Сложение гармонических колебаний со слегка отличающимися частотами, происходящими вдоль одной прямой

Сложим два колебания, происходящие вдоль оси х, имеющие одина- ковые амплитуды A 1 = A 2 = A и начальные фазы, равные j01 = j02 = 0

x 1(t) = A cosw1 t,

x 2 (t) = A cosw2 t,

причем w1 - w2

тически.

< w1 и w1 + w2

< w2. Сложение произведем анали-

 

Результирующее смещение x равно сумме смещений составляю- щих колебаний x 1 и x 2:

x (t) = x 1(t) + x 2 (t) = A cosw1 t + A cosw2 t = A (cosw1 t + cosw2 t). (6.25)

После преобразования получим

x (t) = ⎛2 A cos w1 -w2 t ⎞cos w1 +w2 t. (6.26)

⎝⎜ 2 ⎟⎠ 2

Из двух сомножителей, содержащих косинус, первый изменяется со временем гораздо медленнее второго. Это позволяет считать коле- бание (6.26) «почти» гармоническим с «амплитудой», изменяющейся со временем по периодическому закону

A (t) = 2 A cos w1 -w2 t. (6.27)

Колебания с периодически изменяющейся амплитудой называют- ся биениями.

Частота колебаний амплитуды или частота биений равна

n = 2p

= n1 - n2

, (6.28)

где n1

=w1

2p

и n2

=w2

2p

— частоты составляющих колебаний.

Чем меньше отличаются частоты составляющих колебаний, тем меньше частота биений.

Величина A (t), характеризующая размах колебаний при биениях, изменя-

ется в пределах от A 2 - A 1 до A 1 + A 2с

циклической частотой Ù = w1 - w2, на- зываемой циклической частотой бие-

Рис. 6.7

ний. Поскольку частота биений во много раз меньше частоты коле- баний Ù << w1, то переменную величину A (t) условно называют ам- плитудой биений. Период биений равен

T = 2p.

w2 - w1

Характер зависимости х от времени t при биениях показан на рис. 6.7.

 

СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных колебаний. До- пустим, что материальная точка может совершать колебания как вдоль оси ох, так и вдоль перпендикулярной к ней оси оу. В этом случае ма- териальная точка будет двигаться по некоторой криволинейной тра- ектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний и их амплитуд.

 

Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты при разности фаз, равной нулю

Сложим два гармонических колебания, имеющих одинаковые час- тоты w1 = w2 = w, начальные фазы, равные j01 = j02 = 0, происходя- щих вдоль осей x и y:

x (t) = A cosw t,

y (t) = B cosw t.

Разделим второе уравнение на первое, получим уравнение траек-

тории результирующего движения y = B x.

A

Траектория результирующего колебания — отрезок прямой, проходящей через начало ко- ординат и наклоненная к оси оx под углом,

тангенс которого равен B

A

(рис. 6.8).

Результирующее движение — гармониче-

ское колебание с амплитудой C =,

Рис. 6.8

частотой w, совершающееся вдоль отрезка,

наклоненного к оси х под углом arctg A.

B