¢ = u¢ + v¢ (2.13)

(Cu)¢ = Cu¢ (2.14)

(uv)¢ = u¢v + uv¢ (2.15)

u ⎞ ¢=⎛ u¢v -uv¢


⎜⎝v ⎟⎠ ⎜⎝ v2 ⎟⎠


(2.16)


 

Приведем примеры нахождения производных.

Пример 1.Найти производную от функции y = 5x3 - 2x2 + 3x - 4 .

Основываясь на формуле (2.13), имеем

y¢= (5x3)¢- (2x2)¢+ (3x)¢- (4)¢.

Далее, применяя формулы (2.12) и (2.14), получаем

y¢= 5(x3 )¢- 2 (x2 )¢+ 3( x)¢.


 

Наконец, пользуясь формулой (3) из таблицы, приходим к окон- чательному результату

y¢= 5 × 3x2 - 2 × 2x + 3×1, или y¢= 15x2 - 4x + 3 .

Пример 2.Дано: y = x3 cos x . Найти: y¢.

По правилу дифференцирования произведения функций (2.15) получаем

y¢=x3 (-sin x) +3x2 cos x , или y¢=-x3 sin x +3x2 cos x .

Здесь применялись формулы (3) и (14) из таблицы.

 

ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

Приведенные в предыдущем параграфе правила и формулы диф- ференцирования позволяют находить производные от функций толь- ко в самых простых случаях. Знания этих правил и формул недоста- точно для дифференцирования функций более сложного вида, таких,


например, как y (t) =


или y (t) = 3 cos2pt. В подобных случа-


ях пользуются более общими формулами дифференцирования, осно- ванными на теореме о производной функции от функции.

Пусть y есть функция от u: y = f (u), где u в свою очередь функция от аргумента x: u = j(x); в таком случае говорят, что y есть функция от функции. Очевидно, можно записать y = f (j(x)). Если существу-

ютпроизводные fu¢=f ¢(u ) иux¢=j¢( x) ,тосуществуетипроизвод-

ная от y по x, причем имеет место равенство

y¢= fu¢× ux¢. (2.17)

Индексы указывают, по какой переменной производится диффе- ренцирование. Покажем, как пользоваться формулой (2.17).

Пример 1.Найти y¢, если y = (x2+ 5x + 7)8.

Полагаяu =x2+5x+7,имеемy =u8.По формуле (3) y¢=8u7 (2x+5),

или, окончательно y¢= 8(x2+ 5x + 7)7(2x + 5) .

Пример 2.Найти y¢, если y = ln (x3 + 7x + 2).

Принимая в данном случае за u = x3 + 7x + 2 и пользуясь форму-


лой (10), получаем


y¢=


3x2 + 7

.

x3 + 7x + 2


 

Многие физические величины определяются как производные

по времени от других физических величин. Например, скорость � —

v

первая производная радиус-вектора r по времени t. Обозначается это


следующим образом:


v� =dr


или �= �¢= �.. (2.18)


dt v rt r

Ускорение � — первая производная скорости по времени t


a

a =dv


v

или �= �¢= �.. (2.19)


dt a vt v

Сила тока I первая производная заряда q по времени t (или, что то же самое, скорость изменения заряда)


I =dq

dt


или I = qt¢= q. . (2.20)


Электродвижущая сила индукции e — взятая со знаком «минус» пер- вая производная магнитного потока Ф по времени

 
 

e = - илиe=–Ф¢=-Ф·. (2.21)

dt t

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение дифференциала функции в точке.

2. Дайте определение производной функции.

3. Поясните геометрический смысл производной и дифферен- циала.

4. Поясните механический смысл производной.

5. Пользуясь таблицей производных и основными правилами диф- ференцирования (формулами 2.12–2.19), найдите производные от следующих функций:

1) y = 9x2 - 2x + 3,

2) y = 6x3 + 3x - 4,

3) y = 5x + ln x + 3sin x,

4) y = 7 ln x3- 2 cos x,

5) y = x3 ln x,

6) y = x2 sin x,

7) y = tgx3 cos x,


 

 

8) y = ,

9) y = 3 × cos 2p x.

6. Приведите примеры физических величин, которые являются производными от других физических величин по времени.

 

Примеры решения задач

Задача 2.1

Радиус-век�тор материал�ьной точки меняется со временем по зако-

� �

ну r (t) = 2t 2 i + 3t j + 4 k , м. Найти: 1) зависимость скорости точ-

ки от времени � (t), 2) зависимость модуля скорости от времени v (t),

v

3) зависимость ускорения точки от времени a (t), 4) зависимость мо- дуля ускорения от времени a (t), 5) значения скорости и ускорения в

момент времени t =�1 с от начал�а движения.

� �

Дано: r (t) = 2t 2 i + 3t j + 4 k , м; t = 1 c.

Найти: � (t), v (t), �( ) , a (t ) , v, a.

v a t

1. Скорость v — первая производная радиус-вектора r по време-

ни. Поэтому для нахождения зависимости � (t) достаточно продиф-

v � �

ференцировать по времени заданную зависимость r = r (t) :

( )
dr
� � � � ×¢ � � � � �

v (t) = = 2t i + 3tj + 4k = 4ti + 3 j + 0k = 4ti + 3 j , м/c. (1)

dt t

2. Модуль вектора определяется по теореме Пифагора как корень из суммы квадратов компонент вектора. Для модуля скорости

v = .

Из уравнения (1) имеем vx = 4t м/c, vy = 3 м/c, vz = 0 м/c. Получаем

v (t) = = , м/с (2)

3. Так как ускорением � является первая производная скорости �

a v

v
по времени, то для получения зависимости a от t необходимо про- дифференцировать по времени полученную выше зависимость �

(t) — выражение (1). Тогда


dv


� � ×¢ � � �


a = dt = (4ti + 3 j )t= 4i + 0 j = 4i , м/с . (3)


 

 

4. Модуль ускорения определяется соотношением a = .

Как видно из зависимости (3), ax = 4 м/c2, ay = 0 м/c2, az = 0 м/c2. По- этому

a = = 4 м/с2. (4)

5. Значения скорости и ускорения в момент времени t = 1 с от на- чала движения легко получить, подставив значение времени t = 1 с в

выражения (2) и (4). Тогда v (1) = 5 м/c, a (1) = 4 м/c2. � �

v
Ответ: зависимость скорости точки от времени �(t) = 4ti + 3 j , м/c;


зависимость модуля скорости от времени v (t) =�


, м/с; за-


a t
висимость ускорения точки от времени �( ) = 4i , м/с2; зависимость модуля ускорения от времени a (t) = 4 м/с2; значения скорости и ус- корения в момент времени t = 1 с от начала движения: v (1) = 5 м/c, a (1) = 4 м/c2.

 

Задача 2.2

Заряд на обкладках конденсатора меняется согласно уравнению q (t) = 0,03 × cos2pt, Кл. Найти силу тока I в цепи в момент времени t = 6 с.

Дано: q (t) = 0,03 × cos2pt, Кл; t = 6 с. Найти: I (6).

Сила тока I — это первая производная заряда q по времени t. Ис- ходя из этого определения, получим зависимость тока в цепи от вре- мени I (t). Для этого продифференцируем заданную зависимость q (t) по времени.

I (t) =dq =(0,03×cos2pt )×¢=-0,03×2p×sin 2pt

dt t

(здесь А — Ампер, единица измерения силы тока).

Теперь в полученное выражение подставим значение времени

t = 6 с.

I (6) = -0,03× 2p×sin 2p× 6 = -0,03× 2p×sin12p = 0 A.

(так как sin12p = sin0 = 0) Ответ: I (6) = 0 А.


 

Задача 2.3

Магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, меняется со време- нем по закону Ф (t) = 4 × sin pt , Вб. Найти модуль эдс индукции e, воз-

никающей в рамке в момент времени t = 8 с.

Дано: Ф (t) = 4 × sin pt , Вб; t = 8 с.

Найти: Ф (8). 2

Согласно закону электромагнитной индукции эдс, возникающая в рамке, определяется выражением

.
e(t) = -

dt

Поэтому сначала найдем зависимость эдс от времени, дифферен-

цируя по времени заданную зависимость Ф (t)


⎜⎝
e(t) =-⎛4 ×sin


p⎞×¢

t

t


= -4 × p× cos pt , В

2 2


В полученную зависимость e(t) подставляем t = 8 с и получаем

e(8) =-2p×cos ⎛p×8⎞= -2p×cos (4p) = -2p×1 = -6,28 В.

⎜⎝ 2 ⎟⎠

Ответ: модуль эдс индукции e (8) = 6,28 В.

 

 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ

Первообразной функцией (или просто первообразной) для данной функции одной переменной y = f (x) называется такая функция F (x), производная от которой равна f (x) (или, что то же самое, дифферен- циал от которой равен f (x) dx):

F ¢(x) = f (x) или dF (x) = f (x) dx. (3.1)

Первообразных функций для данной — бесконечное множество; разность между двумя первообразными функциями F1 (x) и F2 (x) — ве-


 

личина постоянная. Графики всех функ- ций F1 (x), F2 (x), F3 (x), …, первообраз- ных для данной, представляют собой одну и ту же кривую и получаются один из другого в результате параллельного сдвига кривой в направлении оси орди- нат в ту или иную сторону (рис. 3.1).

 


 

Рис. 3.1


НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Общее выражение F (x) + const для


всех первообразных функций от данной функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) или от дифференциала f (x) dx. Обозначение:


F (x) + const = òf (x)dx.


(3.2)


(ò — знак интеграла, f (x) — подынтегральная функция, f (x) dx — по- дынтегральное выражение).

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенным интегралом функции y = f (x) в пределах от а до b, заданной в замкнутом интервале [а, b] (при этом может быть а < b (случай А) или а > b (случай Б)), называется число, получаемое сле- дующим образом:

1) интервал [а, b] разбивается на n «элементарных интервалов» произвольными числами x1, x2, …, xn–1, выбранными так, что

a = x0 <x1 <x2 <… <xi <…<xn-1 <xn = b

или

a = x0 > x1 > x2 >… > xi >…> xn-1 > xn = b.

2) внутри (или на границе) каждого элементарного интервала [xi–1, xi] выбирается произвольно одно число xI (рис. 3.2):

xi–1 £ xI £ xi


или


xi–1 ³ xI ³ xi;


 

3) значения f (xi) функции y = f (x) в этих выбранных точках умно- жаются на соответствующие разности Äxi–1 = xi xi–1 (длины элемен- тарных интервалов [xi–1, xi], взятые со знаками «+» или знаками «-»);

4)

 
 

все полученные n произведений f (xi) × Äxi–1 складываются;

 

 

Рис. 3.2

 


 

5) вычисляется предел полученной суммы


 

åf (xi) × Äxi-1 , когда

i =1


длина каждого элементарного интервала Äxi–1 стремится к нулю (и, следовательно, n ® ¥).

Если этот предел существует и не зависит от выбора чисел xi и xI, то он называется определенным интегралом

b n


òf (x)dx = lim åf (xi ) × Äxi-1


(3.3)


i=1
Äxi-1®0

a n®¥

Символ ò называется знаком интеграла, число a нижним преде- лом, число b верхним пределом, функция f (x) — подынтегральной функцией, выражение f (x) dx подынтегральным выражением, буква x переменной интегрирования. Значение интеграла зависит только от вида функции f (x) и от пределов a и b, но не зависит от перемен- ной интегрирования, которая может быть обозначена любой буквой.

b b b


Так òf (x)dx = òf ( y)dy = òf (z)dz


и т. п.


a a a







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.237.200.21 (0.028 с.)