ТОП 10:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА



b

Интеграл òf (x)dx численно равен площади, ограниченной частью графика функaции y = f (x), осью OX и ординатами f (a) и f (b), взятой со знаком «+» или «–», согласно схеме на рис. 3.3.

               
       
 
 

Если кривая пересекает ось OX один или несколько раз внутри интервала [а, b], то интеграл численно равен алгебраической сумме площадей, находящихся по каждую сторону оси OX.

 

Рис. 3.3

 

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИНТЕГРАЛА

Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод определения площадей, объемов и центров тяжести.

В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в XVII веке в работах Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаля и других ученых. В 1659 г. Барроу (учи- тель Ньютона) установил связь между задачей об определении площа- ди и задачей о касательной. Ньютон и Лейбниц в 70-х годах XVII века


 

перешли от частных геометрических задач к установлению связи ме- жду интегральным и дифференциальным исчислением.

Эта связь использована Ньютоном, Лейбницем и их учениками для развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования достигли в работах Л. Эйлера, М. В. Остро- градского и П. Л. Чебышева.

Итак, интегрирование — операция, обратная дифференцирова- нию. Поэтому если физическая величина X является производной по времени или координате от другой величины Y

X = dY , (3.4)

dt

то, зная величину X, можно найти зависимость величины Y от вре- мени как интеграл.

Y = òXdt . (3.5)

Так как явления природы протекают в пространстве и во време-

ни, многие физические величины являются интегралами по времени

t или координате (x, y, z) от других величин. Приведем примеры.

Мощность P — это скорость совершения работы А

P = dA . (3.6)


Поэтому работа


dt

A = òPdt


 

(3.7)


Скорость � - это производная радиус-вектора � по времени t

v r

dr


Поэтому радиус-вектор


v = . (3.8)

dt

� �
r = òvdt . (3.9)


Ток I — это скорость изменения заряда q

I = dq . (3.10)


Поэтому заряд


dt

q = òIdt . (3.11)


Плотность тела r связана с массой m и объемом V как

r = dm . (3.12)

dV



Поэтому масса тела


m = òrdV . (3.13)


Линейная плотность заряда l определяется как

l = dQ . (3. 14)

dx


Поэтому заряд


Q = òldx . (3.15)


ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Для определения интеграла от элементарных функций пользуют- ся таблицей интегралов, приведенной ниже.

Таблица основных интегралов (постоянные интегрирования в таблице опущены)

òn xn+1 x dx = ;(n¹-1) n +1 (1) òdx = tgx cos2 x (9)
òdx = ln x x (2) ò dx = -ctgx sin2 x (10)
òexdx = ex (3) dx 1 x òa2 +x2 = a arctg a (11)
òx ax 0 dx = ln a (4) ò dx = 1 ln a +x ; (для ⎪x⎪< a) a2 - x2 2 × a a - x (12)
òsin xdx = -cos x (5) ò dx = 1 ln x -a ; (для ⎪x⎪> a) x2 - a2 2 × a x + a (13)
òcos xdx = sin x (6) ò dx = arcsin xa2- x2 a (14)
òtgx = - ln cos x (7) ò dx = ln x + x2 + a2 a2 + x2 (15)
òctgx = ln sin x (8) ò dx = ln x + x2 - a2 x2 - a2 (16)

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение первообразной для данной функции.

2. Поясните геометрический смысл первообразной.

3. Поясните геометрический смысл определенного интеграла.

4. В чем отличия между неопределенным и определенным инте- гралом?

5. Поясните физический смысл определенного интеграла.

6. Пользуясь таблицей интегралов, найдите неопределенные ин- тегралы от следующих функций:

1) y = 9x2 - 2x + 3 ,

2) y = 6x3 + 3x - 4 ,

3) y = 5x + 3sin x ,

4) y = 7x3- 2 cos x ,

5) y = x ,

6) y = -sin x ,

7) y = tgx ,

8) y = 3 × cos2px.

7. Приведите примеры физических величин, которые являются ин- тегралами по времени и координате от других физических величин.

 

Примеры решения задач

Задача 3.1

Скорость тела изменяется со временем по закону v (t) = , м/c.

Найти путь S, пройденный телом за время t = 10 с после начала дви- жения, и среднюю скорость vср за это время.


Дано: v (t) = Найти: S (10), vср.


, м/c; t = 10 c.


Так как путь S — это интеграл от скорости v (t) по времени t,


(Sv (t) dt ), то S (t)=ò1+tdt =


2 (1+ t)2 + C .

3


В полученную зависимость пройденного телом пути от времени S (t) подставим значения времени t1 = 0 c и t2 = 10 с (это будут ниж- ний и верхний пределы интегрирования) и определим путь S (10), пройденный телом за 10 с


 


 

S (10) =


2 (1+ t)2


= 2 (11

3


 

-1) » 23, 7 м.


По определению средней скорости

 
 

v (t) = S (t)

cp t .

Тогда средняя скорость тела за время t = 10 c

v (10) = S (10) = 23, 7 » 2,37 м/с.

cp t 10

Ответ: путь, пройденный телом за первые 10 с после начала дви- жения, S (10) » 23,7 м; средняя скорость за этот промежуток време- ни vcp (t) » 2,37 м/с.

Задача 3.2

Какую работу A надо совершить, чтобы тело массой m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h? Найти работу при удалении тела на бесконечность.

Дано: m, R, h. Найти: Ah, A¥.

Сила, действующая со стороны Земли на тело массой m, опреде-

ляется законом всемирного тяготения F = G mM , где r — расстоя-

r 2

ние от центра Земли до тела, G — гравитационная постоянная, M

масса Земли. Если радиус Земли R, то работа, совершаемая для под- нятия массы m с поверхности Земли (r = R) до высоты h (r = R + h), вычисляется по формуле


R + h mM


⎛ 1 1 ⎞

       
   


Ah = òG 2

r
R


dr = GmM ⎜⎝R - R +h ⎟⎠.


На поверхности Земли (где r = R) сила, действующая на тело, F = mg (g — модуль вектора ускорения свободного падения), поэто- му GM = gR 2 и


A = mgR2 ⎛1 -

 


1 ⎞ = mgh .

 


h ⎜⎝ R R + h ⎟⎠


1+h

R


Для ответа на второй вопрос задачи найдем предел полученного выражения при h, стремящейся к бесконечности


 


 

lim A


= lim mgh = mgR, или A¥= mgR.


h®¥


h h®¥ h

1

+
R


Ответ: чтобы тело массой m поднять с поверхности Земли радиуса R


на высоту h, необходимо совершить работу Ah


= mgh ; чтобы удалить

1+ h


R

тело на бесконечность, необходимо совершить работу A¥= mgR.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

При решении физических задач часто возникают уравнения, на- зываемые дифференциальными. Такими являются уравнения дви- жения тел, составленные по второму закону Ньютона (если хотя бы одна из сил, действующих на тело, зависит от времени), уравнения незатухающих, затухающих и вынужденных колебаний, уравнения для расчета электрических цепей, составленные по правилам Кирх- гофа (если в цепи происходит переходный процесс).

Метод решения дифференциального уравнения определяется ви- дом уравнения; огромное число таких уравнений имеет только чис- ленное решение, в некоторых случаях решение дифференциально- го уравнения может подсказать сам характер исследуемого физиче- ского явления.

Рассмотрим виды дифференциальных уравнений, наиболее часто возникающих при описании физических процессов.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.22.210 (0.013 с.)