ТОП 10:

КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ




Z

Рис. 1.11


Рассмотрим движение м. т. по окруж- ности радиусом R с постоянной линейной скоростью u вокруг неподвижной оси Z (рис. 1.11).

r
Положение точки зададим радиус-век- тором � , исходящим из точки О оси Z. За

малый интервал времени dt точка совер- шает поворот на угол dj . Движен�ие м. т.

будем характеризовать вектором dj и оп-

ределим его направление правилом пра- вого винта (если вращать правый винт по направлению движения точки, то по- ступательное движение винта совпадает


 

с вектором d � ). Модуль вектора d � равен углу поворота точки за

j j �

интервал времени dt . Линейное перемещение вектора r за время

dt равно

dr = Rdj = r sin bdj ,

где b — угол между вектором � и вектором d � , R = r sin b .

r j

Вектор перемещения

� � �
j
r
dr =[d ×] . (1.28)

Последнее равенство справедливо для бесконечно малого угла dj.

Вектор линейной скорости движения точки

 
 

d� ⎡ d � �⎤ � �

u= =⎢j×r ⎥=[wr ] , (1.29)

dt dt

w
где � = dj — вектор угловой скорости.

dt

dj ) ( � ­­ d � ) .
� Вектор угловой скорости w совпадает с направлением вектора

w j

Согласно правилу векторного умножения векторов модуль векто- ра линейной скорости

u = w × r ×sin b = w × R . (1.30) Вектор линейного ускорения


d


d � � ⎡ d � �⎤ ⎡ � d�⎤ � � � � � �

 
 


a = u=


[w×r ] =⎢w×r ⎥+⎢w×r ⎥=[e×r ] +[w×u] =a +a , (1.31)


t n
dt dt


dt ⎦⎣ dt


где � = dw — вектор углового ускорения, �


= [�× �] — вектор каса-


e

dt � � �


at e r


тельного ускорения, an =[w×u] — вектор норм�ального ускорения. Направление вектора углового ускорения e совпадает с направ-

w
e w
лением вектора � ( � ­­ � ), если угловая скорость возрастает, и про-

тивоположно ( � ­¯ � ), если она уменьшается.

e w � �

Модули векторов at = e × r ×sin b = e × R , a = w R .

 
 

2


Модуль полного ускорения

a = = R


. (1.32)


Угловой путь м. т., движущейся по окружности за время dt


dj = wdt .

Интегрируя последнее равенство в пределах изменения угла и вре- мени, найдем угловой путь (j - j0 ) точки за интервал времени t при начальном угле j0

j t

òdj = òwdt,

j0 0

t

j - j0 = òwdt .

При постоянной угловой скорости w угловой путь и угол пово-

рота определятся из равенств

j - j0 = wt ,

j = j0 + wt . (1.33)

При равноускоренном вращении точки по окружности для t = 0,

w(t = 0) = w0 e = const , угловая скорость определяется из соотноше- ния

w = w0 + et ,

которое получается интегрированием равенства dw = edt в пределах изменения угловой скорости и времени

w t

òdw = òedt ,

w0 0

w - w0 = et .

Для равноускоренного вращения за время t угловой путь и угол поворота определяются из соотношений

dj = wdt ,

dj=(w0+et ) dt ,

j t

òdj = ò(w0 + et)dt ,


j0

 

j - j


0

0 = w0t


et 2

+
,


 


j = j


0 + w0t


+et 2

2


 

. (1.34)


Для равнозамедленного вращения

w = w0 - et ,


 

j - j


0 = w0t


-et 2

2


 

, (1.35)


j = j


0 + w0t


et 2

-
.


Согласно определению угловая скорость измеряется в рад/с, уг- ловое ускорение — рад/с2.

 

Примеры решения задач

Задача 1.4.

Материальная точка движется без начальной скорости u0 = 0 вдоль прямой с ускорением a = k × t , где k = const. Определить в момент вре- мени t1 = 10 c скорость точки u1 и пройденный ею путь s1, если из- вестно, что за это время ускорение достигает значения a1 = 5 м/с2.

Дано: u0 = 0 ; t1=10 c; а1=5 м/с2. Найти: u1, s1.

Движение материальной точки ускоренное и прямолинейное. Из определения ускорения a = d u найдем скорость в момент време-


ни t


dt

t1 t1


 

kt 2 a t


11 1
u1= òa(t)dt = òktdt = = , (1)


где k = a1 .

t1


0 0 2 2


Пройденный точкой путь

t1 t1 kt 2


 

kt3 a t 2


s = òudt = ò dt = 1 = 11 . (2)

0 0 2 6 6

at a t 2

Ответ: u = 1 1 = 25 м/с, s = 1 1 = 83, 3 м.

1 2 6


 

Задача 1.5.

Материальная точка начинает движение по окружности радиусом R = 29 см с постоянным касательным ускорением at= 0, 5 м/с2. Опре- делить пройденный путь s, угловую скорость w, угловое ускорение e

и время t, при котором вектор ускорения � образует с вектором ско-

a

рости u угол a = 30°.

Дано: R = 29 см = 0,29 м; at= 0, 5 м/с2;

a = 30°; u0 = 0 .

Найти: t, s, w, e.

Из определения касательного ускорения


a =d u

t dt


найдем скорость точки

t

u = òatdt = att .


Нормальное ускорение в момент времени t

u2 a 2t 2

t
an = = .

R R � � �


Укажем на рисунке направление векторов найдем


at,


an ,


a , угол a, и


a a 2t 2 a t 2

tga = n = t = t ,

at R × at R t = .

Путь, пройденный точкой (см. 1.6)

t a t 2 Rtga

s = òudt = òattdt = t = .


Угловая скорость


0 2 2

w = u= att = .


R R

Угловое ускорение

e=dw = d u =at .

dt dt R R

Ответ: t = = 0, 58 c, w = = 1рад/с, e = at = 1, 73 рад/с2,

R

s = atRtga= 0, 43 м.


 

Задача 1.6.

Тело брошено горизонтально со скоро- Y

стью u0= 15 м/с�с высоты h = 10 м. Опреде-

лить скорость u , касательное at, нормаль- υ0

h
ное an и полное ускорения a, радиус кривиз- ны R траектории в момент падения тела.

Дано: u0 = 15 м/с; h = 10 м; g = 9,8 м/с2


Найти: u, at, an, a, R. i

Движение тела происходитв плоско- 0 j

сти ХОY.

По оси ОХ тело движется равномерно с постоянной скоростью ux = u0 . По оси ОY тело движется с ускорением свободного па-


υx

an φ X g aτ

υy υ


дения g. В точке падения вектор и модуль скорости

� � � � �

u = uxi + uy j = u0i - gtj ,

 

u = .

где t — время падения тела, uy = –gt.

Время падения определим из уравнения движения тела вдоль оси ОУ

gt 2


 

 

Когда у = 0, h =


 

 

gt 2

2


 

 

, t =


y = h - .

2

 

.


Модуль вектора скорости

u = .

В любой точке траектории полное ускорение падающего тела

=
� �

a g .

Модули составляющих полного ускорения

at= g sin j , an = g cos j ,

и
,
u0
где j — угол между направлениями векторов u �


 

cos j = u0 ; sin j = = gt .


u

gt g 2t


u u

u gu


Тогда at = g


u = u = g


, an


= g 0 = 0 .

u


Радиус кривизны траектории в точке падения тела найдем из оп- ределения нормального ускорения

u2 (u2 +2gh)3/ 2

R = = 0 .

an g × u0

 


Ответ: u =


= 20, 6 м/с, at= g


= 6,8 м/с2,


 


an =


gu0


(u2 + 2gh)3/ 2

= = =
7, 3 м/с2, R 0 58,1 м.

g × u


 


Задача 1.7.

Y


 

Тело брошено вертикально вверх со ско- ростью u0. Определить максимальную высо-


y = h

h


υy = 0

 

g


ту подъема тела h и скорость u при его па- дении.

Дано: u0.

Найти: h, u.


υ0

y = 0

 

 

υ


Тело движется прямолинейно с ускоре- нием свободного падения g. Для равнопере- менного прямолинейного движения и вы- бранного направления оси и начала ко-


ординат зависимость координаты и проекции скорости от времени запишем в виде


y(t) = u0t -


gt 2

2 (1)


⎪⎩uy(t) = u0- gt

В точке максимального подъема тела y = h, а uy (th ) = 0 , где th

время подъема тела. Тогда, u (t ) = u – gt = 0 и t = u0 .

y h 0 h h g


Из уравнения (1) при t = th максимальная высота подъема тела


gt 2


u g u2 u2


h = u t - h = u


0 - × 0 = 0 .


0 h 2


0 g 2 g 2 2g


Время полета tпол определяется из равенства y (tпол)=0,


пол
u t - gt 2 = 0,

0 пол 2

Проекции скорости на ось ОУ


t = 2u0 .

пол g


uC =u0 - gtпол ,


uC = u0


- g 2u0 = -u ,

g 0


u
где знак минус указывает направление скорости � , противополож-

ное оси ОУ.

u2

Ответ: h = 0 , u = u .

2g 0

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. От каких кинематических характеристик зависит форма траек- тории движения м. т.?

2. Запишите зависимость координат от времени м. т., движущей- ся по прямой линии, параболе.

3. Для тела, брошенного со скоростью u0 под углом a к горизон-

ту, определите зависимость его модуля перемещения от времени по- лета.

4. Выведите соотношения между линейными и угловыми характе- ристиками вращательного движения материальной точки.

5. От каких кинематических характеристик зависит радиус кри- визны траектории?

6. Определите линейный и угловой путь точки, совершившей n оборотов по окружности радиуса R, с постоянной угловой скоро- стью w.


 

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

· Система отсчетасостоит из тела отсчета, жестко связанной с ним системы координат и часов.

· Материальная точка— макроскопическое тело, размерами кото-

рого пренебрегают в соответствии с условиями задачи.

· Траектория движения материальной точки— совокупность всех ее последовательных положений в пространстве.

· Вектор перемещенияÄ�= � - � — изменение радиус-вектора в за-

r r2 r1

данной системе отсчета.

· Путьs — длина участка траектории материальной точки за неко- торый интервал времени t.

· Мгновенная скорость � �


Är

u=lim

Ät ®0 Ät


=dr dt


r
— векторная величина, характеризующая быстроту изменения радиус-вектора � .

· Ускорение� �

a =lim Äu =d u

Ät ®0Ät dt

— векторная вели�чина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости u .

· Касательное (тангенциальное) ускорение

a =d u

t dt

— составляющая полного ускорения, определяющая изменение скорости по модулю и направлена по касательной к траектории.

· Нормальное ускорение � � �

an =[w´u]

— составляющая полного ускорения, направленная к центру кри- визны траектории.

· Равномерное прямолинейное движение —движение с постоянной ско- ростью u .

·

a
Равнопеременное прямолинейное движение— движение с постоян- ным ускорением � .


Обозначения, используемые в главе 1 95

 

· Криволинейное движение— движение по криволинейной траекто-

рии с изменяющимися векторами касательного � и нормально-

t
a

an
го ускорений � .

· Вращательное движение— движение м. т. по�окружности, харак- териз�ующееся векторами угловой скорости w и углового ускоре- ния e , модуль которых связан с линейной скоростью м. т. соот-

ношениями


w = u, e =

R


d u .

dt × R


·

d
Вектор угловой скорости �

=
j

w

dt

·
определяет скорость изменения угла поворота точки.

Вектор углового ускорения

d

e = w

dt

определяет изменение угловой скорости w .

· Угловой путь м. т.


j - j


0 = w0t


et 2

±
,


где j0и w0– угол и угловая скорость при t = 0. Знак плюс соот- ветствует равноускоренному вращению, а минус равнозамедлен- ному.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.15.246 (0.117 с.)