Затухающие механические колебания

В реальных условиях механические колебания происходят в среде. Взаимодействие колеблющейся системы со средой приводит к рас- сеиванию (диссипации) энергии колебаний (механическая энергия колебаний превращается во внутреннюю энергию среды). Колеба-

ния затухают. Затухающие колеба- ния не являются периодическими, так как через конечный промежу- ток времени физическая величи- на не принимает то же значение. Однако через равные промежутки времени повторяются максималь- ные, но разные по абсолютной ве- личине отклонения величины от положения равновесия.

Переход от одного максималь-

Рис. 6.11

ного значения физической величи- ны до следующего максимального

значения по абсолютной величине, деленное пополам, назовем ампли- тудой колебания. При затухающих колебаниях амплитуды уменьшают- ся, но время прохождения соседних амплитуд остается постоянным.

За условный период затухающих колебаний принимается про- межуток времени двух переходов от одного крайнего положения до другого.

Найдем уравнение затухающих колебаний груза массой m, подве- шенного на пружине, с коэффициентом упругости k. На рис. 6.11 по- казаны три состояния системы.

Состояние 1 — естественная длина пружины.

Состояние 2 — груз висит на пружине, система находится в со- стоянии статического равновесия.

 

� � '

mg + F упр =0. (6.34)

Начало координат совмещено с состоянием статического равно- весия, так как любое колебание происходит около положения рав- новесия.

Ä x — статическая деформация. Из проекции уравнения (6.34) на ось Х с учетом того, что модуль силы упругости равен k Ä x, получим

mg = k Ä x. (6.35)

Для удобства составления дифференциального уравнения состоя- ние 3 (рис. 6.11) зафиксировано в тот момент движения груза, когда деформация пружины х увеличивается и груз движется вниз. Пусть груз движется со скор�остью, меньшей 20 м/с. В этом случае сила со-

п�ротивления среды FR пропорциональна первой степени скорости

v

R

F = - r �, где r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус по-

казывает, что сила сопротивления среды направлена в сторону, про- тивоположную движению, т. е. в данном случае вверх. Модуль силы сопротивления равен

F = r v = r dx.

R dt

�

На�рис. 6.11 показаны силы mg,

�

F упр

�

и FR

. Модуль силы упруго-

сти

F упр

пропорционален сумме статической Ä x и динамической x

деформации, т. е. F упр = k (Ä x + x).

Запишем второй закон Ньютона применительно к грузу, находя-

щемуся в состоянии 3. (см. рис. 6.11).

� � � �

mg + F упр + FR = ma. (6.36)

Проекция векторного уравнения на ось x равна

mg - k (Ä x + x) - r v = ma, (6.37)

d 2 x dx 1

где mg = k Ä x, a =, v =. Умножив уравнение (6.37) на, по- лучим dt 2 dt m

d 2 x + r dx + k =

dt 2

m dt

x 0. (6.38)

m

Введя обозначения k

= w2 и r

= 2b, перепишем последнее урав-

нение в виде

m 0 m

d 2 x

dt 2

+ 2b dx

dt

+ w2 x = 0. (6.39)

Записанный в такой форме второй закон Ньютона — линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с посто- янными коэффициентами w2 и 2b.

Для решения уравнения (6.39) воспользуемся методом Эйлера. Ре- шение ищем в виде x = Ce a t, где C — произвольная константа, a — неизвестная константа. Для нахождения констант подставим

x = Ce a t,

dx = C a e a t dt

d 2 x

, dt 2

= C a2 e a t

в (6.39), получим тождество

C a2 e a t + 2b C a e a t + w2 Ce a t º 0,

Ce a t (a2+ 2ba + w2)º 0.

В полученном тождестве один из сомножителей должен равнять- ся нулю.

1. C ¹ 0, так как рассматривается движение, а не покой;

2. e a t ¹ 0, по существу не равен нулю; 3. Следовательно, (a2+ 2ba + w2)º 0.

Из этого уравнения, именуемого характеристическим, найдем не- известную константу a:

a1,2

= -b ±

В зависимости от соотношения w0 и b возможны 3 различных ва- рианта возвращения системы в состояние равновесия.

1 вариант

Если b > w0, то корни a1 и a2 — действительные и разные. В этом случае нет колебательного движения, так как показатель степени e a t — вещественное число.

Действительно, каждому корню характеристического уравнения соответствует по методу Эйлера частное решение вида:

⎛-b+ b2 -w2 ⎞ t

x (t) = e a1 t = e ⎜⎝

0⎟⎠,

⎛-b- b2 -w2 ⎞ t

x (t) = e a2 t = e ⎜⎝

0⎟⎠.

 

Тогда общее решение находится как линейная комбинация част- ных решений

 

или

x (t) = C 1 x 1 + C 2 x 2

⎛-b+ b2 -w2 ⎞ t ⎛-b- b2 -w2⎞ t

x (t) = C e ⎜⎝

0⎟⎠

+ C e ⎜⎝

0⎟⎠

где С 1 и С 2 — произвольные константы. Проанализируем зависимость x (t).

Так как b >

, то степенная функция со временем убывает.

скорости �. Возможные си-

Характер убывания зависит от начальной координаты х 0 и начальной

v 0

туации приведены на рис. 6.12.

Если х 0 > 0, начальная ско-

v 0

рость � направлена от положе-

ния равновесия, то зависимость

x (t) имеет вид а на рис. 6.12.

Если х 0 > 0, начальная ско-

v 0

рость � достаточно велика и

направлена к положению рав- новесия, то груз один раз мо- жет пересечь положение рав- новесия, а затем устремиться к нему. Зависимость x (t) име- ет вид б на рис. 6.12.

Если х 0 > 0, начальная ско-

v 0

рость � мала и направлена к

положению равновесия, то за- висимость x (t) имеет вид в на рис. 6.12.

2 вариант

 

 

Рис. 6.12

Если b = w0, то корни a1,2 = -b, т. е. корни a1 иa2 являются крат- ными. Частные решения одинаковы и равны e a t.

В этом случае, чтобы не потерять одно частное решение, вместо постоянных интегрирования С 1 и С 2, следует записать многочлен, сте- пень которого на единицу меньше кратности корня характеристиче- ского уравнения. Общее решение запишется в виде

 

1 2 1 2

x (t) = C e -b t + C te -b t = e -b t (C + tC).

Поскольку многочлен (С 1 + t C 2) растет намного медленнее, чем убывает сомножитель e -b t, то функция x (t) будет близка к видам а, б, в, приведенным на рис. 6.12.

Вывод. При b ³ w0 движение груза перестает быть периодическим, т. е. система возвращается в равновесное состояние без колебательно- го процесса. Это может иметь место тогда, когда, например, сила со- противления среды больше силы упругости пружины. Такой характер движения называют апеpиодическим затуханием.

3 вариант

Если w0 > b, то корни a1 иa2 комплексные и принимают значения

a1, 2

= -b ±

= -b ± i

= -b ± i w,

где i — мнимое число, w =

— циклическая частота затухаю-

щего колебания. Такая ситуация имеет место тогда, когда сила сопро- тивления среды меньше силы упругости пружины, т. е. F упр > FR.

Каждому значению корня a1,2 соответствует частное решение. Об-

щее решение находится как линейная комбинация двух частных ре- шений:

1 2 1 2

x (t) = C * e (-b+ i w) t + C * e (-b- i w) t = C * e -b t ei w t + C * e -b te - i w t =

1 2

= C * e -b t (cos w t + i sin w t) + C * e -b t (cos w t - i sin w t) =

= e -b t ⎡cos w t (C * + C *) + sin w t (iC * - iC *)⎤.

⎣ 1 2 1 2 ⎦

Переобозначив константы C = C * + C *, C = iC * - iC *, получим

1 1 2 2 1 2

1 2

x (t) = e -b t (C cosw t + C sin w t).

Так как C 1 cos w t + C 2 sin w t = A 0 cos(w t + j0)

то

(см. параграф 6.3.1),

0 0

x (t) = A e -b t cos(w t + j). (6.40) Это и есть решение уравнения (6.39).

Собственные затухающие колебания маятника периодические, но

не являются гармоническими, так как амплитуда таких колебаний с течением времени уменьшается по экспоненте

A = A e -b t, (6.41)

где b — коэффициент затухания.

 

График затухающих колебаний x (t) показан на рис. 6.13. Зависи- мость x (t) не выходит за пределы

огибающих функций x = A e -b t и

x = - A e -b t.

Циклическая частота затухаю- щих колебаний w связана с собст- венной частотой пружинного ма- ятника w0 соотношением

 

 

Условный период затухающих колебаний равен

Рис. 6.13

T = 2p = 2p

w

. (6.42)

Условный период затухающих колебаний — наименьший проме- жуток времени Т, за который колеблющийся груз дважды проходит через положения равновесия, двигаясь в одном и том же направлении. Период затухающих колебаний груза больше периода незатухающих колебаний этого же груза, так как силы сопротивления тормозят дви- жение; тело возвращается к равновесному состоянию медленнее.

На рис. 6.13 сплошной линией показана зависимость x = x (t), штриховая линия проведена по максимальным значениям амплиту- ды затухающих колебаний.