Кинематика механических гармонических колебаний

Простейшим типом периодических колебаний являются гармо- нические колебания. Закономерности, которым подчиняются гар- монические колебания, важно знать потому, что многие реальные колебания близки к гармоническим, а периодические негармони- ческие колебания есть результат сложения нескольких гармониче- ских колебаний.

Рассмотрим механические гармонические колебания материаль- ной точки.

Механическое гармоническое колебание — это такое прямоли- нейное неравномерное периодическое движение, при котором рас- стояние х от положения равновесия материальной точки до коорди- наты, в которой в данный момент времени она находится, описыва- ется уравнением

x = A sin(w0 t + j0), (6.1) где х — координата материальной точки в момент времени t.

Расстояние х материальной точки от положения равновесия до точ-

ки, в которой в данный момент времени она находится, называют сме- щением.

Наибольшее смещение материальной точки от положения рав- новесия называется амплитудой колебания и обозначается буквой A.

 

Аргумент при тригонометрической функции j = w0 t + j0 называется фазой колебаний. Фаза в процессе колебаний монотонно возрастает. За одно полное колебание она получает приращение, равное 2p. Ве- личина w0 t — приращение фазы за промежуток времени t, величина

j0 — значение фазы в начальный момент времени. Коэффициент w0

называют циклической (круговой или угловой) частотой.

Циклическая частота — величина, характеризующая быстроту из- менения фазы с течением времени и равная приращению фазы за единицу времени,

w = j-j0. (6.2)

0 t

Наименьший промежуток времени Т, по истечении которого значе- ние изменяющейся физической величины повторяется:

— по модулю и направлению, если эта величина векторная,

— по величине, если она скалярная, называется периодом колеба- ний этой величины.

За период колебаний Т система совершает одно полное колеба- ние. Число полных колебаний n, совершаемых колеблющейся вели- чиной за единицу времени, называется частотой колебаний. За еди- ницу частоты принимается частота такого колебания, при котором за 1 с совершается одно полное колебание.

Частота измеряется в герцах (Гц). Период и частота колебаний свя- заны соотношением n= 1.

T

Установим связь между w0 и Т. За время Т фаза возрастает на 2p.

Подставив в (6.2) t = T и j - j0

= 2p, получим w0

= 2p = 2pn. Цик-

T

лическая частота определяет число полных колебаний за 2p с.

Графическое представление уравнения гармонического коле- бания приведено на рис. 6.1 (Для наглядности построения графика значение начальной фазы j0 = 0).

Гармоническое колебание — движение пространственно огра- ниченное, т. е. в процессе колеба-

Рис. 6.1

ний смещение материальной точки

 

не выходит за пределы отрезка 2 А. За одно полное колебание в каж- дой точке траектории колеблющаяся точка бывает дважды: один раз

— двигаясь в одном направлении, другой раз — в другом.

Найдем зависимости проекций скорости и ускорения от време- ни при гармонических колебаниях. С этой целью вычислим первую и вторую производные от (6.1)

v = dx = A w

cos(w t + j) = A w sin(w t + j + p), (6.3)

x dt

d 2 x

0 0 0 0 0 0 2

a = = - A w2 sin(w t + j) = A w2 sin(w t + j + p). (6.4)

x dt 2 0

0 0 0 0 0

Из (6.3 и 6.4) следует, что проекции скорости и ускорения гармо- нически колеблющейся материальной точки также совершают гар- монические колебания с той же циклической частотой w0. Амплиту-

ды соответственно равны A w0 и A w. Начальная фаза скорости равна

2

⎛j + p ⎞, т. е. разность фаз скорости и смещения постоянна и рав-

⎜

0 ⎟

⎝ 2 ⎠

на p

(скорость опережает смещение на p). Начальная фаза уско-

рения равна (j0 + p), т. е. разность фаз колебаний ускорения и сме- щения постоянна и равна p (ускорение опережает смещение по фазе на p). Графики зависимости смещения х, скорости v х и ускорения aх

от времени при гармонических колебаниях для случая j0 = 0

заны на рис 6.2.

пока-

Из рис 6.2 видно, что смещение и ускорение при гармонических колебаниях происходят в противофазе, т. е. если смещение х макси- мально, то ускорение а минимально и находится в противофазе.

Величинафазы j = w0 t + j0 не влияет на форму кривой x (t), а определяет лишь ее по-

ложение в произвольный мо- мент t. Частота и период ко- лебаний также не зависят от амплитуды.

Траектория материаль- ной точки — движение про-

странственно ограниченное, Рис. 6.2

 

периодическое, прямолинейное, не выходящее за пределы отрез- ка 2 А.

Систему, совершающую гармонические колебания, называют (на- пример, в электромагнетизме) гармоническим осциллятором.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Приведите примеры колебаний, которые Вы наблюдали в ок- ружающей действительности?

2. Можно ли считать гармоническим колебательным процес- сом суточное вращение Земли вокруг своей оси, годичное — во- круг Солнца?

3. Можно ли считать колебания дыхательной и сердечной деятель- ности гармоническими?

4. Покажите, что при гармонических колебаниях не только сама колеблющаяся величина, но и ее скорость и ускорение совершают гармонические колебания.

5. Покажите, что изменение координаты со временем опережает изменение скорости со временем по фазе на 1,57 радиан.

6. Что такое собственная частота гармонического осциллятора?

7. Если частица совершает гармонические колебания с амплиту- дой А, то, какое расстояние она проходит за один период?

8. Каким образом можно удвоить максимальную скорость гармо- нического осциллятора?

 

Примеры решения задач

Задача 6.1

Материальная точка совершает гармонические колебания с час- тотой n = 10 Гц. В момент времени t = 0 точка имеет максимальное смещение х max = 1 мм. Написать уравнение движения материальной точки.

Дано: n = 10 Гц; х max = 1 мм = 0,001 м.

Найти: уравнение движения материальной точки. Максимальное смещение точки от положения равновесия — ам-

плитуда колебаний х max, циклическая частота колебаний w0 = 2pn. Уравнение имеет вид

x = x max sin(2pn t + j0).

 

Найдем начальную фазу j0. Из условия задачи при t = 0 x = х max, т. е.

x = x sin j

или 1 = sin j, j = (2 k + 1) p,

max max 0

 

где k = 0, 1, 2,…

0 0 2

Изменение фазы на 2p не меняет колебаний, следовательно, дос- таточно рассмотреть случай k = 0. Получим начальный сдвиг фазы

j = p.

0 2

С учетом начального сдвига фазы уравнение движения матери- альной точки имеет вид

x = x max

sin(2pn t + p).

Если подставить численные значения, то

x = 0, 01sin(2p10 t + p), м.

Ответ: уравнение движения материальной точки имеет вид

x = 0, 01sin(62,8 t + p), м.

 

Задача 6.2

Материальная точка совершает гармонические колебания с часто- той n = 0,5 Гц. Амплитуда колебаний А = 3 см. Определить величины скорости и ускорения точки, когда смещение х = 1,5 см.

Дано: n = 0,5 Гц; А = 3 см; х = 1,5 см. Найти: v, a.

Уравнение гармонических колебаний

x = A sin(w0 t + j0).

Так как движение происходит вдоль оси х, то скорость всегда на- правлена вдоль этой оси.

Поскольку движение колебательное, то направление скорости мо- жет быть параллельной или антипараллельной оси х. Следователь- но, проекция вектора скорости на эту ось v x = ±v, где v — модуль скорости.

v = A w0 cos(w0 t + j0).

 

Чтобы выразить скорость через смещение, нужно исключить из приведенных уравнений время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое из них на А 2, второе — на А 2 w2 и, сложив,

получим

x 2 + v2 =

 

A 2

или, учитывая, что w0 = 2pn,

A 2w2 1

x 2 +

A 2

v2

4p2 n2 A 2

= 1.

Решая полученное уравнение относительно v, находим

 

Ускорение

v = 2pn.

a = d n x - A w2 sin(w t + j) = -w2 x = -4p2 n2 x.

x dt

0 0 0 0

Величина ускорения — положительная, поэтому a = 4p2 n2 x.

Ответ: величины скорости и ускорения равны v = 8,2 см/с, а = 59,16 см/с2.

 

Задача 6.3

Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t 1 смещение х 1 = 5 см. При увеличении фазы вдвое смещение точки стало х 2 = 8 см. Найти амплитуду А колебаний.

Дано: х 1 = 5 см; х 2 = 8 см. Найти: А.

Уравнения гармонических колебаний для смещения в обоих слу- чаях:

x 1 = A sin(w0 t 1 + j0),

x 2 = A sin(w0 t 2 + j0).

Согласно условию задачи

2(w0 t 1 + j0) = w0 t 2 + j0.

Обозначим w0 t 1 + j0 = a; тогда уравнения для смещения могут быть представлены в виде

x 1 = A sin a,

x 2 = A sin 2a = 2 A sin a cosa.

 

Полученные уравнения преобразуем к следующему виду:

x 2

x 2 - 2 = A 2 sin2 a - A 2 sin2 a cos2 a = A 2 sin4 a.

1 4

Учитывая, что x 1 = A sin a, получаем

x 2 x 4

x 2 - 2 = 1, откуда A =.

1 4 A 2

Ответ: амплитуда гармонических колебаний А = 8,3 см.