Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Траектория, путь, перемещение
торное уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям: ⎧ x = x (t);
⎪⎩ z = z (t). (1.3) Совокупность всех последовательных положений материальной точки в пространстве определяет траекторию ее движения. Уравне- ние траектории z = z (x, y) находится в результате решения системы уравнений (1.3) путем исключения параметра t. Движение называется прямолинейным, если его траектория — пря- мая линия, и криволинейным во всех других случаях. Вид траектории не зависит от выбора системы отсчета. 1.3. Скорость 75 Траектория криволинейного движения характеризуется кривизной C = lim Äj = d j, Δ s 2 τ2 Ä S ®0 Ä s ds τ1 где Äj - угол между касательными t1 и t2, проведенными в точках 1 и 2 (рис. 1.3.), Ä s — 1 длина участка между точками. Величина, обрат- ная кривизне С, называется радиусом кривизны Δφ R О R = 1 = lim Ä s = ds.
Рис. 1.3 C Ä S ®0Äj d j Y При движении м. т. по произвольной кри- волинейной траектории за интервал времени Ä t = t 2 - t 1 изменяется ее пространственное по- ложение относительно выбранной системы от- счета, которое определяется радиус-вектором �. � � � r Изменение Ä r = r 2 - r 1 (рис. 1.4) за интервал вре- мени Ä t называется вектором перемещения. За интервал времени Ä t м. т. проходит уча- X Рис. 1.4 сток траектории Ä s. Длина этого участка обозначается через s и на- зывается путь. Путь может быть больше модуля вектора перемещения или равен ему. Равенство наблюдается только в частных случаях — при прямолинейном движении тела в одном направлении, и для беско- нечно малых промежутков времени dt.
Вопросы и задания для самопроверки 1. Назовите свойства пространства и времени. 2. Материальная точка — это реальное тело или его модель? 3. Из чего состоит система отсчета? 4. Назовите способы задания положения материальной точки в пространстве. 5. Дайте определение пути, перемещения, кривизны и радиуса кривизны траектории.
СКОРОСТЬ Скорость — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения м. т. в пространстве. Для характеристики движения м. т. вводят понятие средней и мгно- венной скорости.
Средней скоростью называется вектор, равный отношению векто-
произошло перемещение м. т. uср = Ä r. � Ä t Направление ucp, совпадает с направлением вектора перемеще- ния Ä�, (� Ä�) (рис 1.4). r ucp r
� u=lim � � r = dr = r. (1.4)
Ä t ®0Ä t dt � Вектор перемещения dr направлен по секущей и при стремлении Ä t к нулю стремится к касательной в точке 1 (рис�. 1.5 б). Следовательно, вектор мгновенной скорости u направлен по ка- сательной в заданной точке траектории в сторону движения м. т. Модуль мгновенной скорости определяется из соотношения �
u = u = = dt dt , (1.5) Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t 1 до t 2 t 2 s 1,2 = òu dt, (1.6)
где u= ds dt — путевая скорость, ucp = t — средняя путевая скорость за время движения t. С учетом соотношений (1.1)
u= dr = dt d � � � dt (rxi + ry j + rk) = d � � � (x × i + y × j + z × k) = dt � dx � dy � dz � � � (1.7) = i + j + k = u x × i + u y × j + u z × k, dt dt dt где u x = dx, dt u = dy, y dt u = dz z dt — проекции скорости точки на оси координат.
Модуль вектора скорости в декартовой системе координат � u = u = . (1.8)
УСКОРЕНИЕ В процессе движения направление и мо- дуль вектора скорости м. т. могут изменять- ся. Изменение вектора скорости определя- ется ускорением. Ускорение материальной точки — век- торная величина, характеризующая быст- роту изменения вектора скорости с тече- нием времени. По аналогии со средней и мгновенной скоростью вводят понятие среднего и мгно- венного ускорения. Пусть�в момент време-
а) 1
б) υ1 υ2 Δ t →0
2 υ2 Δυ
а ни t 1м. т. и�меет скорость u1, а в момент t 2— скорость u2 (рис. 1.5). Тогда за промежуток времени Ä t = t 2- t 1ве�кто�р ск�орости изме- нится на величину Äu = u2 - u1, а среднее ускорение
Рис. 1.5 � a cp �
Ä t По направлению вектор среднего ускорения � , совпадает с век-
Мгновенное ускорение � Ä� d �
2� �.
.�. a cp a = lim u= u = d r = u = r, (1.10)
где a d u. Ä t ®0 Ä t dt dt 2 С учетом соотношений (1.1) и (1.7) � d � d � � � d u � d u � d u � � � � a = u = (u i + u j + u k) = x i + y j + z k = a i + a j + a k, dt dt 2 � 2 x y z � � � dt dt dt 2 � 2 � 2 � x y z � � � � dr d d x d y d z
, (1.11) a = dt 2 = (x × i + y × j + z × k) = i + dt 2 dt 2 dt 2 j + k = a i + a j + a k dt 2 x y z где ax = d u x = dt d 2 x dt 2, a = d u y = y dt d 2 y dt 2, a = d u z = z dt d 2 z dt 2
— проекции ус- корения точки на оси координат. Модуль вектора ускорения в декартовой системе координат � a =. (1.12) Вектор ускорения � можно разложить на а τ a υ1 2 υ2 τ а два вектора a tи an (рис. 1.6). Составляющая ускорения, характеризую- щая изменение мгновенной скорости по вели-
аn О ным) ускорением �.
Рис. 1.6 Составляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории и характеризую- щая изменение вектора скорости по направле-
Вектор полного ускорения
a a t an, (1.13) а его модуль
a =. (1.14) Определим модули векторов � и �. � an a t Введем единичный вектор t, направленный по касательной к за- данной точке траектории в сторону движения м. т. (рис. 1.6). Тогда вектор мгновенной скорости � = u× � (� �). u t t u Запишем мгновенное ускорение в виде d � d (u× �) � × d u u× d � a = u = t = t + t, (1.15) dt dt dt dt где первое слагаемое по определению равно касательному ускорению
а второе — нормальному a t=
d u � t, dt d � a = u× t, (1.16) n dt Вектор касательного ускорения мо- жет совпадать с вектором мгновенной � � скорости (a ) и может быть ему ан- t u � � типараллелен (a ¯). В первом случае t u движение будет ускоренным, а во вто- ром — замедленным. Рассмотрим перемещение матери- A
в точке А 2 равен � � � t2 = t1 + d t, где t1 A 1 — единичный вектор, опреде- ляющий�направление движения в точ- ке А 1, d t — вектор изменения направ- ления движения. Рис. 1.7
� � � Треугольник A 1 DC, образованный векторами t1, t2 и d t, равно- бедренный, т. к. � = � =1. При dt ® 0, угол Äj между векторами � � t1 t2 t1и t2умен�ьшает�ся и стремится к нулю (рис. 1.7б), а угол b межд�у векторами t1и d t увеличивается до 90°. Следовател�ьно, вектор d t � направлен по нормали к скорости. Так как an = u× d t, то и вектор dt
an d t, an ^ t. Модуль вектора нормального ускорения найдем из треугольников OA 1 A2 и A 1DC (рис. 1.7а). Указан�ные т�реугольники равнобедренные
|= R, � �
t1 t2 = 1, где R – ра- диус кривизны траектории. Из соотношения сторон треугольников OA 1 = OA 2 = A 1 A 2 = R 1 = R 2 = Ä R. (1.18)
A 1 D A 1 C CD t1 t2 d t Учитывая, что при dt ® 0 Ä R = dR, R 1 = R 2 = R, d t = dR. (1.19) R Вектор d � можно представить в виде d � = � × d t = n dR, где � – t t n n � � � R единичный вектор, совпадающий с вектором d t (d t n) (рис. 1.7б). Тогда вектор нормального ускорения
где u= dR. dt an = Rdt = n, (1.20) R Следовательно, модуль вектора нормального ускорения � u2 an = an =. (1.21) R Вопросы и задания для самопроверки 1. Дайте определение средней и мгновенной скорости. 2. Совпадают ли векторы средней и мгновенной скорости мате- риальной точки, движущейся по окружности? 3. Определите физический смысл понятий скорости и ускорения движения материальной точки. 4. Запишите выражения для векторов скорости и ускорения мате- риальной точки в декартовой системе координат. 5. Определите модуль вектора скорости и ускорения в декартовой системе координат. 6. Дайте определение тангенциального, нормального и полного ускорений. 7. Определите модуль вектора ускорения движения точки по ок- ружности радиусом R = 1 м, в момент времени t = 2 с от начала дви- жения, если зависимость модуля вектора скорости от времени зада- ется уравнением u(t) = 2 t 2. Примеры решения задач Задача 1.1. Определить модуль вектора скорости материальной точки в мо- мент врем�ени t = 5 c�, если зависимость радиус вектора от времени � 2 2 r (t) = At i + B sin(p t) j, где А = 1 м/с, B = 5 м. � � � Дано: r (t) = At 2 + B sin(p t); А = 1 м/с2; В = 5 м; t = 5 с. i j Найти: u. Из условия задачи следует, что r (t) = At 2, r (t) = B sin(p t), r (t) = 0, x y z и, следовательно, материальная точка движется в плоскости OXY. Определим проекции вектора скорости. u = dx = 2 At, u x dt y = dy = p B cos(p t), dt Найдем модуль вектора скорости (см. 1.8.). u = =. Ответ: модуль вектора скорости u = = 18, 7 м/с.
Задача 1.2. Координаты двух материальных точек x (t) = At + B t 2 + C t 3, 1 1 1 1 x (t) = A t + B t 2 + C t 3, где B 1 = 4 м/c2, C 1=–3 м/c3, B 2= –2м/c2, C 2 = 1 2 2 2 2 м/c3. Определить проекции ускорения точек на ось Х и момент вре- мени t 1, когда их ускорения равны. Дано: x (t) = At + B t 2 + C t 3; x (t) = A t + B t 2 + C t 3; B 1 = 4 м/c2, 1 1 1 1 2 2 2 2 C 1 = –3 м/c3, B 2= –2м/c2, C 2 = 1 м/c3. Найти: t 1, a 1 x (t 1), a 2 x (t 1). По формуле (1.11) находим ускорения d 2 x a (t) = 1 = 2 B + 6 C t, a d 2 x (t) = 2 = 2 B + 6 C t. (1) 1 x dt 2 1 1 2 x dt 2 2 2 В момент времени t 1 по условию задачи a 1 x (t 1) = a 2 x (t 1),
2 B 1 + 6 C 1 t 1 = 2 B 2 + 6 C 2 t 1. Из последнего равенства находим t = B 1 - B 2. 1 3(C - C) 2 1 Из уравнений (1) определим ускорение точек в момент време- ни t 1 a (t) = a (t) = 2 B + 6 C t. = 2 ⎛ B + C 1(B 1 - B 2)⎞. 1 x 2 x 1 1 1 ⎝⎜1 C 2 - C 1 ⎟⎠
Ответ: t = B 1 - B 2 = 0, 5 c; a = a = 2 ⎛ B + C 1(B 1 - B 2)⎞= -1 м/с2.
1 3(C - C) 2 1 1 x 2 x ⎝⎜ 1 C - C ⎟⎠ 2 1 Задача 1.3. Точка движется по окружности радиусом R = 3 м по закону s = = At 2 + Bt, где A = 0,4 м/с2, B = 0,1 м/с2. Определить для момента вре- мени t = 1 c после�начала движения модули векторов нормального � � an, касательного a tи полного a ускорений. Дано: s = At 2 + Bt; A = 0,4 м/с2, B = 0,1 м/с2, R = 3 м, t = 1 c. Найти: a t, an, a. Модуль скорости (см. 1.6.)
dt Модуль вектора касательного ускорения a = d u(t) = 2 A. t dt Модуль вектора нормального ускорения u2(t) (2 At + B)2 an = R = R. Модуль полного ускорения
a = = . (2 At + B)2 Ответ: a t= 2 A = 0,8 м/с2, an = = 0, 27 м/с2, R a = = 0,84 м/с2.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 722; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.94.98.40 (0.196 с.) |