Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух тел

Если в системе действуют только консервативные силы, то можно ввести понятие потенциальной энергии. Пусть тело массой m находит-

 

ся в гравитационном поле Земли, масса которой M. Сила взаимодей- ствия между ними определяется законом Всемирного тяготения

F (r) = G Mm,

r 2

где G = 6,6745 (8) × 10–11 м3/(кг× с2) — гравитационная постоянная; r — расстояние между их центрами масс. Подставляя выражение для гра- витационной силы в формулу (3.33), найдем ее работу при переходе тела из точки с радиус-вектором r 1 в точку с радиус-вектором r 2

2 r 2

r 2 dr

⎛1 1 ⎞

⎟

A 12 = ò dA = ò F (r) dr = - GMm ò r

= GMm ⎜⎝ r

-. (3.34)

r ⎠

1 r 1 r 1 2 2 1

Представим соотношение (3.34) в виде разности значений

A 12 = U (r 1) – U (r 2), (3.35)

функции

U (r) = - G Mm + C

r

(3.36)

для различных значений расстояний r 1 и r 2. В последней формуле C — произвольная константа.

Если тело приближается к Земле, которая считается неподвижной, то r 2 < r 1, 1/ r 2 – 1/ r 1 > 0 и A 12 > 0, U (r 1) > U (r 2). В этом случае сила тя- жести совершает положительную работу. Тело переходит из некото- рого начального состояния, которое характеризуется значением U (r 1) функции (3.36), в конечное, с меньшим значением U (r 2).

Если же тело удаляется от Земли, то r 2 > r 1, 1/ r 2 – 1/ r 1 < 0 и A 12 < 0,

U (r 1) < U (r 2), т. е сила тяготения совершает отрицательную работу.

Функция U = U (r) является математическим выражением способ- ности гравитационных сил, действующих в системе, совершать ра- боту и согласно данному выше определению представляет собой по- тенциальную энергию.

Отметим, что потенциальная энергия обусловлена взаимным тя- готением тел и является характеристикой системы тел, а не одного тела. Однако при рассмотрении двух или большего числа тел одно из них (обычно Земля) считается неподвижным, а другие движутся от- носительно него. Поэтому часто говорят о потенциальной энергии именно этих тел в поле сил неподвижного тела.

 

Поскольку в задачах механики представляет интерес не величина потенциальной энергии, а ее изменение, то значение потенциальной энергии можно отсчитывать от любого начального уровня. Послед- нее определяет значение константы в формуле (3.36).

Так, если считать, что U (¥) = 0, то формула (3.36) принимает вид

U (r) = - G Mm.

r

Пусть нулевой уровень потенциальной энергии соответствует по- верхности Земли, т. е. U (R) = 0, где R – радиус Земли. Запишем фор- мулу (3.36) для потенциальной энергии при нахождении тела на вы- соте h над ее поверхностью в следующей форме

U (R + h) = - G Mm

R + h

+ C. (3.37)

Полагая в последней формуле h = 0, имеем

U (R) = - G Mm + C.

R

Отсюда найдем значение константы C в формулах (3.36, 3.37)

C = - G Mm.

R

После подстановки значения константы C в формулу (3.37), имеем

U (R + h) = - G Mm + G Mm = GMm ⎛- 1

 

+ 1 ⎞= G Mm h.

 

R + h R

⎝⎜ R + h R ⎟⎠ R (R + h)

Перепишем эту формулу в виде

U (R + h) = mgh h,

где gh

= G M

R (R + h)

— ускорение свободного падения тела на высоте

h над поверхностью Земли.

В приближении h «R получаем известное выражение для потен- циальной энергии, если тело находится на небольшой высоте h над поверхностью Земли

где g = G M

R 2

U (h) = mgh, (3.38)

— ускорение свободного падения тела вблизи Земли.

В выражении (3.38) принята более удобная запись: U (R + h) = U (h). Из него видно, что потенциальная энергия равна работе, которую со- вершает гравитационная сила при перемещении тела с высоты h над

 

Землей на ее поверхность, соответствующую нулевому уровню по- тенциальной энергии. Последнее служит основанием считать выра- жение (3.38) потенциальной энергией тела над поверхностью Земли, говорить о потенциальной энергии тела и исключить из рассмотре- ния второе тело — Землю.

Пусть тело массой m находится на поверхности Земли. Для того чтобы оно оказалось на высоте h над этой поверхностью, к телу не- обходимо приложить внешнюю силу, противоположно направлен- ную силе тяжести и бесконечно мало отличающуюся от нее по мо- дулю. Работа, которую совершит внешняя сила, определяется сле- дующим соотношением:

R + h

R + h dr

⎡1 ⎤ R + h

R

⎛ 1 1 ⎞

A ¢ =

 

или

ò F (r) dr = GMm ò 2

r

R R

= - GMm ⎢⎣ r ⎥⎦

= - GMm ⎝⎜ R + h - R ⎠⎟

A ¢ = GMm h.

R (R + h)

Последнее равенство в приближении h «R принимает вид

A ¢ = GMm h

R 2

= G M mh = mgh.

R 2

Последнее позволяет считать, что работа внешней силы приводит к созданию «запаса» работы и увеличению потенциальной энергии. Работа внутренних сил уменьшает потенциальную энергию и тратит

«запас» работы, созданный внешней силой.