ТОП 10:

ЗАТУХАЮЩИЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ



В реальных условиях механические колебания происходят в среде. Взаимодействие колеблющейся системы со средой приводит к рас- сеиванию (диссипации) энергии колебаний (механическая энергия колебаний превращается во внутреннюю энергию среды). Колеба-

ния затухают. Затухающие колеба- ния не являются периодическими, так как через конечный промежу- ток времени физическая величи- на не принимает то же значение. Однако через равные промежутки времени повторяются максималь- ные, но разныепо абсолютной ве- личине отклонения величины от положения равновесия.

Переход от одного максималь-


Рис. 6.11


ного значения физической величи- ны до следующего максимального


значения по абсолютной величине, деленное пополам, назовем ампли- тудой колебания. При затухающих колебаниях амплитуды уменьшают- ся, но время прохождения соседних амплитуд остается постоянным.

За условный период затухающих колебаний принимается про- межуток времени двух переходов от одного крайнего положения до другого.

Найдем уравнение затухающих колебаний груза массой m, подве- шенного на пружине, с коэффициентом упругости k. На рис. 6.11 по- казаны три состояния системы.

Состояние 1 — естественная длина пружины.

Состояние 2 — груз висит на пружине, система находится в со- стоянии статического равновесия.


 

� �'

mg +Fупр =0 . (6.34)

Начало координат совмещено с состоянием статического равно- весия, так как любое колебание происходит около положения рав- новесия.

Äx — статическая деформация. Из проекции уравнения (6.34) на ось Х с учетом того, что модуль силы упругости равен kÄx,получим

mg = kÄx . (6.35)

Для удобства составления дифференциального уравнения состоя- ние 3 (рис. 6.11) зафиксировано в тот момент движения груза, когда деформация пружины х увеличивается и груз движется вниз. Пусть груз движется со скор�остью, меньшей 20 м/с. В этом случае сила со-

п�ротивления среды FRпропорциональна первой степени скорости

v
R
F = -r�, где r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус по-

казывает, что сила сопротивления среды направлена в сторону, про- тивоположную движению, т. е. в данном случае вверх. Модуль силы сопротивления равен

F = rv = r dx .

R dt


На�рис. 6.11 показаны силы mg,


Fупр


и FR


. Модуль силы упруго-


сти


Fупр


пропорционален сумме статической Äx и динамической x


деформации, т. е. Fупр = k x + x) .

Запишем второй закон Ньютона применительно к грузу, находя-

щемуся в состоянии 3. (см. рис. 6.11).

� � � �

mg + Fупр + FR = ma . (6.36)

Проекция векторного уравнения на ось x равна

mg - k x + x) - rv = ma , (6.37)

d 2 x dx 1

где mg = kÄx , a = , v = . Умножив уравнение (6.37) на , по- лучим dt 2 dt m

           
     

d 2 x +r dx +k =


dt 2


m dt


x 0. (6.38)

m


Введя обозначения k


= w2 и r


= 2b , перепишем последнее урав-


нение в виде


m 0 m



d 2 x

dt 2


+ 2b dx

dt


+ w2 x = 0 . (6.39)


Записанный в такой форме второй закон Ньютона — линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с посто- янными коэффициентами w2 и 2b.

Для решения уравнения (6.39) воспользуемся методом Эйлера. Ре- шение ищем в виде x = Ceat , где C — произвольная константа, a — неизвестная константа. Для нахождения констант подставим


x = Ceat ,


dx = Caeat dt


d 2 x

, dt 2


= Ca2eat


в (6.39), получим тождество

Ca2eat + 2bCaeat + w2Ceat º 0,

Ceat(a2+ 2ba + w2)º 0 .

В полученном тождестве один из сомножителей должен равнять- ся нулю.

1. C ¹ 0 , так как рассматривается движение, а не покой;

2.

eat ¹ 0 , по существу не равен нулю; 3. Следовательно, (a2+ 2ba + w2)º 0 .

Из этого уравнения, именуемого характеристическим, найдем не- известную константу a:


a1,2


= -b ±


В зависимости от соотношения w0 и b возможны 3 различных ва- рианта возвращения системы в состояние равновесия.

1 вариант

Если b > w0 , то корни a1 и a2 — действительные и разные. В этом случае нет колебательного движения, так как показатель степени eat — вещественное число.

Действительно, каждому корню характеристического уравнения соответствует по методу Эйлера частное решение вида:

⎛-b+ b2 -w2 ⎞t


x (t) = ea1t= e⎜⎝


0⎟⎠,


⎛-b- b2 -w2 ⎞t


x (t) = ea2t= e⎜⎝


0⎟⎠.


 

Тогда общее решение находится как линейная комбинация част- ных решений


 

или


x(t) = C1 x1 + C2 x2


⎛-b+ b2 -w2 ⎞t ⎛-b- b2 -w2⎞t


x(t) = C e⎜⎝


0⎟⎠


+ C e⎜⎝


0⎟⎠


где С1 и С2 — произвольные константы. Проанализируем зависимость x (t).


Так как b >


, то степенная функция со временем убывает.


скорости � . Возможные си-
Характер убывания зависит от начальной координаты х0 и начальной

v0

туации приведены на рис. 6.12.

Если х0 > 0, начальная ско-

v0
рость � направлена от положе-

нияравновесия, то зависимость

x (t) имеет вид ана рис. 6.12.

Если х0 > 0, начальная ско-

v0
рость � достаточно велика и

направлена к положениюрав- новесия, то груз один раз мо- жет пересечь положение рав- новесия, а затем устремиться к нему. Зависимость x (t) име- ет вид бна рис. 6.12.

Если х0 > 0, начальная ско-

v0
рость � мала и направлена к


положениюравновесия, то за- висимость x (t) имеет вид вна рис. 6.12.

2 вариант


 

 

Рис. 6.12


Если b = w0 , то корни a1,2 = -b , т. е. корни a1 иa2 являются крат- ными. Частные решения одинаковы и равны eat .

В этом случае, чтобы не потерять одно частное решение, вместо постоянных интегрирования С1 и С2, следует записать многочлен, сте- пень которого на единицу меньше кратности корня характеристиче- ского уравнения. Общее решение запишется в виде


 

1 2 1 2
x(t) = C e-bt + C te-bt = e-bt (C + tC ) .

Поскольку многочлен (С1 + t C2) растет намного медленнее, чем убывает сомножитель e-bt , то функция x (t) будет близка к видам а, б, в, приведенным на рис. 6.12.

Вывод. При b ³ w0 движение груза перестает быть периодическим, т. е. система возвращается в равновесное состояние без колебательно- го процесса. Это может иметь место тогда, когда, например, сила со- противления среды больше силы упругости пружины. Такой характер движения называют апеpиодическим затуханием.

3 вариант

Если w0 > b , то корни a1 иa2 комплексные и принимают значения


a1, 2


= -b ±


= -b ± i


= -b ± iw ,


где i — мнимое число, w =


— циклическая частота затухаю-


щего колебания. Такая ситуация имеет место тогда, когда сила сопро- тивления среды меньше силы упругости пружины, т. е. Fупр > FR.

Каждому значению корня a1,2 соответствует частное решение. Об-

щее решение находится как линейная комбинация двух частных ре- шений:

1 2 1 2
x(t) =C*e(-b+iw)t +C*e(-b-iw)t =C*e-bt eiwt +C*e-bte-iwt =

1 2
=C*e-bt (cos wt +i sin wt) +C*e-bt (cos wt -i sin wt) =

= e-bt ⎡cos wt(C* + C*) + sin wt(iC* - iC*)⎤.

⎣ 1 2 1 2 ⎦

Переобозначив константы C = C* + C*, C = iC* - iC* , получим

1 1 2 2 1 2

1 2
x(t) = e-bt (C coswt + C sin wt) .


Так как C1 cos wt + C2 sin wt = A0 cos(wt + j0 )

то


(см. параграф 6.3.1),


0 0
x(t) = A e-bt cos(wt + j ) . (6.40) Это и есть решение уравнения (6.39).

Собственные затухающие колебания маятника периодические, но

не являются гармоническими, так как амплитуда таких колебаний с течением времени уменьшается по экспоненте

A = A e-bt, (6.41)

где b — коэффициент затухания.


 

График затухающих колебаний x (t) показан на рис. 6.13. Зависи- мость x (t) не выходит за пределы

огибающих функций x = A e-bt и

x = - A e-bt .

Циклическая частота затухаю- щих колебаний w связана с собст- венной частотой пружинного ма- ятника w0 соотношением

 


 

Условный период затухающих колебаний равен


Рис. 6.13


T =2p = 2p

w


. (6.42)


Условный период затухающих колебаний — наименьший проме- жуток времени Т, за который колеблющийся груз дважды проходит через положения равновесия, двигаясь в одном и том же направлении. Период затухающих колебаний груза больше периода незатухающих колебаний этого же груза, так как силы сопротивления тормозят дви- жение; тело возвращается к равновесному состоянию медленнее.

На рис. 6.13 сплошной линией показана зависимость x = x (t), штриховая линия проведена по максимальным значениям амплиту- ды затухающих колебаний.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.168.112.145 (0.014 с.)