ТОП 10:

РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ СИЛ ТЯЖЕСТИ



Рассмотрим частный случай — систему частиц с абсолютно же- сткими связями. Модель такой системы — абсолютно твердое тело (рис. 4.11). Следствием абсолютной твердости (жесткости) связей является неизменность расстояний между любыми двумя частицами и размеров всего тела при произвольном воздействии на систему (т. е. отсутствие деформаций, а значит и внутренних сил). Следовательно, абсолютно твердое тело — модель макроскопического тела, размера- ми которого в рамках данной задачи нельзя пренебречь, но можно пре- небречь изменениями этих размеров, т. е. деформациями.

При замене дискретной системы частиц на непрерывную неизмен- ным остается расстояние между любыми двумя точками абсолютно


 

твердого тела. Далее вместо термина абсолютно твердое тело исполь- зуется термин твердое тело. Если система частиц представляет собой одно твердое тело, то индекс «внеш» ни у сил, ни у их моментов указы- ваться не будет, так как для одного твердого тела все силы внешние.

 
Твердое тело

 

F
внеш

1

 

 

искретная система

 


 

F
 
внеш


 

f 21


 

 

f12 f1

 

a1


$a = 0

 

 

епрерывная система


 

f 2

$a = a2


 

- a1


a2

– деформация


 

Рис. 4.11


 

$a = 0


 

� Назовем равнодействующей сил, приложенных к твердому телу, силу


F равн (рис. 4.12):


 

F2

F равн


 

F равн


M равн F

 

F M 2

M 1

Рис. 4.12

равную сумме сил, действующих на твердое тело

F равн =å F , (4.39)
� �

i

i =1


 

момент которой относительно произвольной точки О равен сумме мо- ментов всех сил относительно этой точки


равн � равн


� � �


M = [r , F


] =å[ri, Fi] =åMi. (4.40)


i =1 i =1

Здесь � — радиус-вектор i частицы (точки) тела, к которой прило-

ri � �

жена сила Fi относительно точки О, r неизвестный радиус-вектор

точки приложения равнодействую-

щей силы относительно точки О.


 

Рис. 4.13


F1 = F


В общем случае совокупность сил, приложенных к твердому телу, может не иметь равнодействующей силы. Это значит, что не существует одной силы, которой можно заме- нить действие всех приложенных сил. Простейшим примером явля-


ется действие на твердое тело пары сил, т. е. одинаковых по модулю, но противоположных по направлению сил, приложенных к разным

частицам (точкам) тела. (ри�с. 4�.13).�Их сумма

F = F1 + F2 = 0 .

Результатом воздействия на тело пары сил является его враще- ние. Очевидно, что действие нулевой силы, т. е. отсутствие какого- либо воздействия на систему, не эквивалентно действию двух ука- занных выше сил.


 

Рис. 4.14


Отметим, что для сил, приложенных к од- ной частице (4.8), равнодействующая сила су- ществует всегда.

Рассчитаем равнодействующую параллель- ных сил. Например сил тяжести твердого тела, представляющего собой дискретную систему частиц с абсолютно жесткими связями. Най- дем модуль, направление и точку приложения равнодействующей (рис. 4.14). По определе- нию (4.39–4.40)


F равн


� �=å å
Fi = mig = mg ,


i =1 i


равн � равн � �

M = [r , F ] = [r , mg] , (4.41)

где m – масса i частицы, m – масса системы частиц, � — радиус-век-

i r

тор неизвестной точки приложения равнодействующей силы. С дру-

гой стороны,


равн � �


� � � �


M = åMi= å[ri, Fi] = å[ri, mig] = [(åmiri), g] .


i =1


i =1


i =1


i =1


Радиус-вектор центра масс системы по определению (4.28) равен

� 1 �

m
rC = åmi ri .

i

Умножим и поделим выражение для M равн на m. Тогда


равн


� � 1


� � � �


M = [(åmiri), g] = [( m åmiri), mg] = [rC, mg] . (4.42)

i =1 i =1

Приравнивая (4.39) и (4.40), получаем

[ �, �] = [ � , m �] .

r mg rC g

Решением этого уравнения является вектор

� � �

r = rC + const × g .

Если повернуть все силы тяжести относительно точек их прило- жения на один и тот же угол, то новая равнодействующая сила бу- дет направлена в другую сторону. Можно показать, что все так полу- ченные равнодействующие силы тяжести имеют одну общую точку

r rC
приложения � = � , т. е. равнодействующая сил тяжести приложена к

центру масс системы. Точка, к которой приложена равнодействую- щая сил тяжести, называется центром тяжести системы. Следова- тельно, центр масс (инерции) и центр тяжести совпадают (совпаде- ние — следствие приближения неизменности ускорения свободного падения в точках пространства, занятого системой частиц). Рассчи- таем сумму моментов сил тяжести, приложенных к системе, относи-


тельно ее центра масс с учетом того, что


rСЦ


= 0 (4.35).


� � � � � � � �


M = åM = å[r , m g] = å[ miriЦ, mg] = [åmiriЦ, mg] =


(4.41)


Ц iЦ


iЦ i m m


i =1


i =1


� � i =1 �


i =1


= [rСЦ , mg] = [0, mg] = 0.


 

Таким образом, сумма моментов сил тяжести относительно цен- тра масс твердого тела (т. е. в Ц-системе) равна нулю. Это равенст- во сохраняется при любом повороте твердого тела вокруг точки цен- тра масс. Данное утверждение справедливо и для непрерывных твер- дых тел.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение Ц-системы отсчета.

2. Чему равны: радиус-вектор � , скорость � и ускорение � цен-

rC vC aC

тра масс механической системы в Ц-системе отсчета?

3. Дайте определение равнодействующей сил, приложенных к аб- солютно твердому телу.

4. К какой точке абсолютно твердого тела приложена равнодей- ствующая сил тяжести?

 


 

 

Задача 4.6

К концам гори- зонтального стержня длиной L = 1 м и мас- сой m = 2 кг подвеше- ны два груза массами


Примеры решения задач

m

1g


 

 

M


r1
m1 = 1 кг и m2 = 3 кг.


На каком расстоянии x от большей массы находится центр тя- жести системы?


 

Ц
M

m
g

g m2g


Дано: L = 1 м; m = 2 кг; m1 = 1 кг; m2 = 3 кг. Найти: x.

Выберем произвольно (например, на стержне) точку С и будем считать, что центр тяжести системы находится в этой точке. Тогда (4.41) сумма моментов сил тяжести всех частей системы относитель- но точки С равна нулю, т. е.

å
� � � �

MiЦ= M1Ц+ M Ц + M 2Ц= 0 . (1)

i =1


 

Направление векторов определяем по поступательному движению правого винта, вращая его от радиус-вектора к вектору силы (4.3), а модули — из (4.5). Следовательно,

� � � � �

М1Ц­­ и M1Ц, ^ M 2 Ц . (2)

Модули векторов (4.5) равны соответственно

M = m gr sin p / 2 = m g( L + x) ,

1Ц 1 1 1 2

Ц
M = mgr sin p / 2 = mg( L - x) , (3)

M 2 Ц = m2 gr2 sin p / 2 = m2 gx .

� � �

Сумма трех векторов M1Ц , и M 2 Ц , лежащих на одной прямой, равна нулю, только если

M1Ц+ = M 2 Ц . (4)

Подставляя в (4) значения модулей векторов из (3), получаем урав- нение

m g( L + x) + mg( L - x) = m gx . (5)

1 2 2 2

Раскрывая скобки и перенося выражения, содержащие неизвест- ное в левую часть уравнения, определяем x

m g L + m gx + mg L - mgx = m gx


или


1 2 1 2 2


L g ( m + m ) = (m


- m + m) gx


и 2

x = m1 + m


1 2 1

L = 1+2 1 = 3×1 = 0,375 м. (6)


m2 - m1 + m 2 3 -1+ 2 2 8


Ответ: x =


m1 + m


L = 0,375 м.


m2 - m1 + m 2


 

СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Симметрия

Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости, на оси или в центре симметрии (рис. 4.15).

 
 

 

 
 

Отрезок прямой Прямоугольник с вырезом Эллипс с вырезом

Равносторонний треугольник Цилиндр Шар

Рис. 4.15

 

Разбиение

Если твердое тело можно разбить на конечное число таких час- тей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вы- числить по формулам (4.28). При этом число слагаемых в каждой из сумм будет равно числу частей, на которые разбито тело.


F

E 4 K


 

Задача 4.7


C3

y 3 3

M

y 2 2 C

B D

A

–1 1 2 4


Дана однородная L плоская фигура ABDE- FKLMN, состоящая из трех прямоугольников.

Известны длины сторон всех прямоугольников,

х а значит, и координаты


x
x
x
–2 O

1 2


3 их центров симметрии.


4.8. Способы определения координат центра тяжести твердого тела 265

 

Найти координаты центра тяжести фигуры.

Дано: ABDO, OEFN, FKLM – прямоугольники; АВ = 1 м; BD = 2 м;

ОE = 4 м; EF = 2 м; FK = 4 м; KL = 2 м.

Найти: xC, yC.

Определим координаты центров симметрии и площади прямо- угольников, образующих фигуру ABDEFKLMN.

x1 = –1 м, y1 = 0,5 м, S1 = 2 м2, x2 = 1 м, y2 = 2 м, S2 = 8 м2, x3 = 4 м, y3 = 3 м, S3 = 8 м2,

S = S1 + S2 + S3 = 2 + 8 + 8 = 18 м2.

Получим формулы для определения координат центра тяжести произвольной фигуры, которую можно разбить на части, центры тя- жести которых известны. Умножим числитель и знаменатель в пра- вых частях выражения (4.28) на g


x = 1 åm gx , y = 1 åm gy , z


= 1 åm gz


. (1)


i
i
C mg i i C mg i i


C mg i i


i
Так как фигура однородна, то введем плотность единицы площа- ди фигуры s [кг/м2]. Тогда

mi = sSi , (2)

m = sS , (3)

где m = åmi– вся масса и S = åSi – вся площадь фигуры. Подстав-


i i

ляя (2) и (3) в (1), получим

 

11


 

sg


åSi xi


x

i
= åm gx = åsS gx =


åS x = i


(4)


i
i
C mg


i i sSg


i i sSg i i S


11


sg


åSi yi


y = åm gy = åsS gy =


åS y = i , (5)


i
i
C mg i i sSg


i i sSg i i S


i
где ( xi, yi ) — координаты центра тяжести i части фигуры. Подставляя в (4.45) и (4.46) условия примера, получим координаты центра тяже- сти фигуры ABDEFKLMN:

x =S1 x1 +S2 x2 +S3 x3 =2(-1) + 8×1+ 8× 4 =38 =2 1 м,


C S 18


18 9


 

y =S1 y1 +S2 y2 +S3 y3 =2 × 0, 5 + 8× 2 + 8× 3 =41 =2 5 м,


C S 18


18 18


где S1, S2, S3 – площади первой, второй и третьей части фигуры, S =

= S1 + S2 + S3.


Ответ: x


= S1 x1 +S2 x2 +S3 x3 =2 1 м;


C S 9

y = S1 y1 +S2 y2 +S3 y3 =2 5 м.

C S 18

Дополнение

Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести твер- дых тел без выреза и вырезанной части известны.


Задача 4.8


Дан круг радиуса R = 3 м с вырезан- ным кругом радиуса r = 1 м. Расстояние между центрами кругов a = 1 м. Найти координаты центра тяжести фигуры.

x Дано: R = 3 м; r = 1 м; a = 1 м.

Найти: xC, yC.

Представим несимметричную фигу- ру как сумму двух симметричных фи- гур: сплошного круга радиуса R с плот- ностью единицы площади s и сплош-


ного круга радиуса r с плотностью единицы площади — s. Тогда в формулах (4) и (5) задачи 4.7 площадь круга радиуса r должна вхо- дить со знаком минус. В этом случае


S = pR2 , S = -pr 2 ,


 

(1)


S = S + S = p(R2 - r 2 ).

1 2

Пусть С1 и С2 — центры (тяжести) сплошных кругов с радиусами R и r соответственно. Центр тяжести всей фигуры С лежит на прямой С1С2, так как эта линия является осью симметрии для круга с вырезом, т. е. yC = 0. Найдем xC. Поместим начало координат в центр сплошно-


Основные положения 267

 

го круга радиусом R и направим ось x вдоль прямой С1С2. Тогда абс- циссы центров тяжести большого и малого кругов

x1= 0, (2)

x2 = a


и

x =S1 x1 + S2 x2 =-


 

par 2


= - ar 2 =


C S

=- 1×12

32 -12


p(R2 - r 2 ) (R2 - r 2 )

= - 1 = −0,125 м.


Ответ: xC = -

(R


ar 2

2 - r 2 )


 

= -0,125 м, yC = 0 м.


 

Интегрирование

В общем случае, если твердое тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положение центров тяжести которых известно, то можно дискретную систему заменить на непрерывную и определить координаты центра тяжести системы по формулам (4.19), заменяя в них суммирование на интегрирование.

 

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ


L

· Момент


импульса


Частицы


� � � p

L = [ r , p ],

где � — радиус-вектор частицы.

r � �

·

r
МоментM силыF M = [ �, F ],

где r — радиус-вектор точки приложения силы.

· Уравнение моментов(для частицы)

=
dL

M ,

dt

где M сумма моментов сил, действующих на частицу.

· Закон с�охранения�момента импульса частицы:

если M = 0 , то L = const.


 


· МоментLz


импульсачастицыотносительно оси z


p
Lz = L cosa, �

где a угол между�вектором L и осью z.

· МоментMzсилыF частицыотносительно оси z

Mz = M cosb, �

где b угол между вектором M и осью z.

· Уравнение моментов(для частицы) относительно оси

dLz = M ,

dt z

где Mz проекция суммы моментов сил на ось z.

· Закон сохранения проекции момента импульса частицы:

если Mz = 0 , то Lz = const.

· Сумма внутренних сил и их моментов для системы частиц равна

Нулю

F внут =0 ,

M внут =0 .

· Момент L импульса системы частиц

å
� �

L = Li,

i

где Li момент импульса i частицы.

· Уравнение моментов(для системы частиц)

dL =M внеш ,

dt

� �

где L момент импульса системы частиц, M внеш сумма момен- тов внешних сил, действующих на систему частиц.

· Закон с�охранения м�омента импульса системы частицы:

если M внеш = 0, то L = const.

· Уравнение моментов(для системы частиц) относительно оси

dLz =M внеш ,

dt z

где Lz проекция момента импульса системы частиц на ось z,

z
M внеш сумма проекций моментов внешних сил на ось z.


Обозначения, используемые в главе 4 269

 

· Закон сохранения проекции момента импульса системы частиц:

если M внеш = 0 , то L = const.

z z

· Радиус-вектор центра масс

� 1 �

rC = m åmi ri , m = åmi

i i

где mi и ri масса и радиус-вектор i частицы.

· Скорость и ускорение центра масс


d

C
r vC = dt


и =
C
dv

a

C dt


2d
= rC

dt 2


· Ц-система —система отсчета, жестко связанная с центром масс и

·
перемещающаяся без вращения относительно инерциальной сис- темы отсчета.







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.15.246 (0.215 с.)