Потенциальная энергия идеальной деформированной пружины и закрепленного на ней тела

Пусть идеальная пружина длиной R в недеформированном состоя- нии закреплена с одного конца, а на другом находится тело. Пружи- на не имеет массы и подчиняется закону Гука. В отсутствие деформа- ции ее незакрепленный конец может находиться в любой точке по- верхности сферы радиусом R. Если же пружина деформирована, то положение ее незакрепленного конца при растяжении располагает- ся вне сферической поверхности, и внутри — при сжатии. При даль- нейшем рассмотрении считается, что на тело действует только упру- гая сила, и сила тяжести тела не учитывается.

 

Деформация пружины может быть осуществлена только при на- личии внешней силы. Приложение внешней силы к незакрепленно- му концу пружины (телу) сопровождается возникновением противо-

F = - k �, (3.39)

положно направленной силы �упругости

r

r

где k – коэффициент упругости (жесткости) пружины; � — мера ее де-

формации, вектор удлинения пружины относительно ее недеформи- рованного состояния (вектор, соединяющий незакрепленный конец пружины в недеформированном и деформированном состояниях).

При любом положении незакрепленного конца пружины (тела) в пространстве сила упругости при ее растяжении направлена к точке закрепления пружины, а при сжатии — в противоположную сторону, но всегда вдоль прямой, соединяющей тело и точку закрепления. Со- гласно соотношению (3.39) сила упругости зависит от расстояния ме- жду незакрепленным концом пружины в недеформированном и де- формированном состояниях, т. е. F = F (r), и для вычисления работы упругой силы применима формула (3.33). Следовательно, сила упру- гости — центральная, ее работа не зависит от формы траектории пе- ремещения в пространстве незакрепленного конца пружины (тела). Таким образом, при нахождении тела в любой точке пространства, кроме поверхности сферы радиусом R с центром в точке закрепления пружины (R — длина недеформированной пружины), на него дейст- вует центральная упругая сила. Вместо введенной выше модели тела на упругой пружине можно просто рассматривать тело в центральном поле (3.39) и использовать для интерпретации результаты, получен-

ные при рассмотрении тела в гравитационном поле Земли.

Действительно, подставляя упругую силу (3.38) в формулу (3.33), найдем работу этой силы при переходе тела из одного (r 1) положе- ния в другое (r 2)

2 r 2

r 2 k

12 ò ò ò

2 2 1

A = dA = F (r) dr = - k rdr = - (r 2 - r 2)

1 r 1 r 1

и представим последнее соотношение в виде разности значений

A 12 = U (r 1) – U (r 2),

функции

 

kr 2

U (r) = + C

 

(3.40)

 

для различных значений r 1 и r 2 положения тела в упругом поле. C — произвольная константа. Функция U = U (r) — потенциальная энер- гия пружины и тела (не пружины, как обычно считается, а именно пружины + тела!).

Если пружина сжимается, то r 2 < r 1 и A 12 > 0, U (r 1) > U (r 2). В этом случае упругая сила совершает положительную работу. Пружина пе- реходит из более деформированного состояния, которое характери- зуется значением функции U (r 1), в менее деформированное, с мень- шим значением U (r 2) этой функции.

Если же пружина растягивается, то r 2 > r 1, A 12 < 0, U (r 1) < U (r 2) и упругая сила совершает отрицательную работу.

Значение потенциальной энергии можно отсчитывать от любо- го начального уровня. Обычно полагают, что потенциальная энер- гия, соответствующая недеформированной пружине, равна нулю, т. е. U (0) = 0, формула (3.40) принимает вид

kr 2

U (r) =.

Именно об этом значении потенциальной энергии обычно и не совсем правильно говорят как о потенциальной энергии пружины.

В системе тел, в которой действуют только силы тяжести или уп- ругие силы, всякая работа сил связана с изменением их конфигура- ции, т. е. взаимного расположения тел. Если действующие в системе силы совершают положительную работу, то конфигурация при этом всегда изменяется так, что в конце концов способность системы со- вершать работу окажется исчерпанной. Так, сила тяжести тела, под- нятого на некоторую высоту, двигаясь по произвольной криволиней- ной траектории, совершает положительную работу до тех пор, пока не окажется в ее нижней точке и не сможет более совершать работу (задача 3.4). Если сила упругости предварительно растянутой пружи- ны совершает положительную работу, то она сокращается до конфи- гурации, соответствующей недеформированной длине пружины (за- дача 3.5). Таким образом, поднятое тело и растянутая (сжатая) пру- жина обладают ограниченным «запасом» работы, которую они могут совершить, переходя в конечное состояние. Величина этого «запа- са» работы определяется начальным положением тела в пространст- ве или начальным растяжением (сжатием) пружины, т. е. их началь- ными конфигурациями.

 

Отметим, что «наинизшая» конфигурация для силы тяжести не может быть определена так же естественно, как для пружины. Для пружины и вообще для упругих сил «наинизшей» конфигурацией яв- ляется состояние, в котором деформация отсутствует. Для поднято- го тела «наинизшим» положением может быть любой уровень: пола, земли и т. д. Уровень, относительно которого отсчитывается потенци- альная энергия, если тело поднято на некоторую высоту, может быть выбран совершенно условно. Представляет интерес не абсолютная величина потенциальной энергии, а лишь ее изменение относитель- но некоторого уровня.

Всякий раз, когда силы, действующие в системе, совершают по- ложительную работу, происходят такие изменения конфигурации, при которых потенциальная энергия системы уменьшается. Наобо- рот, если силы, действующие в системе, совершают отрицательную работу, то конфигурация изменяется так, что потенциальная энер- гия возрастает. Для того чтобы силы, действующие в системе, со- вершали отрицательную работу, точки приложения сил должны пе- ремещаться в направлении, противоположном действию сил. Этого можно достичь прикладывая к телам системы внешние силы. Тогда внешние силы совершают положительную работу, увеличивая потен- циальную энергию системы.

Равновесное состояние системы

В системе, предоставленной действию только внутренних сил, происходят изменения ее конфигурации, сопровождающиеся умень- шением потенциальной энергии. Состояние системы, в котором сум- ма действующих на тело сил равна нулю, представляет собой поло- жение равновесия. В положении равновесия ускорение тела, соглас- но второму закону Ньютона, тоже равно нулю. Если к тому же тело неподвижно, т. е. его скорость равна нулю, то оно будет находиться в таком состоянии как угодно долго.

Рассмотрим вопрос о поведении потенциальной энергии вблизи положения равновесия для одномерного случая. Пусть какому-либо состоянию равновесия соответствуют значения координаты x = x 1 и потенциальной энергии U = U (x 1). При перемещении тела на рас- стояние dx, действующая на него внутренняя сила F в направлении x 1 совершает работу

dA = Fdx.

 

Работа осуществляется за счет уменьшения потенциальной энер- гии системы, т. е.

dA = - dU = FdE ® - dU = F.

dx

Так как в положении равновесия (x = x 1) действующая на тело сила

F должна быть равна нулю, то

⎜ ⎟

⎛ dU ⎞

⎝ dx ⎠

 

 

x = x 1

= 0, (3.41)

т. е. в положении равновесия потенциальная энергия достигает либо минимума либо максимума (точка перегиба не рассматривается, не- смотря на то, что в ней также выполняется условие (3.41)).

При отклонении тела от положения равновесия возникает внут- ренняя сила F, направленная к равновесному положению и препятст- вующая значительному удалению тела от него. При отклонении тела от этого равновесного состояния сила совершает отрицательную ра- боту и потенциальная энергия возрастает. Положению равновесия со- ответствует минимум потенциальной энергии.

Если же возникающая сила F направлена от положения равно- весия, то при удалении тела от состояния, определенного условием (3.41), она совершает положительную работу и потенциальная энергия системы уменьшается. Значит, положению равновесия соответствует максимум потенциальной энергии, и тело не может сколько-нибудь длительное время находиться в состоянии, близком к состоянию рав- новесия. В первом случае состояние равновесия оказывается устойчи- вым, во втором — неустойчивым.

Таким образом, устойчивому состоянию равновесия соответст- вует минимум, а неустойчивому — максимум потенциальной энергии. Так как максимум или минимум функции в точке экстремума опре- деляется знаком второй производной в этой точке, то условиями ус- тойчивого и неустойчивого равновесия системы являются следую- щие соотношения:

dU (x 1) =0,

dx

dU (x 1) =0,

dx

dU 2 (x)

1 > 0 — равновесие устойчиво, (3.42)

dx 2

dU 2 (x)

1 < 0 — равновесие неустойчиво. (3.43)

dx 2

 

В состоянии устойчивого равновесия конфигурация системы та- кова, что ее потенциальная энергия принимает минимальное зна- чение. Иначе говоря, любая замкнутая система стремится перейти в такое состояние, в котором ее потенциальная энергия минимальна. Последнее утверждение известно как принцип минимума потенци- альной энергии.

В общем случае, если потенциальная энергия системы представ- ляет собой функцию нескольких переменных, то математическое рас- смотрение вопроса об устойчивости равновесного состояния значи- тельно усложняется, хотя представленная выше качественная карти- на не изменяется.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение потенциальной энергии системы тел.

2. Обоснуйте утверждение: совершение силами, действующими в системе, положительной работы сопровождается изменениями кон- фигурации, приводящими к понижению потенциальной энергии.

3. Как изменяется потенциальная энергия системы, если дейст- вующие в ней силы совершают отрицательную работу?

4. Может ли потенциальная энергия тела, поднятого над землей, быть отрицательной?

5. Может ли потенциальная энергия упругой пружины быть от- рицательной?

6. Обоснуйте утверждение: зависимость потенциальной энергии деформированной пружины от квадрата удлинения определяется за- коном Гука.

7. Изменятся ли изложенные выше количественные результаты и качественные выводы, если предположение о пропорционально- сти между силой и удлинением пружины (закон Гука) не будет вы- полняться?

8. В чем состоит отличие между кинетической и потенциальной энергиями?

9. Всегда ли уменьшение потенциальной энергии системы сопро- вождается возникновением и возрастанием кинетической энергии?

10. Обоснуйте утверждение: в системе, предоставленной действию только внутренних сил, происходят изменения ее конфигурации, со- провождающиеся уменьшением потенциальной энергии.

 

11. Дайте определение устойчивого и неустойчивого состояния равновесия.

12. Работу какого знака совершают внутренние силы, возникаю- щие при отклонении системы от устойчивого (неустойчивого) поло- жения равновесия?

13. Выведете математические условия для нахождения системы в состоянии устойчивого и неустойчивого равновесия.

 

Примеры решения задач

Задача 3.9

Если массу m 1 = 3 кг тела, висящего на невесомой пружине, уве- личить на m 2 = 1 кг, то ее длина возрастает на Ä L 2 = 30 мм. Найти по- тенциальную U энергию пружины в конечном состоянии.

Дано: m 1 = 5 кг; m 2 = 1 кг; Ä L 2 = 30 мм. Найти: U.

Для решения задачи составим следующую систему уравнений с тремя неизвестными величинами: коэффициентом упругости пружи- ны k, удлинением Ä L 2 пружины, возникающем в пружине под дей- ствием тела массой m 2; потенциальной энергии пружины в конеч- ном состоянии U

m 1 g = k Ä L 1 — условие равновесия в начальном состоянии; (1) (m 1 + m 2) g = k (Ä L 1 + Ä L 2) — условие равновесия

в конечном состоянии; (2)

k (Ä L + Ä L)2

U = 1 2 — потенциальная энергия пружин

2 в конечном состоянии. (3)

Из соотношений (2), найдем коэффициент упругости

m 2 g = k Ä L 2

® k = g m 2

Ä L 2

. (4)

Подставляя последний результат в (1), имеем

1 2

m g = m g Ä L 1. (5)

Ä L 2

Отсюда найдем удлинение пружины в начальном состоянии

Ä L = Ä L m 1. (6)

m

1 2

 

Подставляя (4) и (6) в (3), получим окончательный результат, пред- ставленный в ответе.

(m + m)2

Ответ: U = 1 2 g Ä L = 5,4 (Дж).

2 m 2