Углы между осями координат и вектором

Углы a, b, g, образуемые положитель- ными направлениями OX, OY, OZ с век-

тором � = { a, a, a } (рис. 1.14), можно

a x y z

найти по формулам

cosa = ax

x y z

a 2 + a 2 + a 2

 

= ax a

 

�| |

, (1.11)

cosb = ay

x y z

�| |

a 2 + a 2 + a 2

a

= � y, (1.12)

| a |

Рис. 1.14

cosg = az

= aza

. (1.13)

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение вектора, скалярной величины.

2. Среди перечисленных физических величин выберите вектор- ные и скалярные: скорость, сила, путь, масса, перемещение, темпе- ратура, ускорение, плотность, давление, электроемкость, импульс, влажность.

3. В чем заключаются правила параллелограмма и треугольника,

применяемые для сложения векторов? �

4.

�

a

В каком случае при умножении вектора a на число результи- рующий вектор b сонаправлен с вектором �? Противоположно на-

�

правлен?

�

5. Как вычесть из вектора a вектор b?

6. Что такое орты координатных осей? Как представить вектор че- рез его проекции на координатные оси и орты координатных осей?

 

7. Как найти длину вектора �

 

зная его проекции a, a, a

 

на ко-

a,

ординатные оси?

x y z

8. Как найти угол между осью координат и вектором?

9. Сформулируйте теорему косинусов.

 

Примеры решения задач

Задача 1.1

Самолет держит курс на север со скоростью v 1 = 200 м/с относи- тельно Земли. Дует восточный ветер со скоростью относительно Зем- ли v 2 = 15 м/с. Найти скорость самолета v относительно воздуха.

Дано: v 1 = 200 м/с; v 2 = 15 м/с.

Найти: v. �

� Скорость самолета относительно воздуха v равна

v = � - �

v 1 v 2

Изобразим треугольник скоростей.

Так как � ^ �, модуль искомой скорости находим

v 1 v 2

по теореме Пифагора: v = = = 200,56 м/с.

Ответ: скорость самолета относительно воздуха v = 200,56 м/с.

Задача 1.2

Найти модуль напряженности Е поля двух точечных зарядов q 1 = 1 нКл и q 2 = 2 × q 1 в точке, находящейся на середине соединяю- щего их отрезка длиной r = 1 м.

Дано: q 1 = 1 нКл; q 2 = 2 × q1; r = 1 м.

Найти: Е.

� � � � �

Согласно принципу суперпозиции полей E = E 1 + E 2, где E 1 и E 2 - напряженности полей зарядов q 1 и q 2 в точке А. Спроектируем это уравнение на ось ОX.

OX: Еx = Е 1 - Е 2.

 

 

 

 

�

Знак «-» говорит о том, что вектор E направлен противополож-

но оси ОX. Подставим числовые значения

Ответ: модуль напряженности поля двух точечных зарядов

Е =

 

Задача 1.3

К телу приложены силы

 

�

F 1 и

 

�

F 2,

угол между которыми b = 20°. Най�-

ти модуль результирующей силы F,

действующей на тело, если F 1 = F 2 = 20 Н.

Дано: b = 20°; F 1 = 20 Н; F 2 = 20 Н.

Найти: F. �

Результир�ующ�ая с�ила F �, дей�ствующая на тело, — это век�торна�я

сумма сил F 1 и F 2: F = F 1 + F 2. Найдем сумму векторов F 1 и F 2

по правилу параллелограмма (см. с. 13). Для треугольника сил ОДЕ

(ОД = F 2, ДЕ = F 1, ОЕ = F) запишем теорему косинусов:

2 2

ОЕ 2 = ОД 2 + ДЕ 2 - 2 × ОД × ДЕ × cosa

или

 

где a = 180° - b.

 

F 2 = F 1 + F 2 - 2 × F 1 × F 2 × cosa,

Так как по условию F 1 = F 2, то

.

Ответ: модуль результирующей силы F» 39,4 H.

 

Задача 1.4

Тело массой m = 1 кг движется с постоянной по модулю скоро- стью v = 10 м/с по окружности. Найти модуль изменения импульса тела Ä p при прохождении четверти окружности (импульсом называ-

v

ется произведение массы тела m на его скорость �).

Дано: v = 10 м/с; m = 1 кг. Найти: Ä p.

Изменение какой-либо величины — это разность

p p 2

-.

p 1

конечной и начальной величины. Значит, Ä�= � �

Пусть тело находилось в точке 1 и, двигаясь по часовой стрелке, оказалось в точке 2. Так как импульс по опре-

делению есть � = m �, то векторы � и � сонаправлены.

p � v p v

Вектор скорости v, как вы скоро узнаете из курса ме-

ханики, направлен по касательной к траектории тела.

Поэтому в точке 1 вектор � горизонтален, а в точке 2

� p 1 �

вектор p 2 вертикален. Построим разность векторов p 1

и � (правило вычитания векторов изложено на с. 15).

p 2 � �

Так как p 1 ^ p 2, то по теореме Пифагора

Ä p = =

= 2 mv =

2 ×1×10» 14,1 кг ×м.

с

Ответ: модуль изменения импульса тела Ä p» 14,1 кг ×м.

с

 

Задача 1.5

Вектор скорости тела �меняется со временем по закону

� � �

v (t) = 6 t i + 4 j - 12 t 3 k, м/с,

� � �

где t — время, а i, j, k — орты координатных осей. Найти зависи-

v

�

мость модуля скор�ости �от време�ни v (t). Дано: (t) = 6 t i + 4 j - 12 t 3 k, м/с.

Найти: v (t). �

�

В данной задаче вектор v выражен через проекции на координат-

�

ные оси и орты i �, j, k координатных осей (см. с. 16). Сомножители

�

при ортах i,

�

j и k - это проекции вектора скорости на оси OX, OY, OZ,

соответственно. Таким образом, vx = 6 t м/с, vy = 4 м/с, vz = -12 t 3 м/с. Тогда модуль вектора скорости

 

 

v (t) = = = 36 t 2 +16 +144 t 6, м/с.

Ответ: зависимость модуля скорости от времени

v (t) = 36 t 2 +16 +144 t 6, м/с.

 

Задача 1.6

Найти угол a между силой

� � � �

F (t) = 4 i + 7 tj + 2 tk, Н, действующей

� �

на тело, и осью OX в момент времени t = 1 с.

� �

Дано: F (t) = 4 i + 7 tj + 2 tk, Н; t = 1 с.

Найти: a.

Найдем длину вект�ора компоненты вектора F:

�

F. Как и в предыдущей задаче, запишем

Fx = 4 H, Fy = 7t H, Fz = 2 t H.

Используя формулу (1.11), получаем

cos a =

 

= 4

Fx = 4 =

 

= 4.

 

В данную формулу подставим значение времени t = 1 с:

cos a = =

4» 0, 48,

 

a�= arccos 0,48» 61,3°.

Ответ: между силой F и осью OX угол a» 61,3°.