ТОП 10:

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ (ЫХ) ТОЧКИ И ОСИ



Как отмечалось ранее, наличие системы частиц означает, что силы, действую�щие на каждую частицу системы, можно разделить на внут-


р�енние


F внут


(действующие между частицами системы) и внешние


F внеш (действующие на частицы системы со стороны внешних тел).


 

внешнее тело


 

 
F внут

21 v


внеш

F2

r2 О

l r1


 

внешнее тело

 

F


 

 

внешнее тело


r12

v1


внеш

 

внут

F12


Рис. 4.6

Рассмотрим на примере простейшей системы, состоящей из двух частиц, свойства внутренних сил и их моментов (рис. 4.6). Выберем


 

произвольную точку О и построим радиус-векторы частиц � и � от-

r1 r2

носительно этой точки. По правилу суммирования векторов имеем

= +
� � �

r1 r2 r12 .

По третьему закону Ньютона для внутренних сил

� �

12 21
F внут =-F внут ,

и эти силы действуют по прямой, соединяющей частицы системы (для определенности взяты силы отталкивания). Тогда сумма внутренних сил и сумма моментов внутренних сил, приложенных к частицам от- носительно произвольной точки О, равны соответственно

� � � �

12 21 12 12
F внут +F внут =F внут -F внут =0


 

 

внут


 

 

внут


� внут


� внут


� � внут


� внут


M12


+ M 21


= [ r1, F12


] + [ r2, F21


] = [ (r2+ r 12 ), F12


] – [ r2 , F12 ] =


� � � � � � � �

= [ r , внут ] + [ , внут ] – [ , внут ] = [ , внут ].


 

Так как


2 F12


r12


F12

 


r2 F12


r12


F12


r ­­F внут ,

12 12

и векторное произведение двух параллельных векторов равно нулю, то

� �

12 21
M внут +M внут =0.

Таким образом, обобщая полученные результаты на систему, со- стоящую из произвольного числа частиц, получаем (индексы i и j ну- меруют частицы системы):

F внут =åF внут =0 , (4.18)
� �

ij

i >1

M внут =åM внут =0. (4.19)
� �

ij

i >1

Векторная сумма внутренних сил и моментов этих сил системы час-

тиц относительно произвольной точки О равна нулю.

Моментом L импульса системы частиц относительно точки О на-

зывается векторная сумма моментов импульсов всех частиц системы относительно этой точки

å å
� � � �

L = Li= [ri , pi ] , (4.20)

i i



� где Li тицы.


— момент импульса, �

pi
ri


— импульс и � — радиус-вектор i час-


Моментом M сил, действующих на систему частиц относитель-

� �
но точки О, называется векторная сумма моментов сил, действую- щих на все частицы системы относительно этой точки. Так как сум- ма моментов внутренних сил равна нулю (4.19), то


внеш


внеш


� внеш


M = M = åMi =å[ri, Fi


] , (4.21)


i
i i


M
где


внеш

i


— момент внешней силы


F внеш , действующей на i-ю час-


тицу.

� �
Рассмотрим, как связаны друг с другом моменты импульса и сил системы, если их брать относительно точек O' и O, находящихся на расстоянии R друг от друга. Для радиус-вектора i частицы системы (рис.4.4) имеем

ri = ri¢ + R ,

� � �
где R — радиус- вектор точки O относительно точки O'. Тогда


å[r , p ] = å[( ¢ +


� � � � � �

å å
), ] = [ ¢, ] + [ , ] =


 

i i

i i


ri R pi

� �


ri pi

i �� i


R pi


= L¢ + [Rpi ] =

i


L¢ + [ R, p ],


p pi
где � = å�

i


— импульс системы частиц. Подставляя данное равен-


ство в (4.20), получим � � � �

L = L¢ + [ R, p ].

Аналогично имеем

� � � �

i
M = M ¢ + [ RF внеш ]. (4.22)

i

Отметим, что если �

i
åF внеш = 0,

i

то � �

M = M ¢ ,

т. е. сумма моментов внешних сил, действующих на систему час- тиц, рассчитанных относительно любой неподвижной точки О, оди- накова.


 

На примере простейшей системы частиц (рис.4.6) найдем ее урав- нение моментов. Для каждой частицы системы, исходя из уравне-


ний (4.10)


dL = M ,

dt


относительно неподвижной точки О имеем


dL1 =dt dL2 =dt


 

M
внут

12

 

 

M
внут


+

M внеш ,

+

M внеш .


Определим производную по времени момента импульса системы

частиц�. С уче�том�(4.20)�и (4.1�9) получим


dL =d(L1 + L2 ) =dL1 +dL2 =

 


внут +


внеш +


внут +


внеш =


dt dt


dt dt


M12 M1


M 21 M 2


� �

1 2
= M внеш +M внеш .

Обобщим этот результат на систему, состоящую из произвольно-


го числа частиц.


å
dL =

dt i


 

i
M внеш =


 

M внеш , (4.23)


т. е. производная по времени момента импульса системы частицы отно- сительно неподвижной точки О равна векторной сумме моментов внеш- них сил, приложенных к частицам системы (сравните с выражением (4.10) для одной частицы). Уравнения (4.23) называются уравнением моментов системы частиц. Из (4.23) следует закон сохранения момен-

та импульса системы частиц: �

если M внеш = 0 , то L = const, (4.24)

или � �

L(t1) = L(t2 ) .

Если векторная сумма моментов внешних сил, действующих на час- тицы системы относительно неподвижной точки, равна нулю, то мо- мент импульса системы частиц остается постоянным (сравните с (4.11)). Если система изолирована (замкнута), т. е. на частицы систе- мы не действуют внешние силы, то суммарный момент этих сил ра- вен нулю и, следовательно, момент импульса изолированной системы частиц остается постоянным.


Отметим, что во всех случаях, когда момент импульса системы час- тиц постоянен, моменты импульса отдельных частиц, составляющих систему, могут меняться со временем. Проектируя на ось z векторные уравнения (4.20,4.23) получим

Lz = åLiz, (4.25)

i

dLz = M внеш . (4.26)

dt z

z
Здесь Lz момент импульса системы частиц относительно неподвиж- ной оси, а M внеш – сумма моментов внешних сил, действующих на сис- тему частиц относительно неподвижной оси. Уравнение (4.26) назы- вается уравнением моментов системы частиц относительно неподвиж- ной оси. Из (4.26) следует закон сохранения проекции момента импульса системы частиц (сравните с (4.17)):

если M внеш = 0 , то L = const, (4.27)


или


z z

Lz (t1) = Lz (t2 ) .


Если алгебраическая сумма моментов внешних сил, действующих на все частицы системы относительно некоторой неподвижной оси равна нулю, то момент импульса системы частиц относительно этой оси остается постоянным.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Докажите, что сумма всех внутренних сил системы частиц рав- на нулю.

2. Докажите, что сумма моментов внутренних сил равна нулю.

3. Запишите уравнение моментов импульса системы частиц.

4. Запишите уравнение моментов импульса системы частиц от- носительно оси.

5. Сформулируйте закон сохранения момента импульса систе- мы частиц.

6. Как меняется со временем момент импульса замкнутой систе- мы частиц?

7. Могут ли меняться со временем моменты импульса частиц, со- ставляющих замкнутую систему?


 

ЦЕНТР МАСС СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ

Центром инерции или центром масс систе- мы частиц называется точка С, радиус-вектор

rC
которой � определяется формулой

� 1 �


 

 

где


rC = åmiri, (4.28)

m
i


m = åmi


(4.29) z


— масса системы частиiц, а тор i частицы (рис. 4.7).


ri – радиус-век-


rC
Декартовы координаты точки центра масс (или проекции радиус- вектора � ) в некоторой инерциальной системе отсчета имеют вид

x = 1 åm x , y = 1 åm y , z = 1 åm z . (4.30)

m
m
m
i i C i i i i

i i i

Если число частиц системы и их масса не меняются со временем,

то скорость точки центра масс � определяется как

vC


= = ( å
m
p
vdrC d 1 � ) =1 åm dri =1 å

 


� =1 å�


= 1 � ,(4.31)


i
i
i
C dt


m r

dt m i i


m i dt m mivi i m p


p pi
i
где � = å�


— импульс системы частиц. Следовательно, можно за-


писать i


� �

=
p mvC , (4.32)


т. е. импульс произвольной системы частиц в любой инерциальной систе- ме отсчета равен произведению массы системы на вектор скорости ее центра масс. Определим ускорение центра масс системы как


aC =


dvC

dt


. (4.33)


Продифференцируем импульс системы � (4.32) по времени с уче-

� � p

C C
том определений v (4.31) и a (4.33)

� � � 2 �

               
       

dp =dmvC =m dvC =m d rC = � .


dt dt


dt dt 2


maC


При рассмотрении закона сохранения импульса показано, что

если � – импульс системы частиц, то

� �
p

dp F внеш =F внеш .

dt i


Тогда получаем уравнение движения центра масс

2 � �


d rC


 

внеш


maC = m dt 2 = F


. (4.34)


Из этого уравнения видно, что центр масс произвольной системы движется так, как двигалась бы частица, масса которой равна сумме масс частиц системы, на которую действует сила, равная сумме внеш- них сил, приложенных к частицам системы. Отметим, что совершен- но не важно, к каким частицам системы приложены внешние силы. Таким образом, движение центра масс описывает движение произ- вольной системы частиц в целом. Рассмотрим несколько примеров движения центра масс различных систем.

 

Прыжок кошки

Если кошка прыгает горизонтально (рис. 4.8), то ее центр масс перемещается так же, как перемещается камень (материальная точ- ка) равной массы, брошенный горизонтально с той же высоты и с той же начальной скоростью. На кошку и камень в полете действу- ет одна и та же внешняя сила тяжести (трением о воздух пренебре-


гаем). Поэтому


� � �


maC = F = mg .

внеш

За счет внутренних сил кошка может только менять положение частей своего тела (кувыркаться), но не может изменить положение своего центра масс. Так же как и камень, центр масс кошки движет- ся в поле тяжести земли по параболе.

y

Рис. 4.8


 

Движение человека

При отсутствии сил трения че- ловек (рис. 4.9) не мог бы двигать- ся в горизонтальной плоскости, так как в этом случае сумма про- екций всех приложенных к чело- веку внешних сил (тяжести и нор-

мальной составляющей реакции x

опоры) на любую горизонтальную ось равна нулю. Следовательно,

ma = F внеш = N + P = 0 .


Cx x x x

За счет внутренних сил чело-


Рис. 4.9


век, как и кошка, может только изменить положение частей своего тела (ног, рук), но не положение своего центра масс. При ходьбе или беге человек выносит одну ногу вперед, приподнимая ее над зем- лей, чтобы исключить действие на нее силы трения. Другая нога дви- жется назад. Ей препятствут сила трения, приложенная к человеку и направленная вперед по его движению. Эта сила и есть та внешняя сила, которая позволяет центру масс человека перемещаться в нуж- ном направлении.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.168.112.145 (0.027 с.)