Собственные незатухающие колебания

6.35

Определить период колебаний шарика, подвешенного на нити длиной = 20 см, если он находится в жидкости, плотность кото- рой в 3 раза меньше плотности шарика. Сопротивлением жидкости пренебречь.

6.36

Два физических маятника совершают малые колебания вокруг одной и той же горизонтальной оси с частотами w1 и w2. Их момен- ты инерции относительно данной оси равны соответственно I 1 и I 2. Маятники привели в состояние устойчивого равновесия и скрепи- ли друг с другом. Какова будет частота малых колебаний составно- го маятника?

 

6.37

Через диск радиусом R и массой М проходит ось, перпендикуляр- но плоскости диска, на расстоянии r от его центра. С каким перио- дом должен колебаться диск относительно заданной оси?

6.38

Материальная точка с массой m = 25 г совершает гармонические колебания с амплитудой A = 10 см и частотой n = 1 Гц. Определить кинетическую энергию и действующую на нее силу в тот момент, ко- гда ее смещение от положения равновесия составляет x = 5 см?

6.39

Математический маятник, состоящий из нити длиной = 0,5 м и свинцового шарика с массой m = 50 г, совершает гармонические колебания с амплитудой x 0 = 5 см. Определить скорость шарика при прохождении им положения равновесия и максимальное значение возвращающей силы.

6.40

Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень с массой m длиной. Определить частоту колебаний ма- ятника, если точка подвеса находится на расстоянии x от центра масс. Момент инерции стержня относительно середины I = m l 2/12.

6.41

Найти амплитуду, период и фазу гармонических колебаний ма- териальной точки в тот момент, когда ее смещение равно x = 10 см, скорость v = 10 см/с и ускорение а = 10 см/c2.

6.42

Тонкий однородный стержень длины = 40 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Стержень отклонили на угол a0 = 0,01 рад и в мо- мент времени t = 0 отпустили. Считая колебания малыми, запиши- те уравнение движения a(t). Момент инерции стержня относитель- но центра тяжести стержня

I = m l 2/12.

6.43

Коэффициент жесткости пружины k = 10 Н/см, а масса груза m = 1 кг. Каковы были начальные значения смещения и скорости гру- за, если амплитуда колебаний A = 5 см, а начальная фаза j0 = 60°?

6.44

Два математических маятника имеют одинаковые массы и колеб- лются с одинаковыми угловыми амплитудами. Длина первого маят-

 

ника 1 в 2 раза больше длины второго маятника 2. Определить, какой из маятников обладает большей энергией и во сколько раз.

6.45

Два незакрепленных шарика с массами m 1 и m 2, лежащих на глад- кой поверхности, соединены друг с другом невесомой пружиной с коэффициентом упругости k. Определить период колебаний шаров относительно центра тяжести системы, если вывести ее из состоя- ния равновесия.

6.46

Материальная точка с массой m = 0,01 кг совершает гармони- ческие колебания, уравнение которых имеет вид х = А sin w t, где А = 0,2 м, w = 8 рад/с. Найти возвращающую силу F в момент време- ни t = 0,1 с, а также полную энергию Е точки.

6.47

Маятник подвешен на резине, растянутой настолько сильно, что ее первоначальной длиной можно пренебречь. Масса маятника — m, коэффициент упругости резины — k. Определить период горизон- тальных гармонических колебаний маятника.

6.48

Пустая стеклянная, запаянная с обоих концов, трубка опущена в жидкость в вертикальном положении так, что часть трубки находит- ся над ее поверхностью. Вычислить период малых колебаний трубки, если ей сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса трубки m = 50 г, радиус трубки R = 3,2 мм, плотность жидко- сти r = 1 г/см3. Сопротивлением жидкости пренебречь.

6.49

Частица с массой m может совершать незатухающие гармониче- ские колебания под действием упругой силы с коэффициентом уп- ругости k. Когда частица находилась в состоянии равновесия, к ней приложили постоянную силу F, которая действовала в течение t се- кунд. Найти амплитуду колебаний частицы после окончания дейст- вия этой силы. Изобразить примерный график колебаний х (t). Ис- следовать возможные случаи.

6.50

Стержень длиной = 40 см колеблется около оси, перпендику- лярной стержню и проходящей через его верхний конец. Определить период колебаний такого маятника.

 

6.51

Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соедине- ния пружин перейти к параллельному их соединению?

6.52

Уравнение колебания материальной точки x = 5 sin 4 t. Определить максимальную величину возвращающей силы, а также кинетическую энергию точки, если ее масса m = 0,4 г.

6.53

Диск радиуса R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. Определить частоту n колебаний такого физического маят- ника.

6.54

Точка совершает гармонические колебания х = А sin w t, где А = 5 см, w = 2 рад/с. В момент, когда на точку действовала воз- вращающая сила F = 5 мН, точка обладала потенциальной энергией U = 0,1 мДж. Найти этот момент времени t.

6.55

Материальная точка с массой m = 0,1 г колеблется согласно урав- нению x = А sin w t, где А = 5 см, w = 20 рад/с. Определить макси- мальные значения возвращающей силы F и кинетической энергии Т точки.

 

Затухающие колебания

6.56

Точка совершает затухающие колебания с частотой w и коэффи- циентом затухания b. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени t, если в момент t 0 = 0 смещение точки х (0) = 0 и проекция ее скорости vx (0) = v 0.

6.57

Имеются два затухающих колебания с известными периодами Т

и коэффициентами затухания b: Т 1 = 0,1 мс, b1 = 100 с–1 и Т 2 = 10 мс,

b2 = 10 с–1. Во сколько раз отличаются их логарифмические декре- менты затухания?

6.58

К невесомой пружине подвесили грузик, в результате чего она рас- тянулась на Ä x = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться грузик,

 

если ему дать небольшой толчок в вертикальном направлении? Ло- гарифмический декремент затухания l = 3,1.

6.59

Уравнение затухающих колебаний дано в виде х = 5 е–0,25 t sin p t /2, м. Найти скорость колеблющейся точки в моменты времени: 0, Т, 2 Т, 3 Т и 4 Т.

6.60

Математический маятник совершает затухающие колебания с ло- гарифмическим декрементом затухания, равным l = 0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положе- нии за одно колебание?

6.61

Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 3 мин?

6.62

Математический маятник длиной = 0,5 м, выведенный из по- ложения равновесия, отклонился при первом колебании на х 1 = 5 см, а при втором — на х 2= 4 см. Найти время релаксации.

6.63

К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на 9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Чему должен быть равен коэффициент затухания, чтобы груз возвращался в положение рав- новесия апериодически?

6.64

Чему равен логарифмический декремент затухания математиче- ского маятника, если за t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника = 1 м.

6.65

Математический маятник длиной = 24,7 см совершает затухаю- щие колебания. Через сколько времени энергия колебаний маятни- ка уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значениях логарифми- ческого декремента затухания l1 = 0,01 и l2 = 1.

6.66

К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на Ä = 9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и от- пуская его, заставляют груз совершать колебания. Чему должен быть равен коэффициент затухания, чтобы логарифмический декремент затухания l = 6?

 

6.67

Через сколько времени энергия колебаний камертона с частотой

n = 600 Гц уменьшится в n = 106 раз, если логарифмический декре- мент затухания равен 0,0008?

6.68

Математический маятник совершает колебания в среде, для ко- торой логарифмический декремент затухания l1 = 1,5. Каким будет значение l2, если коэффициент сопротивления среды увеличить в n = 2 раза? Во сколько раз следует увеличить коэффициент сопро- тивления среды, чтобы колебания стали невозможными?

6.69

Логарифмический декремент затухания математического маятни- ка l = 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника?

6.70

Найти логарифмический декремент затухания l математическо- го маятника, если за время t = 1 мин амплитуда колебаний уменьши- лась в два раза. Длина маятника = 1 м.

6.71

За время t = 16,1 с амплитуда колебаний уменьшилась в пять раз.

Найти коэффициент затухания.

6.72

За время t = 16,1 с амплитуда колебаний уменьшилась в пять раз.

За какое время t амплитуда уменьшится в е раз?

6.73

За время t = 100 с система совершает n = 100 колебаний. За это же время амплитуда колебаний А уменьшается в 2,7 раз. Чему равен ко- эффициент затухания?

6.74

Построить график затухающих колебаний х = е –0,1 t sin p t /4.

6.75

0 0

Зависимость координаты свободных затухающих колебаний от времени x = A e -b t cos(w t + j). Найти амплитуду и начальную фазу

колебаний для начальных условий x (0) = 0,

6.76

v (0) = v 0.

Период затухающих колебаний T = 4 с, логарифмический декре- мент затухания l = 1,6, начальная фаза равна нулю. Смещение точ- ки при t = T /4 равно x = 4,5 см. Записать уравнение движения. По-

 

строить график этого колебательного движения в пределах двух пе- риодов.

6.77

Чему равен логарифмический декремент затухания l математи- ческого маятника, если за одну минуту амплитуда колебаний умень- шилась в два раза? Длина маятника = 2 м.

6.78

Логарифмический декремент затухания математического маятни- ка l = 0,2. Найти, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника.

6.79

Маятник теряет за период колебаний 9 % энергии. На сколько процентов его частота отличается от собственной частоты колеба- ний w0?

6.80

Логарифмический декремент затухания колебаний математическо- го маятника l = 0,01. Сколько полных колебаний должен сделать ма- ятник, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в два раза?

6.81

Определить логарифмический декремент затухания математиче- ского маятника длиной = 50 см, если за время t = 8 мин он теря- ет 99 % своей энергии.

6.82

Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за две минуты уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за три минуты?

6.83

Затухающие колебания точки описываются уравнением

x = A 0 e –b t sin w t.

Найти скорость точки в момент t = 0.

6.84

Затухающие колебания точки описываются уравнением

x = A 0 e –b t sin w t.

Найти моменты времени, когда точка достигает крайних поло- жений.

6.85

Крутильные колебания тел описывается уравнением

j = j0 e –b t cos w t.

Найти угловую скорость тела в момент t = 0.

 

6.86

Крутильные колебания тел описываются уравнением

j = j0 e –b t cos w t.

Найти угловое ускорение тела в момент t = 0.

6.87

Крутильные колебания тел описываются уравнением

j = j0 e –b t cos w t.

Найти моменты времени, когда угловая скорость становится мак- симальной.

6.88

Некоторая точка совершает затухающие колебания с частотой

w = 25 рад/с. Найти коэффициент затухания b, если в начальный мо- мент скорость точки равна нулю, а ее смещение из положения рав- новесия в h = 1,02 раза меньше амплитуды.

6.89

Точка совершает затухающие колебания с частотой w и коэффи- циентом затухания b. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени t, если в момент t 0 = 0 амплитуда ее смещения равна A.