Коэффициент внутреннего трения

Вещество	Вода	Водяной пар	Машинное масло	Воздух
t °C
h · 10–3 Па · с	1,0	0,013		0,018

Сила сопротивления среды

При движении твердых тел в жидкости или газе, кроме силы внут- реннего трения, на тело (в случае больших скоростей и размеров тел) на- чинает оказывать существенное влияние сила сопротивления среды

F сопр = r S u2 = bu2, (2.23)

где u — скорость движения тела; r — плотность среды (жидкости или газа); S — площадь поперечного сечения тела, b = r S — коэффици- ент сопротивления.

Тело, движущееся в среде, испы- тывает действие двух сил: силы вязко- го трения (F тр) и силы сопротивления (F сопр). При небольших скоростях сила сопротивления меньше силы вязкого трения, а при больших — значительно превосходит ее (рис. 2.8).

При некотором значении скорости

u¢ силы F тр и F сопр становятся равными по модулю.

Сила сопротивления среды зависит от формы движущегося тела. Форму

Рис. 2.8

тела, при которой сила сопротивления мала, называют обтекаемой. Ракетам, самолетам, автомобилям и другим машинам, движущимся с большими скоростями в воздухе или в воде, придают обтекаемую, каплеобразную форму.

 

Сила упругости

При действии на тело внешних сил возникает деформация и упру- гая сила F упр

 

Рис. 2.9

Различают деформацию упругую Х и неупругую. При упругой деформа- ции тело после прекращения дейст-

вия внешних сил полностью восста- навливает свою форму и размеры. При неупругой деформации фор- ма и размеры тела не восстанавли- ваются.

Остановимся подробно на упру- гой деформации.

При растяжении пружины на ве-

личину x (рис. 2.9) относительно ее равновесного положения возни-

F

кает упругая сила

упр

, которая возвращает пружину в прежнее со-

стояние после прекращения действия внешней силы (х 0 = 0). В соот- ветствии с законом Гука: упругая сила Fx, возникающая при линейном растяжении или сжатии пружины, пропорциональна величине ее де- формации

Fx = – k Ä x, (2.24)

где Ä x = x – x 0 — деформация пружины; Fx — проекция силы упруго- сти на направление перемещения пружины; k — коэффициент упру- гости пружины, знак минус указывает, что направления силы и пере- мещения противоположны.

 

l + $ l l 0 - $ l

l 0

 

Рис. 2.10.

 

Однородные стержни ведут себя при растяжении или односторон- нем сжатии подобно пружине. Если к конца�м сте�ржня (рис. 2.10) при- ложить направленные вдоль его оси силы F 1 и F 2 (F 1 = F 2 = F s), дей- ствие которых равномерно распределено по всему сечению, то длина стержня l 0 получит положительную (при растяжении), либо отрица- тельную (при сжатии) деформацию Ä l. Деформацию стержня можно характеризовать относительным удлинением

e = Ä l. (2.25)

l 0

Опыт показывает, что для стержня при упругой деформации от- носительное удлинение пропорционально силе F s, действующей на площадь его поперечного сечения S

e = a F s, (2.26)

S

где a — коэффициент упругости стержня, F s — напряжение стерж-

ня, измеряемое в паскалях (Па = Н/м2). S

Из-за взаимодействия частей стержня друг с другом напряжение передаётся во все его точки. Если внешние силы направлены по нор- мали к поверхности, напряжение называют нормальным, а по каса- тельной — тангенциальным. Нормальное напряжение F s/ s = s, тан- генциальное — F t/ s = t.

Наряду с коэффициентом упругости a для характеристики упругих

свойств тел при нормальных напряжениях используют модуль Юнга Е = 1/a, который, как и напряжение, измеряется в паскалях.

Относительное удлинение (сжатие) и модуль Юнга в соответствии с равенствами (2.25 и 2.26) определяется из соотношений

e = s, E = s l 0.

E Ä l

Модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при ко- тором деформация стержня Ä l равна его первоначальной длине l 0. В действительности при таких напряжениях происходит разруше- ние стержня.

Решая уравнение (2.26) относительно F s, и подставляя вместо

e = Ä l / l 0, a = 1/ Е, получим формулу для определения силы дефор- мирующей стержень с сечение S на величину Ä l

где ES

l 0

F = ES Ä l, (2.27)

s

l 0

— постоянный для стержня коэффициент, который в соответ-

ствии с законом Гука соответствует коэффициенту упругости стерж- ня при его сжатии и растяжении.

Рассмотрим деформа- F 1 цию сдвига. Возьмём од-нородное тело, имеющее форму прямоугольного па-

b раллелепипеда высотой b,

и приложим к его проти-

F 2 в�олеж�ащим граням силы

F

F 1 и F 2

(F 1

= F 2

= F t), на-

Рис. 2.11

правленные параллельно граням (рис. 2.11).

Если действие сил равномерно распределено по всей поверхно- сти соответствующей грани тела, то в любом сечении, параллельном этим граням, возникает тангенциальное напряжение

t = F t,

S

где S — площадь грани. Под действием напряжений тело деформи- руется так, что одна грань сместится относительно другой на неко- торое расстояние а. Если тело мысленно разбить на элементарные, параллельные рассматриваемым граням слои, то каждый слой ока- жется сдвинутым относительно соседнего с ним слоя.

При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпен- дикулярная к слоям, повернется на некоторый угол j. Деформация сдвига характеризуется отношением

g = a = tgj,

b

которое называется относительным сдвигом. При упругих деформа- циях угол j — очень мал, поэтому можно положить tgj» j и g = j.

Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален тан- генциальному напряжению

 

g = 1 t = 1× F t,

G G × S

где G — модуль сдвига, GS — постоянная величина для деформируе-

мого тела. Модуль сдвига G = t

g

зависит только от свойств материа-

ла и равен тангенциальному напряжению при угле j = 45°. Модуль сдвига так же, как и модуль Юнга измеряется в паскалях (Па).

Сила, вызывающая сдвиг стержня сечением S на угол j, соглас-

но (2.28), равна

F t= G × S × g = G S j, (2.28) где G · S — коэффициент упругости стержня при деформации сдвига.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение силы и перечислите ее разновидности в ме- ханике.

2. Определите порядок силы гравитационного взаимодействия ме- жду космическими телами (Земля и Луна) и силы между двумя вагона- ми с массами 50 т, находящимися на расстояние 10 см друг от друга.

3. Верно ли утверждение, что сила тяжести тела всегда равна его силе гравитационного притяжения к Земле?

4. Какие силы действует на тело, лежащее на горизонтальной опоре?

5. Будут ли одинаковыми показания весов, если тело взвешива- ют в вагоне, движущемся с постоянной скоростью и с постоянным ускорением?

6. Назовите силы, которые возникают при внешнем и внутрен- нем трении.

7. Запишите закон Гука для упругой деформации сжатия, растя- жения.

 

Примеры решения задач

Задача 2.1.

Тело массой m = 2 кгдвижется так, что зависимость координаты х от времени задаётся уравнением x = A cosw t, где A = 5 м, w = p рад/с. Определить максимальную силу F max и силу F (t), действующую в мо- мент времени t = 3 c.

 

Дано: x = A cosw t; m = 2 кг; A = 5 м; w = p рад/с; t = 3 c. Найти: F (t), F max.

Тело движется в направлении оси Х под действием силы

Fx = max,

где ускорение

 

 

Тогда сила

 

d 2 x

= = - w w

a A 2 cos t.

x dt 2

 

 

x

где максимальная сила

F (t) = - mA w2 cosw t,

 

 

Ответ: F max

F max

= mA w2 = 98, 6 H,

= mA w2.

 

F (t = 3 c) = - mA w2 cosw t = -98, 6 H.

 

 

Задача 2.2.

Поезд движется прямолинейно и равномерно при действии на него сил сопротивления воздуха F сопр и трения о рельсы F тр. Опреде- лить равнодействующую сил F р, препятствующих движению, если

сила тяги локомотива F тяг = 650 кН. Дано: F тяг = 650 кН.

Найти: F р.

При равномерном прямолинейном движе-

нии равнодействующая всех сил

 

N

F сопр.

 

F тр. mg

F тяги x

N F т

mg + +

 

+

F тр

 

+ = 0.

F сопр

Сумма проекции сил на направление движения поезда Х

F т – F тр – F сопр = 0, (1)

F т = F тр + F сопр.

Равнодействующая сил сопротивления движению поезда.

F р = F тр + F сопр = F т = 650 кН. Ответ: F р = F т = 650 кН.

 

Задача 2.3.

Три груза с m 1 = 500 г, m 2 = 700 г и m 3 = 300 г связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К первому грузу приложена горизонтально направленная сила F = 6Н. Пренеб- регая трением, определить ускорение а и силу натяжения нити F 23 ме-

жду вторым и третьим грузом.

 

 

m 3 g

m 2 g

m 1 g

Дано: m 1 = 500 г = 0,5 кг; m 2 = 700 г = 0,7 кг; m 3 = 300 г = 0,3 кг;

F = 6Н.

Найти: a, F 23.

Урав�нен�ие дв�ижен�ия г�рузов� � � � � �

F + F 12 + F 21 + F 23 + F 32 + N 1 + N 2 + N 3 + m 1 g + m 2 g + m 3 g =

1 2 3

a

=(m + m + m)�. (1)

Уравнение движения грузов в направлении Х

F - F 12+ F 21- F 23+ F 32=(m 1+ m 2+ m 3)× a. (2) Так как нити невесомы и грузы относительно друг друга покоят-

ся, то

F 21 = F 12, F 32 = F 23.

Грузы движутся с ускорением

a = F.

m 1 + m 2 + m 3

Определим силу F 23 из систем уравнений:

⎧⎪ + = m,

� � �

� � �⎪⎩ + = m

⎨ F 23 F 21 2 a

F 12 F 1 a.

X: ⎧- F 23 + F 21 = m 2 a,

⎨- F + F = m a.

⎩ 12 1

 

Учитывая, что F 12 = F 21,

F 23 = F 21 - m 2 a F 12 = F - m 1 a.

Тогда

F 23= F - m 1 a - m 2 a = F - a (m 1+ m 2) =

= F (1-

m 1 + m 2 m 1 + m 2 + m 3

) = F m 3.

m 1 + m 2 + m 3

 

Ответ: a =

F

m + m + m

= 4 м/с2, F 23

= F m 3

m + m + m

= 1, 2 H.

Задача 2.4

1 2 3

1 2 3

 

 

Тело массой m = 1 т движется с постоян-

Y

X

Y

N 2

 

F тр.2

X

ной скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения m = 0,2 в одном слу- чае под действием силы F 1, а в другом — силы F 2. Определить модули сил F 1 и F 2, если эти силы приложены к одной точке тела под уг- лом a = 45° к горизонту.

Дано: a = 45°; m = 0,2; m = 1 т = 103 кг. Найти: F 1, F 2

Запишем системы уравнений движения груза для первого и второго случаев.

F 2 mg

⎧� � � �

⎪ F тр1 + mg + N 1 + F 1 = 0,

⎨ � � � �

⎪⎩ F тр2+ mg + N 2+ F 2= 0,

X: ⎧⎪- F тр1+ F 1cos a=0,

Y: ⎧- mg + N 1 + F 1 sin a=0,

 

(1)

⎨- F + F cos a = 0

⎨- mg + N - F sin a = 0.

⎩⎪ тр 2 2

⎩ 2 2

Решим систему уравнений (1) относительно сил N 1, N 2 и F 1, F 2

N 1 = mg - F 1 sin a, N 2 = mg + F 2 sin a

F = m mg, F = m mg.

1 (1+ m tg a) cosa 2 (1- m tg a) cosa

 

Ответ: F = m mg = 2,3 кН, F = m mg = 3,5 кН.

1 (1+ m tg a) cosa 2 (1- m tg a) cosa

 

Задача 2.5 Y a

Локомотив трогает с места

состав вагонов с общей мас-

сой m = 1600 т, при силе тяги

F тяги = 400 кН. Определить N

расстояние s, пройденное составом за время t = 5 мин, если коэффициент трения μ = 0,005.

 

F тр

m

g

F тяг

 

X

S

Дано: u0 = 0; m =1600 т = 1,6 · 106 кг; μ = 0,005; F тяги = 400 кН =

= 4 · 105 Н; t = 5 мин = 300 с.

Найти: s.

Уравнение движения состава поезда

� � � � �

F тр + mg + N + F тяги = ma, (1)

� �

mg

�

где F тр,, N, — силы трения, тяжести и реакции рельс.

Уравнения в проекциях сил на оси X и Y

X: - F тр + F тяги = ma,

Из решения уравнений (2)

Y: - mg + N = 0, (2)

 

где F тр = m N = m mg.

Тогда

F - F

a = тяг тр,

m

N = mg,

 

 

a = F тяг -m mg = F тяг - m g.

m m

Пройденный составом путь

at 2 ⎛ F

 

⎞ t 2

s = = ⎜⎝ тяг - m g ⎟⎠.

2 m 2

⎛ F ⎞ t 2

Ответ: s = ⎜⎝ - m g ⎟⎠ = 9000 м.

m 2

 

Задача 2.6

Локомотив тянет состав из n = 4 одинаковых вагонов, массой m = 10 т с ускорением а = 10м/с2. Определить силу натяжения F 34 сцепки между третьим и четвертым вагоном, если коэффициент тре- ния колес вагона о рельсы равен m = 0,005.

 

mg mg mg mg

Дано: m =10 т =104 кг; а = 10 м/с2; m = 0,005 = 5 · 10–3. Найти: F 34.

Силы, действующие между вагонами

F 12= F 21, F 23 = F 32, F 34 = F 43, (1)

Уравнения движения для трех вагонов, начиная с первого в на- правлении оси Х:

(2)

 

 

В результате решения уравнений (1) и (2) получим

F 34 = F 32 – F тр – ma = F тяг – 3 (F тр + ma), (3) где F тр = m mg — сила трения при движении одного вагона.

Силу тяги найдем из уравнения движения четырех вагонов с мас- сой 4 m движущихся с ускорением а под действием силы F тяг при силе трения Fтр = 4m mg

F тяг — 4m mg = 4 ma,

F тяг = 4 m (m g + а).

Подставим соотношение для силы тяги в формулу (3).

 

F 34 = m (m g + a).

Ответ: F тяг = 4 m (m g + а) = 4 · 105 Н, F 34 = m (m g + a) =105 Н.

 

Задача 2.7

Поезд движется со скоростью u1 = 72 км/ч, совпадающей с на- правлением скорости ветра u2 = 10 м/с. Во сколько раз увеличится сила сопротивления движению поезда F сопр = bu2, если он будет дви- гаться навстречу ветру с той же скоростью.

Дано: u1 = 72 км/ч =20 м/с; u2 = 10 м/с.

Найти: .

Сила сопротивления поезда пропорциональна квадрату его отно- сительной скорости u, которая в первом случае u = u1 – u2, во вто- ром — u = u1 + u2.

Тогда отношение сил сопротивления

,

 

где b — коэффициент сопротивления воздуха движению поезда.

Ответ:

 

 

Задача 2.8

Грузовой автомобиль

N

(1) буксирует легко- a

F

вой автомобиль массой m = 2 т с помощью троса с коэффициентом жест- кости k =100 кН/м.

F тр

F упр υ

 

m

X

g

Найти удлинение Ä l троса, если автомобили движутся с коэффи- циентом трения колес μ = 0,2:

а) с постоянной скоростью u, б) с ускорением a = 0,5 м/с2.

Дано: m = 2 т = 2 · 103 кг; k =100 кН/м; a = 0,5 м/с2; μ = 0,2.

Найти: Ä l 1, Ä l 2.

Модуль силы натяжения упругости

�

F, деформирующей трос, равен силе

 

�

F упр. = k Ä l = F.

a

Уравнения движения буксируемого автомобиля с ускорением �

 

где F тр = m N = m mg. Из уравнения (1)

.

Х: –m mg + k Ä l 1 = ma, (1)

Ä l 1

= m (a + m g ).

k

Уравнения движения автомобиля с постоянной скоростью

� � �

+ m g + N + F =0,

Х: F тр + F = 0,

-m mg + k Ä l 2 = 0,

Ä l 2

= m mg.

k

Ответ: F тр

= m (a +m g ) = 4,9 см, Ä l k 2

= m mg = 3,9 см.

k

Задача 2.9

X

Y

X

 

Автомобиль массой m = 1 т дви- жется со скоростью u = 54 км/ч, в од- ном случае по горизонтальной дороге, а в другом по профилированной с уг- лом наклона к горизонту a =15°. Оп- ределить минимальные коэффици- енты трения колес автомобиля с до- рогой, если он будет делать поворот по траектории с радиусом кривизны

б) R = 50 м без заноса.

Дано: m = 1 т = 103 кг; R = 50 м;

u = 54 км/ч = 15 м/с; a =15°.

Найти: μ1, μ2.

 

Уравнение движения автомобиля

. (1)

Для горизонтальной дороги вдоль выбранных осей

(2)

 

для профилированной дороги

(3)

 

Решая системы уравнений (2) и (3) относительно μ1 и μ2, прини-

u2 u2

R Rg

мая что а 1 = а 2 =, получим для горизонтальной дороги m1 =,

u2 cos a - gR sin a

профилированной m2 = u2 sin a+ gR cosa.

u2 u2cos a - gR sin a

Ответ: m1 = Rg = 0,46, m2 = u2 sin a+ gR cosa= 0,17.

Задача 2.10

Тело соскальзывает с вершины гладкой сферы радиуса R = 5 м. Оп- ределить скорость u тела в момент от- рыва от поверхности сферы, если его

начальная скорость u0

равна нулю.

Дано: R = 5 м; u0 = 0. Найти: u.

ми t, �:

З�апишем уравнение движения тела в проекциях на оси с орта-

n

� d u

t: m

dt

= mg sin a,

� u2

n: m

R

= mg cos a - N. (1)

 

Учитывая, что ds = u dt = Rd a, первое уравнение системы (1) за- пишем в виде

u d u = gR sin a × d a. (2)

Проинтегрируем левую и правую часть уравнения (2) в пределах изменения скорости от 0 до u и угла от 0 до a:

u a

òu d u = gR òsin a × d a,

0 0

u2 = 2 gR (1- cosa).

 

(3)

Из второго уравнения системы (1) и уравнения (3), учитывая, что в момент отрыва тела от поверхности сферы N = 0, найдем его ско- рость

u

2

u2= gR cos a, cos a =,

gR

u

2

u2= -

2 gR (1

 

Ответ: u= = 5, 72 м/с.

), (4)

gR

(5)

 

 

Задача 2.11

Тело массой m = 2 кг движется в направлении оси Х под дейст- вием силы Fx = F 0 sin w t. В момент времени t = 0 координата тела и его скорость равны нулю.�Определить зависимость от времени коор-

динаты x (t) и скорости u(t) и их модули в момент времени t = 2 с,

если w = 3,14 рад/с.

Дано: Fx = F 0 sin w t; x 0 = 0; u x (0) = 0; t = 2 с; w = 3,14 рад/с; F 0= 5 H. Найти: x (t = 2 с); u(t = 2 с).

Запишем уравнение движения тела вдоль направления оси Х:

d u x = F 0 sin w t. (1)

Тогда

dt m

d u x

= F 0 sin w × tdt. (2)

m

Проинтегрируем левую и правую часть последнего уравнения в пределах изменения скорости u и времени t

u F t

0

ò d u x = òsin w tdt,

0 m 0

(3)

u x (t) =

F 0 (1- cosw t).

m w

Зависимость x (t) найдем интегрированием равенства dx (t) = u x (t) dt

x F

dx (t) = 0

t

(1- cosw t) dt,

ò m wò

 

(4)

x (t) =

F 0

m w2

(w × t - sin w t).

Ответ: x (t = 2 c) =

F 0

m w2

(w × t - sin w t) = 1, 59 м,

u x (t = 2 c) =

F 0 (1- cos w t) = 0 м/с.

m w

 

Задача 2.12

Путь, пройденный телом массой m = 2 кг, задается уравнением s = A + Bt + Ct 2 + Dt 3, где С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3. Определить за- висимость силы от времени F (t) и силу действующую на тело в мо- мент времени t = 0 и t = 10 с после начала движения.

Дано: s = A + Bt + Ct 2 + Dt 3; С = 0,1 м/с2; D = 0,03 м/с3; m = 2 кг;

t = 10 c

Найти: F (t), F (0), F (10).

Из основного уравнения динамики

dt

d 2 s

где

 

d 2 s

dt 2 = 2C + 6Dt.

Тогда

m 2 = F (t), (1)

F (t) = m (2 C + 6 Dt).

 

F (t = 0) = m × 2 C,

F (t = 10) = 2 m (C + 3 Dt).

Ответ: F (t = 0) = m × 2 C = 0, 4 Н, F (t = 10) = 2 m (C + 3 Dt) = 4 Н.

 

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

· Свободное тело — тело, на которое не действуют какие-либо дру- гие тела.

· Инерциальная система отсчета — система отсчета, в которой сво-

бодное тело покоится или движется прямолинейно и равномер- но.

· Неинерциальная система отсчета — система отсчета, в которой сво-

бодное тело движется с ускорением.

· Инертность — свойство тела сохранять состояние покоя или рав- номерное прямолинейное движение.

· Масса — положительная скалярная величина, являющаяся мерой

инертности тела,

— не зависит от его скорости движения,

— равна сумме масс всех частиц, из которых оно состоит.

· Сила — векторная величина, являющаяся мерой механического взаимодействия тел.

· Гравитационная сила — сила взаимного притяжения между двумя

материальными точками (м. т).

F = G m 1 m 2,

g r 2

где G = 6, 6710-11 (Н · м2)/кг гравитационная постоянная, m 1, m 2 — массы взаимодействующих тел, r — расстояние между м. т или цен-

трами масс тел�.

· Сила реакции N — сила, действующая на тело со стороны опоры,

или подвеса, препятствующая его движению.

· Сила тяжести

F тяж = mg

— составляющая силы, гравитационного взаимодействия тела с

Землeй.

Основные положения 137

 

· Вес тела — сила, приложенная к горизонтальной опоре или подве- су, которые удерживают тело от свободного падения. При непод- вижной опоре (подвесе) или при их равномерном движении вес тела равен силе тяжести.

· Третий закон Ньютона — силы взаимодействия двух материальных

точек в инерциальной системе отсчета равны по модулю и проти- воположны по направлению

� �

F = - F,

1,2 � 2,1

гд�е F 1,2– сила, действующая на первую точку со стороны второй,

F 2,1 – сила, действующая на вторую точку со стороны первой.

· Сила упругости

F упр = - k (l - l 0) = - k Ä l,

где k — коэффициент упругости тела l 0, l - начальная и конечная его длина.

· Сила трения возникает при взаимодействии соприкасающихся по- верхностей твердых тел или слоями жидкости или газа.

· Сила трения покоя действует между неподвижными поверхностя-

ми взаимодействующих тел и изменяется от нуля до максималь- ного значения F тр.max = m0 N, где m0 - коэффициент трения покоя, N — сила реакции опоры.

· Сила трения скольжения

F тр = m N

— возникает при относительном движении соприкасающихся тел, где m — коэффициент трения скольжения.

· Сила сопротивления

F сопр» bu n,

где b — коэффициент сопротивления, n — показатель степени за- висящий от величины скорости.

·

�

Импул�ьс тела

p = m u

— векторная величина, характеризующая движение тела.

• Первый закон Ньютона — материальная точка в инерциальной сис- теме отсчета сохраняет состояние покоя или равномерного прямо- линейного движения, если на нее не действуют силы или их дей- ствие скомпенсировано.

 

· Втор�ой закон Ньютона

� F

a =,

m �

— ускорение a, материальной точкой в инерциальной системе от- счета прямопропорционально действующей на точку силе, обрат- но пропорционально массе и совпадает по направлению с силой.

· Уравнение движения — второй закон Ньютона, записанный в фор-

ме дифференциального уравнения второго порядка

2 �

�

m d r = F,

dt 2

r

где � – радиус вектор материальной точки в инерциальной систе-

ме отсчета.