ТОП 10:

Коэффициент внутреннего трения



Вещество Вода Водяной пар Машинное масло Воздух
t °C
h · 10–3 Па · с 1,0 0,013 0,018

Сила сопротивления среды

При движении твердых тел в жидкости или газе, кроме силы внут- реннего трения, на тело (в случае больших скоростей и размеров тел) на- чинает оказывать существенное влияние сила сопротивления среды

Fсопр = rS u2 = bu2 , (2.23)

где u — скорость движения тела; r — плотность среды (жидкости или газа); S — площадь поперечного сечения тела, b = rS — коэффици- ент сопротивления.

Тело, движущееся в среде, испы- тывает действие двух сил: силы вязко- го трения (Fтр) и силы сопротивления (Fсопр). При небольших скоростях сила сопротивления меньше силы вязкого трения, а при больших — значительно превосходит ее (рис. 2.8).

При некотором значении скорости

u¢ силы Fтр и Fсопр становятся равными по модулю.


Сила сопротивления среды зависит от формы движущегося тела. Форму


Рис. 2.8


тела, при которой сила сопротивления мала, называют обтекаемой. Ракетам, самолетам, автомобилям и другим машинам, движущимся с большими скоростями в воздухе или в воде, придают обтекаемую, каплеобразную форму.


 

Сила упругости

При действии на тело внешних сил возникает деформация и упру- гая сила Fупр


 

Рис. 2.9


Различают деформацию упругую Х и неупругую. При упругой деформа- ции тело после прекращения дейст-

вия внешних сил полностью восста- навливает свою форму и размеры. При неупругой деформации фор- ма и размеры тела не восстанавли- ваются.

Остановимся подробно на упру- гой деформации.

При растяжении пружины на ве-


личину x (рис. 2.9) относительно ее равновесного положения возни-


F
кает упругая сила

упр


, которая возвращает пружину в прежнее со-


стояние после прекращения действия внешней силы (х0 = 0). В соот- ветствии с законом Гука: упругая сила Fx, возникающая при линейном растяжении или сжатии пружины, пропорциональна величине ее де- формации

Fx = –kÄx, (2.24)

где Äx = x – x0 — деформация пружины; Fx — проекция силы упруго- сти на направление перемещения пружины; k — коэффициент упру- гости пружины, знак минус указывает, что направления силы и пере- мещения противоположны.

 

l + $l l0 - $l

l0

 

Рис. 2.10.


 

Однородные стержни ведут себя при растяжении или односторон- нем сжатии подобно пружине. Если к конца�м сте�ржня (рис. 2.10) при- ложить направленные вдоль его оси силы F1 и F2 (F1 = F2 = Fs), дей- ствие которых равномерно распределено по всему сечению, то длина стержня l0 получит положительную (при растяжении), либо отрица- тельную (при сжатии) деформацию Äl. Деформацию стержня можно характеризовать относительным удлинением

e = Äl . (2.25)

l0

Опыт показывает, что для стержня при упругой деформации от- носительное удлинение пропорционально силе Fs, действующей на площадь его поперечного сечения S

e = a Fs , (2.26)

S

где a — коэффициент упругости стержня, Fs — напряжение стерж-

ня, измеряемое в паскалях (Па = Н/м2). S

Из-за взаимодействия частей стержня друг с другом напряжение передаётся во все его точки. Если внешние силы направлены по нор- мали к поверхности, напряжение называют нормальным, а по каса- тельной — тангенциальным. Нормальное напряжение Fs/s = s, тан- генциальное — Ft/s = t.

Наряду с коэффициентом упругости a для характеристики упругих

свойств тел при нормальных напряжениях используют модуль Юнга Е = 1/a, который, как и напряжение, измеряется в паскалях.

Относительное удлинение (сжатие) и модуль Юнга в соответствии с равенствами (2.25 и 2.26) определяется из соотношений

e = s, E = s l0 .

E Äl

Модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при ко- тором деформация стержня Äl равна его первоначальной длине l0. В действительности при таких напряжениях происходит разруше- ние стержня.

Решая уравнение (2.26) относительно Fs, и подставляя вместо

e = Äl/l0, a = 1/Е, получим формулу для определения силы дефор- мирующей стержень с сечение S на величину Äl



где ES

l0


F = ES Äl , (2.27)

s
l0

— постоянный для стержня коэффициент, который в соответ-


ствии с законом Гука соответствует коэффициенту упругости стерж- ня при его сжатии и растяжении.

Рассмотрим деформа- F1 цию сдвига. Возьмём од-нородное тело, имеющее форму прямоугольного па-

b раллелепипеда высотой b,

и приложим к его проти-

F2 в�олеж�ащим граням силы


F

F1 и F2


(F1


= F2


= Ft), на-


Рис. 2.11


правленные параллельно граням (рис. 2.11).


Если действие сил равномерно распределено по всей поверхно- сти соответствующей грани тела, то в любом сечении, параллельном этим граням, возникает тангенциальное напряжение

t = Ft,

S

где S — площадь грани. Под действием напряжений тело деформи- руется так, что одна грань сместится относительно другой на неко- торое расстояние а. Если тело мысленно разбить на элементарные, параллельные рассматриваемым граням слои, то каждый слой ока- жется сдвинутым относительно соседнего с ним слоя.

При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпен- дикулярная к слоям, повернется на некоторый угол j. Деформация сдвига характеризуется отношением

g = a = tgj ,

b

которое называется относительным сдвигом. При упругих деформа- циях угол j — очень мал, поэтому можно положить tgj » j и g = j.

Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален тан- генциальному напряжению


 

g = 1 t = 1×Ft,

G G × S

где G — модуль сдвига, GS — постоянная величина для деформируе-


мого тела. Модуль сдвига G = t

g


зависит только от свойств материа-


ла и равен тангенциальному напряжению при угле j = 45°. Модуль сдвига так же, как и модуль Юнга измеряется в паскалях (Па).

Сила, вызывающая сдвиг стержня сечением S на угол j, соглас-

но (2.28), равна

Ft= G × S × g = G S j, (2.28) где G · S — коэффициент упругости стержня при деформации сдвига.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение силы и перечислите ее разновидности в ме- ханике.

2. Определите порядок силы гравитационного взаимодействия ме- жду космическими телами (Земля и Луна) и силы между двумя вагона- ми с массами 50 т, находящимися на расстояние 10 см друг от друга.

3. Верно ли утверждение, что сила тяжести тела всегда равна его силе гравитационного притяжения к Земле?

4. Какие силы действует на тело, лежащее на горизонтальной опоре?

5. Будут ли одинаковыми показания весов, если тело взвешива- ют в вагоне, движущемся с постоянной скоростью и с постоянным ускорением?

6. Назовите силы, которые возникают при внешнем и внутрен- нем трении.

7. Запишите закон Гука для упругой деформации сжатия, растя- жения.

 

Примеры решения задач

Задача 2.1.

Тело массой m = 2 кгдвижется так, что зависимость координаты х от времени задаётся уравнением x = Acoswt, где A = 5 м, w = p рад/с. Определить максимальную силу Fmax и силу F (t ), действующую в мо- мент времени t = 3 c.


 

Дано: x = Acoswt; m = 2 кг; A = 5 м; w = p рад/с; t = 3 c. Найти: F (t ), Fmax.

Тело движется в направлении оси Х под действием силы

Fx = max,


где ускорение

 

 

Тогда сила


 

d 2 x

= = - w w
a A 2 cos t .

x dt 2


 

 

x
где максимальная сила


F (t) = -mAw2 coswt ,


 

 

Ответ: Fmax


Fmax

= mAw2 = 98, 6 H,


= mAw2 .

 

F (t = 3 c) = -mAw2 cosw t = -98, 6 H .


 

 

Задача 2.2.

Поезд движется прямолинейно и равномерно при действии на него сил сопротивления воздуха Fсопр и трения о рельсы Fтр. Опреде- лить равнодействующую сил Fр, препятствующих движению, если


сила тяги локомотива Fтяг = 650 кН. Дано: Fтяг = 650 кН.

Найти: Fр.

При равномерном прямолинейном движе-

нии равнодействующая всех сил


 

N

Fсопр.

 

Fтр. mg


Fтяги x


N Fт
mg + +


 

+
Fтр


 

+ = 0 .
Fсопр


Сумма проекции сил на направление движения поезда Х

Fт – Fтр – Fсопр = 0, (1)

Fт = Fтр + Fсопр.

Равнодействующая сил сопротивления движению поезда.

Fр = Fтр + Fсопр = Fт = 650 кН. Ответ: Fр = Fт = 650 кН.


 

Задача 2.3.

Три груза с m1 = 500 г, m2 = 700 г и m3 = 300 г связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К первому грузу приложена горизонтально направленная сила F = 6Н. Пренеб- регая трением, определить ускорение а и силу натяжения нити F23 ме-

жду вторым и третьим грузом.

 

 


m3g


m2g


m1g


Дано: m1 = 500 г = 0,5 кг; m2 = 700 г = 0,7 кг; m3 = 300 г = 0,3 кг;

F = 6Н.

Найти: a, F23.

Урав�нен�ие дв�ижен�ия г�рузов� � � � � �

F + F12 + F21 + F23 + F32 + N1 + N2 + N3 + m1g + m2 g + m3 g =

1 2 3
a
=(m +m +m )� . (1)

Уравнение движения грузов в направлении Х

F -F12+F21-F23+F32=(m1+m2+m3)×a . (2) Так как нити невесомы и грузы относительно друг друга покоят-

ся, то

F21 =F12 , F32 =F23 .

Грузы движутся с ускорением

a = F .

m1 + m2 + m3

Определим силу F23 из систем уравнений:

⎧⎪ + = m ,
� � �

� � �⎪⎩ + = m
F23 F21 2a

F12 F 1a.

X : ⎧-F23 +F21 =m2a,

⎨-F + F = m a.

⎩ 12 1


 

Учитывая, что F12 = F21,

F23 = F21 - m2a F12 = F - m1a .

Тогда

F23=F -m1a -m2a =F -a (m1+m2) =


= F (1-


m1 + m2 m1 + m2 + m3


) = F m3 .

m1 + m2 + m3


 


Ответ: a =


F

m + m + m


= 4 м/с2, F23


= F m3

m + m + m


= 1, 2 H.


Задача 2.4


1 2 3


1 2 3

 

 

Тело массой m = 1 т движется с постоян-


Y

X

Y

N2

 

Fтр.2

X


ной скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения m = 0,2 в одном слу- чае под действием силы F1, а в другом — силы F2. Определить модули сил F1 и F2, если эти силы приложены к одной точке тела под уг- лом a = 45° к горизонту.

Дано: a = 45°; m = 0,2; m = 1 т = 103 кг. Найти: F1, F2

Запишем системы уравнений движения груза для первого и второго случаев.


F2 mg


⎧� � � �


Fтр1 + mg + N1 + F1 = 0,

⎨ � � � �

⎪⎩Fтр2+ mg + N2+ F2= 0,


X : ⎧⎪-Fтр1+F1cos a=0,


Y : ⎧-mg +N1 +F1 sin a=0,


 

(1)


⎨-F + F cos a = 0


⎨-mg + N - F sin a = 0.


⎩⎪ тр 2 2


⎩ 2 2


Решим систему уравнений (1) относительно сил N1, N2 и F1, F2

N1 = mg - F1 sin a, N2 = mg + F2 sin a

F = mmg , F = mmg .

1 (1+ mtga) cosa 2 (1- mtga) cosa


 

Ответ: F = mmg = 2,3 кН, F = mmg = 3,5 кН.

1 (1+ mtga) cosa 2 (1- mtga) cosa

 

 
Задача 2.5Y a

Локомотив трогает с места

состав вагонов с общей мас-

сой m = 1600 т, при силе тяги

Fтяги = 400 кН. Определить N


расстояние s, пройденное составом за время t = 5 мин, если коэффициент трения μ = 0,005.


 

Fтр

m

g


Fтяг

 

X

S


Дано: u0 = 0; m =1600 т = 1,6 · 106 кг; μ = 0,005; Fтяги = 400 кН =

= 4 · 105 Н; t = 5 мин = 300 с.

Найти: s.

Уравнение движения состава поезда

� � � � �

Fтр + mg + N + Fтяги = ma , (1)

� �

mg

где Fтр, , N , — силы трения, тяжести и реакции рельс.

Уравнения в проекциях сил на оси X и Y


X: -Fтр + Fтяги = ma,

Из решения уравнений (2)


Y: -mg + N = 0, (2)


 

где Fтр = mN = mmg.

Тогда


F - F

a = тяг тр ,

m

N = mg,

 

 

a = Fтяг -mmg = Fтяг - mg .

m m


Пройденный составом путь

at 2 ⎛ F


 

t 2

 
 


s = = ⎜⎝ тяг- mg⎟⎠ .

2 m 2

F t 2

Ответ: s = ⎜⎝ - mg⎟⎠ = 9000 м.

m 2


 

Задача 2.6

Локомотив тянет состав из n = 4 одинаковых вагонов, массой m = 10 т с ускорением а = 10м/с2. Определить силу натяжения F34 сцепки между третьим и четвертым вагоном, если коэффициент тре- ния колес вагона о рельсы равен m = 0,005.

 

mg mg mg mg

Дано: m =10 т =104 кг; а = 10 м/с2; m = 0,005 = 5 · 10–3. Найти: F34.

Силы, действующие между вагонами

F12= F21, F23 = F32, F34 = F43, (1)

Уравнения движения для трех вагонов, начиная с первого в на- правлении оси Х:

 
 

(2)

 

 

В результате решения уравнений (1) и (2) получим

F34 = F32 – Fтр – ma = Fтяг – 3 (Fтр + ma), (3) где Fтр = mmg — сила трения при движении одного вагона.

       
   
 

Силу тяги найдем из уравнения движения четырех вагонов с мас- сой 4m движущихся с ускорением а под действием силы Fтяг при силе трения Fтр = 4mmg

Fтяг — 4mmg = 4ma,

Fтяг = 4m(mg + а).

Подставим соотношение для силы тяги в формулу (3).


 

F34 = m (mg + a).

Ответ: Fтяг = 4m(mg + а) = 4 · 105 Н, F34 = m (mg + a) =105 Н.

 

Задача 2.7

Поезд движется со скоростью u1 = 72 км/ч, совпадающей с на- правлением скорости ветра u2 = 10 м/с. Во сколько раз увеличится сила сопротивления движению поезда Fсопр = bu2, если он будет дви- гаться навстречу ветру с той же скоростью.

Дано: u1 = 72 км/ч =20 м/с; u2 = 10 м/с.

Найти: .

Сила сопротивления поезда пропорциональна квадрату его отно- сительной скорости u, которая в первом случае u = u1 – u2, во вто- ром — u = u1 + u2.

Тогда отношение сил сопротивления

,

 

где b — коэффициент сопротивления воздуха движению поезда.

Ответ:

 

 

Задача 2.8

Грузовой автомобиль

N
(1) буксирует легко- a

F


вой автомобиль массой m = 2 т с помощью троса с коэффициентом жест- кости k =100 кН/м.


Fтр


Fупр υ

 

m
X

g


Найти удлинение Äl троса, если автомобили движутся с коэффи- циентом трения колес μ = 0,2:

а) с постоянной скоростью u, б) с ускорением a = 0,5 м/с2.

Дано: m = 2 т = 2 · 103 кг; k =100 кН/м; a = 0,5 м/с2; μ = 0,2.


Найти: Äl1, Äl2.

Модуль силы натяжения упругости


F , деформирующей трос, равен силе


 

Fупр. = k Äl = F .

a
Уравнения движения буксируемого автомобиля с ускорением �


 

где Fтр = mN = mmg. Из уравнения (1)


.

Х : –mmg + kÄl1 = ma, (1)


Äl1


= m(a+ mg) .

k


Уравнения движения автомобиля с постоянной скоростью

� � �

+ m g + N + F =0,

Х : Fтр + F = 0,

-mmg + kÄl2 = 0,


Äl2


=mmg .

k


Ответ: Fтр


= m(a+mg)= 4,9 см, Äl k 2


= mmg = 3,9 см.

k


Задача 2.9

X

Y

X


 

Автомобиль массой m = 1 т дви- жется со скоростью u = 54 км/ч, в од- ном случае по горизонтальной дороге, а в другом по профилированной с уг- лом наклона к горизонту a =15°. Оп- ределить минимальные коэффици- енты трения колес автомобиля с до- рогой, если он будет делать поворот по траектории с радиусом кривизны

б) R = 50 м без заноса.

Дано: m = 1 т = 103 кг; R = 50 м;

u = 54 км/ч = 15 м/с; a =15°.

Найти: μ1, μ2.


 

Уравнение движения автомобиля

. (1)

           
     
 
 

Для горизонтальной дороги вдоль выбранных осей

(2)

 

           
     
 
 

для профилированной дороги

(3)

 

Решая системы уравнений (2) и (3) относительно μ1 и μ2, прини-

u2 u2

R Rg
мая что а1 = а2 = , получим для горизонтальной дороги m1 = ,

u2 cos a - gR sin a

профилированной m2 = u2 sin a+gR cosa.

u2 u2cos a - gR sin a

Ответ: m1 = Rg = 0,46, m2 = u2 sin a+gR cosa= 0,17.

Задача 2.10

Тело соскальзывает с вершины гладкой сферы радиуса R = 5 м. Оп- ределить скорость u тела в момент от- рыва от поверхности сферы, если его


начальная скорость u0


равна нулю.


Дано: R = 5 м; u0 = 0. Найти: u.

ми t, � :
З�апишем уравнение движения тела в проекциях на оси с орта-

n


d u

t : m

dt


= mg sin a ,


� u2

n : m

R


= mg cos a - N . (1)


 

Учитывая, что ds = udt = Rda , первое уравнение системы (1) за- пишем в виде

ud u = gR sin a × da . (2)

Проинтегрируем левую и правую часть уравнения (2) в пределах изменения скорости от 0 до u и угла от 0 до a:

u a


òudu = gRòsin a × da,

0 0

u2 = 2gR(1- cosa).


 

(3)


Из второго уравнения системы (1) и уравнения (3), учитывая, что в момент отрыва тела от поверхности сферы N = 0, найдем его ско- рость

u
2

u2= gR cos a , cos a = ,

gR

u
2

 
 

u2= -


2gR(1

 

Ответ: u= = 5, 72 м/с.


), (4)

gR

(5)


 

 

Задача 2.11

Тело массой m = 2 кг движется в направлении оси Х под дейст- вием силы Fx = F0 sin wt . В момент времени t = 0 координата тела и его скорость равны нулю.�Определить зависимость от времени коор-

динаты x(t) и скорости u(t) и их модули в момент времени t = 2 с,

если w = 3,14 рад/с.

Дано: Fx= F0 sin wt ; x0 = 0; ux(0) = 0; t = 2 с; w = 3,14 рад/с; F0= 5 H. Найти: x(t = 2 с); u(t = 2 с).

Запишем уравнение движения тела вдоль направления оси Х:

d ux = F0 sin wt . (1)


Тогда


dt m



d ux


= F0 sin w × tdt . (2)

m


Проинтегрируем левую и правую часть последнего уравнения в пределах изменения скорости u и времени t

u F t

0
òd ux= òsin wtdt,


0 m 0


(3)


ux (t) =


F0 (1- coswt).

mw


Зависимость x(t) найдем интегрированием равенства dx(t) = ux (t)dt


x F

dx(t) = 0


t

(1- coswt)dt,


ò m


 

(4)


x(t) =


F0

mw2


(w × t - sin wt).


Ответ: x(t = 2c) =


F0

mw2


(w × t - sin wt) = 1, 59 м,


ux (t = 2c) =


F0 (1- cos wt) = 0 м/с.

mw


 

Задача 2.12

Путь, пройденный телом массой m = 2 кг, задается уравнением s = A + Bt + Ct 2 + Dt3 , где С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3. Определить за- висимость силы от времени F (t) и силу действующую на тело в мо- мент времени t = 0 и t = 10 с после начала движения.

Дано: s = A + Bt + Ct 2 + Dt3 ; С = 0,1 м/с2; D = 0,03 м/с3; m = 2 кг;

t = 10 c

Найти: F (t) , F (0), F (10).

Из основного уравнения динамики

dt
d 2s


где


 

d 2s

dt 2 = 2C + 6Dt .

Тогда


m 2 =F (t) , (1)


F (t) = m(2C + 6Dt) .


 

F (t = 0) = m × 2C ,

F (t = 10) = 2m(C + 3Dt) .

Ответ: F (t = 0) = m × 2C = 0, 4 Н, F (t = 10) = 2m(C + 3Dt) = 4 Н.

 

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

· Свободное тело— тело, на которое не действуют какие-либо дру- гие тела.

· Инерциальная система отсчета— система отсчета, в которой сво-

бодное тело покоится или движется прямолинейно и равномер- но.

· Неинерциальная система отсчета— система отсчета, в которой сво-

бодное тело движется с ускорением.

· Инертность— свойство тела сохранять состояние покоя или рав- номерное прямолинейное движение.

· Масса —положительная скалярная величина, являющаяся мерой

инертности тела,

— не зависит от его скорости движения,

— равна сумме масс всех частиц, из которых оно состоит.

· Сила— векторная величина, являющаяся мерой механического взаимодействия тел.

· Гравитационная сила— сила взаимного притяжения между двумя

материальными точками (м. т).

F = G m1m2 ,

g r 2

где G = 6, 6710-11 (Н · м2)/кг гравитационная постоянная, m1, m2 — массы взаимодействующих тел, r — расстояние между м. т или цен-

трами масс тел�.

· Сила реакцииN — сила, действующая на тело со стороны опоры,

или подвеса, препятствующая его движению.

· Сила тяжести

 

Fтяж = mg

— составляющая силы, гравитационного взаимодействия тела с

Землeй.


Основные положения 137

 

· Вес тела — сила, приложенная к горизонтальной опоре или подве- су, которые удерживают тело от свободного падения. При непод- вижной опоре (подвесе) или при их равномерном движении вес тела равен силе тяжести.

· Третий закон Ньютона— силы взаимодействия двух материальных

точек в инерциальной системе отсчета равны по модулю и проти- воположны по направлению

� �

F = -F ,

1,2 � 2 ,1

гд�е F1,2– сила, действующая на первую точку со стороны второй,

F2,1 – сила, действующая на вторую точку со стороны первой.

· Сила упругости

Fупр = -k (l - l0 ) = -kÄl ,

где k — коэффициент упругости тела l0 , l - начальная и конечная его длина.

· Сила трениявозникает при взаимодействии соприкасающихся по- верхностей твердых тел или слоями жидкости или газа.

· Сила трения покоядействует между неподвижными поверхностя-

ми взаимодействующих тел и изменяется от нуля до максималь- ного значения Fтр.max = m0 N , где m0 - коэффициент трения покоя, N — сила реакции опоры.

· Сила трения скольжения

Fтр = mN

— возникает при относительном движении соприкасающихся тел, где m — коэффициент трения скольжения.

· Сила сопротивления

Fсопр » bun ,

где b — коэффициент сопротивления, n — показатель степени за- висящий от величины скорости.

·

Импул�ьс тела

p = mu

— векторная величина, характеризующая движение тела.

Первый закон Ньютона— материальная точка в инерциальной сис- теме отсчета сохраняет состояние покоя или равномерного прямо- линейного движения, если на нее не действуют силы или их дей- ствие скомпенсировано.


 

· Втор�ой закон Ньютона

F

a = ,

m

— ускорение a , материальной точкой в инерциальной системе от- счета прямопропорционально действующей на точку силе, обрат- но пропорционально массе и совпадает по направлению с силой.

· Уравнение движения— второй закон Ньютона, записанный в фор-

ме дифференциального уравнения второго порядка

2 �

m d r = F ,

dt 2

r
где � – радиус вектор материальной точки в инерциальной систе-

ме отсчета.

 

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.15.246 (0.416 с.)