ТОП 10:

ТРАЕКТОРИЯ, ПУТЬ, ПЕРЕМЕЩЕНИЕ



r r
При движении м. т. ее радиус-вектор относительно выбранной сис- темы отсчета изменяется в зависимости от времени � = �(t) . Это век-

торное уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям:

x =x(t);


y = y(t);

⎪⎩z = z(t).


(1.3)


Совокупность всех последовательных положений материальной точки в пространстве определяет траекторию ее движения. Уравне- ние траектории z = z (x, y) находится в результате решения системы уравнений (1.3) путем исключения параметра t.

Движение называется прямолинейным, если его траектория — пря- мая линия, и криволинейным во всех других случаях. Вид траектории не зависит от выбора системы отсчета.


1.3. Скорость 75

Траектория криволинейного движения характеризуется кривизной


C = lim Äj= dj,


Δs 2 τ2


ÄS ®0 Äs ds τ1


где Äj - угол между касательными t1 и t2 , проведенными в точках 1 и 2 (рис. 1.3.), Äs — 1 длина участка между точками. Величина, обрат-

ная кривизне С, называется радиусом кривизны


Δφ R

О


R = 1 = lim


Äs =ds .


Рис. 1.3


C ÄS ®0Äj dj Y

При движении м. т. по произвольной кри- волинейной траектории за интервал времени Ät = t2 - t1 изменяется ее пространственное по- ложение относительно выбранной системы от-

счета, которое определяется радиус-вектором � .

� � � r


Изменение Är = r2 - r1 (рис. 1.4) за интервал вре- мени Ät называется вектором перемещения.

За интервал времени Ät м. т. проходит уча-


X

Рис. 1.4


сток траектории Äs . Длина этого участка обозначается через s и на- зывается путь. Путь может быть больше модуля вектора перемещения или равен ему. Равенство наблюдается только в частных случаях — при прямолинейном движении тела в одном направлении, и для беско- нечно малых промежутков времени dt .

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Назовите свойства пространства и времени.

2. Материальная точка — это реальное тело или его модель?

3. Из чего состоит система отсчета?

4. Назовите способы задания положения материальной точки в пространстве.

5. Дайте определение пути, перемещения, кривизны и радиуса кривизны траектории.

 

СКОРОСТЬ

Скорость — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения м. т. в пространстве.


Для характеристики движения м. т. вводят понятие средней и мгно- венной скорости.

Средней скоростью называется вектор, равный отношению векто-

r
ра перемещения Ä� к промежутку времени Ät , в течение которого

произошло перемещение м. т.

uср =Är .

� Ät

Направление ucp , совпадает с направлением вектора перемеще-

ния Ä� , ( � ­­ Ä� ) (рис 1.4).

r ucp r

Ä �.
Мгновенной скоростью называется предельное значение вектора средней скорости при стремлении Ät к нулю


u=lim


� �

r = dr = r. (1.4)


Ät ®0Ät dt

Вектор перемещения dr направлен по секущей и при стремлении

Ät к нулю стремится к касательной в точке 1 (рис�. 1.5 б).

Следовательно, вектор мгновенной скорости u направлен по ка-

сательной в заданной точке траектории в сторону движения м. т. Модуль мгновенной скорости определяется из соотношения


ds

u = u = =

dt dt


, (1.5)


Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от

t1 до t2

t2

s1,2 = òudt , (1.6)

s
t1


где u= ds

dt


— путевая скорость, ucp = t — средняя путевая скорость


за время движения t.

С учетом соотношений (1.1)


u= dr =

dt


d � � �

dt (rxi + ry j + rk ) =


d � � �

(x × i + y × j + z × k ) =

dt


dx


dy dz


� � �


(1.7)


= i + j + k = ux × i + uy × j + uz × k ,

dt dt dt


где ux


=dx ,

dt


u = dy ,

y dt


u =dz

z dt


— проекции скорости точки на оси


координат.


 

Модуль вектора скорости в декартовой системе координат


u = u =


. (1.8)


 


УСКОРЕНИЕ

В процессе движения направление и мо- дуль вектора скорости м. т. могут изменять- ся. Изменение вектора скорости определя- ется ускорением.

Ускорение материальной точки — век- торная величина, характеризующая быст- роту изменения вектора скорости с тече- нием времени.

По аналогии со средней и мгновенной скоростью вводят понятие среднего и мгно-

венного ускорения. Пусть�в момент време-


 

 

а)

1

 

б)

υ1

υ2

Δt→0


 

2 υ2

Δυ

 

а


ни t1м. т. и�меет скорость u1, а в момент t2— скорость u2 (рис. 1.5). Тогда за промежуток

времени Ät = t2- t1ве�кто�р ск�орости изме-

нится на величину Äu = u2 - u1 , а среднее ускорение


 

Рис. 1.5


acp


Ä
= u. (1.9)

Ät


По направлению вектор среднего ускорения �


, совпадает с век-


u acp u
тором Ä�( � ­­ Ä�) .

Мгновенное ускорение

� � d

 


 

2� �.


 

 

.�.


acp


a = lim u= u= d r = u = r ,


(1.10)


где a ­­ d u .


Ät ®0 Ät


dt dt 2


С учетом соотношений (1.1) и (1.7)


d d


� � � d u � d u � d u � � � �


a = u= (u i + u j + u k ) = x i + y j + z k = a i + a j + a k ,


dt dt

2 � 2


x y z

� � �


dt dt dt

2 � 2 � 2 �


x y z

� � �


dr d


d x d y d z


, (1.11)


a =

dt 2


= (x × i + y × j + z × k ) = i +

dt 2 dt 2 dt 2


j + k = a i + a j + a k dt 2 x y z



где ax


=d ux =

dt


d 2 x

dt 2 ,


a = d uy =

y dt


d 2 y

dt 2 ,


a = d uz =

z dt


d 2 z

dt 2


 

— проекции ус-


корения точки на оси координат.

Модуль вектора ускорения в декартовой системе координат

a = . (1.12)

 
 

Вектор ускорения � можно разложить на

аτ a


υ1 2 υ2

τ а


два вектора aan (рис. 1.6).

Составляющая ускорения, характеризую- щая изменение мгновенной скорости по вели-

at
чине, называется касательным (тангенциаль-


аn О


ным) ускорением � .


 

Рис. 1.6


Составляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории и характеризую-

щая изменение вектора скорости по направле-


an
нию, называется нормальным ускорением� .

Вектор полного ускорения

= +
� � �

a at an , (1.13)


а его модуль


 

a = . (1.14)


Определим модули векторов � и � .

an at

Введем единичный вектор t , направленный по касательной к за- данной точке траектории в сторону движения м. т. (рис. 1.6). Тогда

вектор мгновенной скорости � = u× � (� ­­ � ) .

u t t u

Запишем мгновенное ускорение в виде

d d (u× �) � × d u u× d


a = u = t


= t + t, (1.15)


dt dt dt dt

где первое слагаемое по определению равно касательному ускорению


 

 

а второе — нормальному


at=

 


d u

t ,

dt

d


a = u× t, (1.16)

n dt


Вектор касательного ускорения мо- жет совпадать с вектором мгновенной

� �

скорости (a ­­ ) и может быть ему ан-

t u

� �

типараллелен ( a ­¯ ). В первом случае

t u

движение будет ускоренным, а во вто-

ром — замедленным.

Рассмотрим перемещение матери- A

t
альной точки по траектории из точки A1 в точку A2 (рис 1.7а). За малый ин- тервал времени dt единичный вектор

в точке А2 равен

� � �

t2 = t1 + d t ,


где t1


A1

— единичный вектор, опреде-


ляющий�направление движения в точ- ке А1, d t — вектор изменения направ-

ления движения.


Рис. 1.7

 

� � �


Треугольник A1DC , образованный векторами t1, t2 и d t , равно-

               
       

бедренный, т. к. � = � =1. При dt ® 0 , угол Äj между векторами

� � t1 t2

t1и t2умен�ьшает�ся и стремится к нулю (рис. 1.7б), а угол b межд�у векторами t1и d t увеличивается до 90°. Следовател�ьно, вектор d t


направлен по нормали к скорости. Так как an


= u× d t, то и вектор

dt


� �
� �

an ­­ d t, an ^ t .

Модуль вектора нормального ускорения найдем из треугольников

OA1A2и A1DC (рис. 1.7а). Указан�ные т�реугольники равнобедренные


=
и подобные, так как при Ät ® 0 | R1 |=| R2


|= R,


� �

t1 t2


= 1, где R – ра-


диус кривизны траектории. Из соотношения сторон треугольников

OA1 = OA2 = A1 A2 = R1 = R2 = ÄR . (1.18)

A1D A1C CD t1 t2 d t

Учитывая, что при dt ® 0 ÄR = dR , R1 = R2 = R,

d t = dR . (1.19)

R


Вектор d � можно представить в виде d � = � × d t = n dR , где � –

 
 

t t n n

� � � R

единичный вектор, совпадающий с вектором d t ( d t­­ n ) (рис. 1.7б). Тогда вектор нормального ускорения

nudR u2


 

где u= dR .

dt


an =


Rdt


= n , (1.20)

R


Следовательно, модуль вектора нормального ускорения

� u2


an = an


= . (1.21)

R


Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение средней и мгновенной скорости.

2. Совпадают ли векторы средней и мгновенной скорости мате- риальной точки, движущейся по окружности?

3. Определите физический смысл понятий скорости и ускорения движения материальной точки.

4. Запишите выражения для векторов скорости и ускорения мате- риальной точки в декартовой системе координат.

5. Определите модуль вектора скорости и ускорения в декартовой системе координат.

6. Дайте определение тангенциального, нормального и полного ускорений.

7. Определите модуль вектора ускорения движения точки по ок- ружности радиусом R = 1 м, в момент времени t = 2 с от начала дви- жения, если зависимость модуля вектора скорости от времени зада-

ется уравнением u(t) = 2 t 2 .

Примеры решения задач

Задача 1.1.

Определить модуль вектора скорости материальной точки в мо-

мент врем�ени t = 5 c�, если зависимость радиус вектора от времени

� 2 2

r (t) = At i + B sin(pt) j , где А = 1 м/с , B = 5 м.


� � �

Дано: r (t) = At 2 + B sin(pt) ; А = 1 м/с2; В = 5 м; t = 5 с.

i j

Найти: u.

Из условия задачи следует, что r (t) = At 2 , r (t) = B sin(pt) , r (t) = 0,

x y z

и, следовательно, материальная точка движется в плоскости OXY. Определим проекции вектора скорости.


u = dx = 2 At, u

x dt y


= dy = pB cos(pt) ,

dt


Найдем модуль вектора скорости (см. 1.8.).

u = = .

Ответ: модуль вектора скорости


u = = 18, 7


м/с.


 

Задача 1.2.

Координаты двух материальных точек x (t) = At + B t 2 + C t3 ,

1 1 1 1

x (t) = A t + B t 2 + C t3 , где B1 = 4 м/c2, C1=–3 м/c3, B2= –2м/c2, C2 = 1

2 2 2 2

м/c3. Определить проекции ускорения точек на ось Х и момент вре- мени t1, когда их ускорения равны.


Дано: x (t) = At + B t 2 + C t3; x (t) = A t + B t 2 + C t3;


B1 = 4 м/c2,


1 1 1 1 2 2 2 2

C1 = –3 м/c3, B2= –2м/c2, C2 = 1 м/c3.

Найти: t1, a1x (t1), a2 x (t1).

По формуле (1.11) находим ускорения


d 2 x

a (t) = 1 = 2B + 6C t, a


d 2 x

(t) = 2 = 2B


+ 6C t.


(1)


1x dt 2 1 1 2 x dt 2 2 2

В момент времени t1 по условию задачи a1x (t1) = a2 x (t1),

2B1 + 6C1t1 = 2B2 + 6C2t1.

Из последнего равенства находим

t = B1 - B2 .

1 3(C - C )

2 1

Из уравнений (1) определим ускорение точек в момент време-

ни t1

 
 

a (t) = a (t) = 2B + 6C t . = 2 ⎛B + C1(B1 -B2 )⎞.


1x 2 x


1 1 1


⎝⎜1


C2 -C1 ⎟⎠


 

Ответ:


t = B1 - B2


= 0, 5 c; a = a


= 2 ⎛B + C1(B1 -B2 )⎞= -1 м/с2.

 


1 3(C - C )

2 1


1x 2 x


⎝⎜ 1 C -C ⎟⎠

2 1


Задача 1.3.

Точка движется по окружности радиусом R = 3 м по закону s =

= At 2 + Bt, где A = 0,4 м/с2, B = 0,1 м/с2. Определить для момента вре-

мени t = 1 c после�начала движения модули векторов нормального

� �

an, касательного atи полного a ускорений.

Дано: s = At 2 + Bt; A = 0,4 м/с2, B = 0,1 м/с2, R = 3 м, t = 1 c. Найти: at, an, a.

Модуль скорости (см. 1.6.)

( )
u t = dS (t)= 2 At + B .

dt

Модуль вектора касательного ускорения

a = d u(t) = 2 A .

t dt

Модуль вектора нормального ускорения

u2(t) (2 At + B)2

an = R = R .

Модуль полного ускорения

 


a = =


.

(2 At + B)2


Ответ: at= 2 A = 0,8 м/с2, an =


= 0, 27 м/с2,

R


a = = 0,84


м/с2.


 

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.207.240.230 (0.042 с.)