ТОП 10:

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ



Уравнение вида

а0 y ²+ а1 y ¢ + а2 y = 0,

где а0, а1, а2 — постоянные, называется линейным однородным диф- ференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффи- циентами.

Если функции y1 (x) и y2 (x) — частные решения уравнения (4.18), причем их отношение не является числом, то выражение

y (x) = C1y1 (x) + C2y2 (x), (4.19)

где C1 и C2 — постоянные, а y1 (x) и y2 (x) — частные решения, есть об- щее решение этого уравнения.

Для определения вида частных решений y1 (x) и y2 (x) следует ре- шить характеристическое уравнение


 

а0 k 2 + а1 k + а2 = 0. (4.20)

При решении квадратного уравнения (4.20) возможны три случая, представленные в таблице

 

Корни уравнения (4.20) Частные решения Общее решение
Действительные различ- ные k1 и k2 y1 = e k x y2 = e k x y (x) = C1 e k x + C2 e k x 1 2
Действительные равные k1 = k2 y1 = e k x y2 = xe k x y (x) = e k x (C + C x) 1 1 2
Комплексно сопряженные k1 = a + bi и k1 = a – bi y1 = e ax cosbx y2 = e ax sinbx y (x) = e ax (C1 cosbx + C2 sinbx)

 

Если заданы начальные условия у (0) = у01 и у (0) = у02, то можно найти постоянные C1 и C2 и, подставляя их в (4.20), получить частное решение уравнения (4.18).

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение дифференциального уравнения.

2. Что называется общим решением дифференциального урав- нения?

3. Что называется частным решением дифференциального урав- нения? Как найти частное решение, зная общее решение дифферен- циального уравнения?

4. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными? Как найти его решение?

5. Какие из уравнений (3.6), (3.7), (3.8), (3.9), (3.10), (3.11), (3.12),

(3.13), (3.14), (3.15) (с. 43 и 44) являются уравнениями с разделяю- щимися переменными?

6. Дайте определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

7. Как найти частное решение такого уравнения?

8. Какой вид имеет частное решение линейного однородного дифференциального уравнения, если корни его характеристическо- го уравнения: 1) действительные различные, 2) действительные сов- падающие, 3) комплексно сопряженные?


 

Примеры решения задач

Задача 4.1

Тело движется прямолинейно со скоростью v, пропорциональной квадрату времени t. Установить зависимость между пройденным пу- тем S и временем t, если известно, что в начальный момент времени (при t = 0) пройденный телом путь S (0) = S0.

Дано: v ~ t 2; S (0) = S0. Найти: S (t).

По условию задачи

v ~ t 2. (1)

Чтобы вместо знака пропорциональности «~» поставить знак ра- венства, введем коэффициент k. Тогда

v = kt 2. (2)

По определению скорость v — первая производная пути S по вре- мени t, т. е. путь S, время t и скорость v связаны дифференциальным уравнением

v = dS . (3)

dt

Приравняем правые части выражений (2) и (3). Получим

dS = kt 2. (4)

dt

Соотношение (4) является дифференциальным уравнением пер- вого порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде

dS = kt 2dt. (5)

Проинтегрировав обе части равенства (5), получим общее реше- ние дифференциального уравнения (4)

òdS = òkt 2dt


S (t) = òkt 2dt


= kt + C. (6)

3


В начальный момент времени S = S0, поэтому, подставив в общее решение (6) значения времени t = 0 и пути S = S0, найдем значение постоянной интегрирования С


S (0) = S0 = 0 + C. (7)

Тогда С = S0. Найденное значение С подставим в общее решение

(6) и получим частное решение


 

S (t) =


kt3

3


 

+ S0. (8)


Ответ: зависимость пройденного телом пути от времени имеет вид

kt3


S (t) =


+ S0.

3


Задача 4.2

Скорость охлаждения поверхности тела в воздухе пропорциональ- на разности температур тела и воздуха. Найти зависимость темперaту- ры тела T от времени t, если за интервал времени t = 10 с темперaту- ра тела изменилась от T1 = 300 K до T2 = 260 K, а температура возду- ха T3 = 220 К постоянна.

Дано: t = 10 с; T = 300 K; T = 260 K; T = 220 К; dT = k (T T ).


Найти: T (t).


2 3 dt 3


Скорость охлаждения тела — производная температуры T по вре- мени t, т. е. dT . Согласно условию задачи, T и t связаны уравне-


нием dt


dT = k (T T ). (1)


dt 3

Соотношение (1) является дифференциальным уравнением пер- вого порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде


dT T - T3


= kdt . (2)


Проинтегрируем обе части равенства (2)

ò ò
dT = kdt , (3)

T - T3

ò ò
d (T -T3 ) = kdt , (4)

T - T3

ln(T - T3) = kt + lnC. (5)


 

Для получения явной зависимости T (t) возьмем экспоненту от ле- вой и правой части уравнения (5)

eln(T -T3) =ekt +ln C , (6)


T - T3


=ekt ×eln C ,


T = Cekt + T . (7)

Выражение (7) является общим решением дифференциального уравнения (1). Найдем значение постоянной С при начальном усло- вии T (0) = 300 K. Подставляя в общее решение (7) время t = 0 и тем- пературы T = 300 К и T3 = 220 К, получим

300 = Сe0 + 220 = С + 220,

отсюда С = 80.

Следовательно, зависимость T (t) определяется частным реше- нием

T = 80ekt + 220 . (8)

Коэффициент пропорциональности k находим из условия, что в момент времени t = 10 с температура тела T2 = 260 К. Подставим T (10) = 260 К в уравнение (8). Получаем

260 = 80ek10 + 220 ,

260 - 220 = 80ek10 ,

40 = 80ek10 ,

0, 5 = ek10 ,

ln 0, 5 = 10k ,

k = 0,1ln 0, 5 = -0, 0693 . (9)

Подставив найденный коэффициент k в уравнение (8), получим температурную зависимость от времени вида

T (t) = 80e-0,0693t + 220 . (10)

Ответ: зависимость температуры тела от времени

T (t) = 80e-0,0693t + 220 , К.


 

Задача 4.3

Найти общее решение дифференциального уравнения

2y ² + 5y ¢ + 2y = 0. (1)

Заданное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения соста- вим характеристическое уравнение

2k2 + 5k + 2 = 0. (2)

Найдем корни уравнения (2)


 

k1,2 =


 

2 × 2


=-5 ± 3 .

4


Тогда k1 = - 2 и k2 = -0,5. Так как корни действительные различ- ные, согласно таблице на с. 52 частные решения уравнения (1) име- ют вид y1 = e-2x и y2 = e-0,5x, и общее решение уравнения (1) запишется как

y = C1 e-2x + C2 e-0,5x.

Ответ: y = C1 e-2x + C2 e -0,5x.

 

Задача 4.4

Найти частное решение дифференциального уравнения

y ² - 2y ¢ + y = 0, (1)

удовлетворяющее начальным условиям y (0) = 4, y ¢(0) = 2.

Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения соста- вим характеристическое уравнение и найдем его корни

k2–2k + 1 = 0

(k – 1)2 = 0

(k – 1) = 0

k1,2 = 1.

Так как корни действительные совпадающие, согласно таблице со с. 52 частные решения данного уравнения имеют вид y1 = ex и y2 = xex, а общее решение уравнения (1) запишется как


 

y = C1 ex + C2 xex = ex (C1 + C2 x). (2) Найдем y ¢, дифференцируя по x выражение (2):

y¢= (ex (C1 + C2 x))¢ = (ex)¢ (C1 + C2 x) + ex (C1 + C2 x) ¢ =

= ex (C1 + C2 x) + ex (0 + C2) = ex (C1 + C2 x + C2).

(при нахождении производной пользовались формулами (3) и (8) из таблицы производных с. 33–34 и правилом дифференцирования про- изведения двух функций — формулой (2.15) с. 34)

Итак,

y ¢= ex (C1 + C2 x + C2). (3)

Для определения частного решения уравнения (1) в равенства (2) и (3) подставим начальные условия:

y (0) = C1 e 0 + C2 0e 0 = 4, (2*)

y ¢(0) = e 0 (C1 + C2 0 + C2) = 2. (3*)

Получим систему двух уравнений

C1 =4,

C + C = 2

⎩ 1 2

из которой определяем постоянные C1 = 4 и C2 = -2.

Подставив эти значения в общее решение (2) уравнения (1), най- дем частное решение уравнения (1):

y = 4ex – 2xex. (4)

Ответ: y = 4ex – 2xex.

 

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.85.214.125 (0.014 с.)