ТОП 10:

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух тел



Если в системе действуют только консервативные силы, то можно ввести понятие потенциальной энергии. Пусть тело массой m находит-


 

ся в гравитационном поле Земли, масса которой M. Сила взаимодей- ствия между ними определяется законом Всемирного тяготения

F (r) = G Mm ,

r 2

где G = 6,6745 (8) × 10–11 м3/(кг× с2) — гравитационная постоянная; r — расстояние между их центрами масс. Подставляя выражение для гра- витационной силы в формулу (3.33), найдем ее работу при переходе тела из точки с радиус-вектором r1 в точку с радиус-вектором r2


2 r2


r 2 dr


⎛1 1 ⎞


A12 = òdA = òF (r)dr = -GMmòr


= GMm ⎜⎝r


- . (3.34)

r


1 r1 r1 2 2 1

Представим соотношение (3.34) в виде разности значений

A12 = U(r1) – U(r2), (3.35)


функции


U (r) = -G Mm + C

r


(3.36)


для различных значений расстояний r1 и r2. В последней формуле C — произвольная константа.

Если тело приближается к Земле, которая считается неподвижной, то r2 < r1, 1/ r2 – 1/ r1 > 0 и A12 > 0, U(r1) > U(r2). В этом случае сила тя- жести совершает положительную работу. Тело переходит из некото- рого начального состояния, которое характеризуется значением U(r1) функции (3.36), в конечное, с меньшим значением U(r2).

Если же тело удаляется от Земли, то r2 > r1, 1/ r2 – 1/ r1 < 0 и A12 < 0,

U(r1) < U(r2), т. е сила тяготения совершает отрицательную работу.

Функция U = U(r) является математическим выражением способ- ности гравитационных сил, действующих в системе, совершать ра- боту и согласно данному выше определению представляет собой по- тенциальную энергию.

Отметим, что потенциальная энергия обусловлена взаимным тя- готением тел и является характеристикой системы тел, а не одного тела. Однако при рассмотрении двух или большего числа тел одно из них (обычно Земля) считается неподвижным, а другие движутся от- носительно него. Поэтому часто говорят о потенциальной энергии именно этих тел в поле сил неподвижного тела.


 

Поскольку в задачах механики представляет интерес не величина потенциальной энергии, а ее изменение, то значение потенциальной энергии можно отсчитывать от любого начального уровня. Послед- нее определяет значение константы в формуле (3.36).

Так, если считать, что U(¥) = 0, то формула (3.36) принимает вид

U (r) = -G Mm .

r

Пусть нулевой уровень потенциальной энергии соответствует по- верхности Земли, т. е. U(R ) = 0, где R – радиус Земли. Запишем фор- мулу (3.36) для потенциальной энергии при нахождении тела на вы- соте h над ее поверхностью в следующей форме


U (R + h) = -G Mm

R + h


+ C . (3.37)


Полагая в последней формуле h = 0, имеем

U (R) = -G Mm + C .

R

Отсюда найдем значение константы C в формулах (3.36, 3.37)

C = -G Mm .

R

После подстановки значения константы C в формулу (3.37), имеем


U (R + h) = -G Mm + G Mm = GMm ⎛- 1

 


+ 1 ⎞= G Mm h .

 


R + h R


⎝⎜ R + h R ⎟⎠ R(R + h)


Перепишем эту формулу в виде

U (R + h) = mgh h,


где gh


= G M

R(R + h)


— ускорение свободного падения тела на высоте


h над поверхностью Земли.

В приближении h « R получаем известное выражение для потен- циальной энергии, если тело находится на небольшой высоте h над поверхностью Земли


где g = G M

R2


U (h) = mgh, (3.38)

— ускорение свободного падения тела вблизи Земли.


В выражении (3.38) принята более удобная запись: U (R + h) = U (h). Из него видно, что потенциальная энергия равна работе, которую со- вершает гравитационная сила при перемещении тела с высоты h над


 

Землей на ее поверхность, соответствующую нулевому уровню по- тенциальной энергии. Последнее служит основанием считать выра- жение (3.38) потенциальной энергией тела над поверхностью Земли, говорить о потенциальной энергии тела и исключить из рассмотре- ния второе тело — Землю.

Пусть тело массой m находится на поверхности Земли. Для того чтобы оно оказалось на высоте h над этой поверхностью, к телу не- обходимо приложить внешнюю силу, противоположно направлен- ную силе тяжести и бесконечно мало отличающуюся от нее по мо- дулю. Работа, которую совершит внешняя сила, определяется сле- дующим соотношением:


R + h


R + h dr


⎡1 ⎤R + h

R


⎛ 1 1 ⎞

       
   


A¢ =

 

или


òF (r)dr = GMm ò 2

r
R R


= -GMm ⎢⎣r ⎥⎦


= -GMm ⎝⎜R +h - R ⎠⎟


A¢ = GMm h .

R(R + h)

Последнее равенство в приближении h « R принимает вид


A¢ = GMm h

R2


= G M mh = mgh .

R2


Последнее позволяет считать, что работа внешней силы приводит к созданию «запаса» работы и увеличению потенциальной энергии. Работа внутренних сил уменьшает потенциальную энергию и тратит

«запас» работы, созданный внешней силой.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.22.210 (0.008 с.)