Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

а 0 y ²+ а 1 y ¢ + а 2 y = 0,

где а 0, а 1, а 2 — постоянные, называется линейным однородным диф- ференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффи- циентами.

Если функции y 1 (x) и y 2 (x) — частные решения уравнения (4.18), причем их отношение не является числом, то выражение

y (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), (4.19)

где C 1 и C 2 — постоянные, а y 1 (x) и y 2 (x) — частные решения, есть об- щее решение этого уравнения.

Для определения вида частных решений y 1 (x) и y 2 (x) следует ре- шить характеристическое уравнение

 

а 0 k 2 + а 1 k + а 2 = 0. (4.20)

При решении квадратного уравнения (4.20) возможны три случая, представленные в таблице

 

Корни уравнения (4.20)	Частные решения	Общее решение
Действительные различ- ные k 1 и k 2	y 1 = e k x y 2 = e k x	y (x) = C 1 e k x + C 2 e k x 1 2
Действительные равные k 1 = k 2	y 1 = e k x y 2 = xe k x	y (x) = e k x (C + C x) 1 1 2
Комплексно сопряженные k 1 = a + b i и k 1 = a – b i	y 1 = e a x cosb x y 2 = e a x sinb x	y (x) = e a x (C 1 cosb x + C 2 sinb x)

 

Если заданы начальные условия у (0) = у 01 и у (0) = у 02, то можно найти постоянные C 1 и C 2 и, подставляя их в (4.20), получить частное решение уравнения (4.18).

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение дифференциального уравнения.

2. Что называется общим решением дифференциального урав- нения?

3. Что называется частным решением дифференциального урав- нения? Как найти частное решение, зная общее решение дифферен- циального уравнения?

4. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными? Как найти его решение?

5. Какие из уравнений (3.6), (3.7), (3.8), (3.9), (3.10), (3.11), (3.12),

(3.13), (3.14), (3.15) (с. 43 и 44) являются уравнениями с разделяю- щимися переменными?

6. Дайте определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

7. Как найти частное решение такого уравнения?

8. Какой вид имеет частное решение линейного однородного дифференциального уравнения, если корни его характеристическо- го уравнения: 1) действительные различные, 2) действительные сов- падающие, 3) комплексно сопряженные?

 

Примеры решения задач

Задача 4.1

Тело движется прямолинейно со скоростью v, пропорциональной квадрату времени t. Установить зависимость между пройденным пу- тем S и временем t, если известно, что в начальный момент времени (при t = 0) пройденный телом путь S (0) = S 0.

Дано: v ~ t 2; S (0) = S 0. Найти: S (t).

По условию задачи

v ~ t 2. (1)

Чтобы вместо знака пропорциональности «~» поставить знак ра- венства, введем коэффициент k. Тогда

v = kt 2. (2)

По определению скорость v — первая производная пути S по вре- мени t, т. е. путь S, время t и скорость v связаны дифференциальным уравнением

v = dS. (3)

dt

Приравняем правые части выражений (2) и (3). Получим

dS = kt 2. (4)

dt

Соотношение (4) является дифференциальным уравнением пер- вого порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде

dS = kt 2 dt. (5)

Проинтегрировав обе части равенства (5), получим общее реше- ние дифференциального уравнения (4)

ò dS = ò kt 2 dt

S (t) = ò kt 2 dt

= kt + C. (6)

3

В начальный момент времени S = S 0, поэтому, подставив в общее решение (6) значения времени t = 0 и пути S = S 0, найдем значение постоянной интегрирования С

S (0) = S 0 = 0 + C. (7)

Тогда С = S 0. Найденное значение С подставим в общее решение

(6) и получим частное решение

 

S (t) =

kt 3

3

 

+ S 0. (8)

Ответ: зависимость пройденного телом пути от времени имеет вид

kt 3

S (t) =

+ S 0.

3

Задача 4.2

Скорость охлаждения поверхности тела в воздухе пропорциональ- на разности температур тела и воздуха. Найти зависимость темперaту- ры тела T от времени t, если за интервал времени t = 10 с темперaту- ра тела изменилась от T 1 = 300 K до T 2 = 260 K, а температура возду- ха T 3 = 220 К постоянна.

Дано: t = 10 с; T = 300 K; T = 260 K; T = 220 К; dT = k (T — T).

Найти: T (t).

2 3 dt 3

Скорость охлаждения тела — производная температуры T по вре- мени t, т. е. dT. Согласно условию задачи, T и t связаны уравне-

нием dt

dT = k (T — T). (1)

dt 3

Соотношение (1) является дифференциальным уравнением пер- вого порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде

dT T - T3

= kdt. (2)

Проинтегрируем обе части равенства (2)

ò ò

dT = kdt, (3)

T - T3

ò ò

d (T -T3) = kdt, (4)

T - T3

ln(T - T 3) = kt + ln C. (5)

 

Для получения явной зависимости T (t) возьмем экспоненту от ле- вой и правой части уравнения (5)

e ln(T - T 3) = ekt +ln C, (6)

T - T 3

= ekt × e ln C,

T = Cekt + T. (7)

Выражение (7) является общим решением дифференциального уравнения (1). Найдем значение постоянной С при начальном усло- вии T (0) = 300 K. Подставляя в общее решение (7) время t = 0 и тем- пературы T = 300 К и T 3 = 220 К, получим

300 = Сe 0 + 220 = С + 220,

отсюда С = 80.

Следовательно, зависимость T (t) определяется частным реше- нием

T = 80 ekt + 220. (8)

Коэффициент пропорциональности k находим из условия, что в момент времени t = 10 с температура тела T 2 = 260 К. Подставим T (10) = 260 К в уравнение (8). Получаем

260 = 80 ek 10 + 220,

260 - 220 = 80 ek 10,

40 = 80 ek 10,

0, 5 = ek 10,

ln 0, 5 = 10 k,

k = 0,1ln 0, 5 = -0, 0693. (9)

Подставив найденный коэффициент k в уравнение (8), получим температурную зависимость от времени вида

T (t) = 80 e -0,0693 t + 220. (10)

Ответ: зависимость температуры тела от времени

T (t) = 80 e -0,0693 t + 220, К.

 

Задача 4.3

Найти общее решение дифференциального уравнения

2 y ² + 5 y ¢ + 2 y = 0. (1)

Заданное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения соста- вим характеристическое уравнение

2 k 2 + 5 k + 2 = 0. (2)

Найдем корни уравнения (2)

 

k 1,2 =

 

2 × 2

= -5 ± 3.

4

Тогда k 1 = - 2 и k 2 = -0,5. Так как корни действительные различ- ные, согласно таблице на с. 52 частные решения уравнения (1) име- ют вид y 1 = e -2 x и y2 = e -0,5 x, и общее решение уравнения (1) запишется как

y = C 1 e -2 x + C 2 e -0,5 x.

Ответ: y = C 1 e -2 x + C 2 e -0,5 x.

 

Задача 4.4

Найти частное решение дифференциального уравнения

y ² - 2 y ¢ + y = 0, (1)

удовлетворяющее начальным условиям y (0) = 4, y ¢(0) = 2.

Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения соста- вим характеристическое уравнение и найдем его корни

k 2–2 k + 1 = 0

(k – 1)2 = 0

(k – 1) = 0

k 1,2 = 1.

Так как корни действительные совпадающие, согласно таблице со с. 52 частные решения данного уравнения имеют вид y 1 = ex и y 2 = xex, а общее решение уравнения (1) запишется как

 

y = C 1 ex + C 2 xex = ex (C 1 + C 2 x). (2) Найдем y ¢, дифференцируя по x выражение (2):

y ¢= (ex (C 1 + C 2 x))¢ = (ex)¢ (C 1 + C 2 x) + ex (C 1 + C 2 x) ¢ =

= ex (C 1 + C 2 x) + ex (0 + C 2) = ex (C 1 + C 2 x + C 2).

(при нахождении производной пользовались формулами (3) и (8) из таблицы производных с. 33–34 и правилом дифференцирования про- изведения двух функций — формулой (2.15) с. 34)

Итак,

y ¢= ex (C 1 + C 2 x + C 2). (3)

Для определения частного решения уравнения (1) в равенства (2) и (3) подставим начальные условия:

y (0) = C 1 e 0 + C 2 0 e 0 = 4, (2*)

y ¢(0) = e 0 (C 1 + C 2 0 + C 2) = 2. (3*)

Получим систему двух уравнений

⎧ C 1 =4,

⎨ C + C = 2

⎩ 1 2

из которой определяем постоянные C 1 = 4 и C 2 = -2.

Подставив эти значения в общее решение (2) уравнения (1), най- дем частное решение уравнения (1):

y = 4 ex – 2 xex. (4)

Ответ: y = 4 ex – 2 xex.