ТОП 10:

УГЛЫ МЕЖДУ ОСЯМИ КООРДИНАТ И ВЕКТОРОМ



Углы a, b, g, образуемые положитель- ными направлениями OX, OY, OZ с век-

тором � = {a , a , a } (рис. 1.14), можно

a x y z


найти по формулам

cosa = ax

x y z
a2 + a2 + a2


 

= ax a


 

�| |
, (1.11)


cosb = ay

x y z
�| |
a2 + a2 + a2


a

= �y , (1.12)

| a |


Рис. 1.14


cosg = az


= aza


. (1.13)


 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение вектора, скалярной величины.

2. Среди перечисленных физических величин выберите вектор- ные и скалярные: скорость, сила, путь, масса, перемещение, темпе- ратура, ускорение, плотность, давление, электроемкость, импульс, влажность.

3. В чем заключаются правила параллелограмма и треугольника,

применяемые для сложения векторов? �

4.

a
В каком случае при умножении вектора a на число результи- рующий вектор b сонаправлен с вектором �? Противоположно на-

правлен?

5. Как вычесть из вектора a вектор b ?

6. Что такое орты координатных осей? Как представить вектор че- рез его проекции на координатные оси и орты координатных осей?


 


7. Как найти длину вектора �


 

зная его проекции a , a , a


 

на ко-


a,

ординатные оси?


x y z


8. Как найти угол между осью координат и вектором?

9. Сформулируйте теорему косинусов.

 

Примеры решения задач

Задача 1.1

Самолет держит курс на север со скоростью v1 = 200 м/с относи- тельно Земли. Дует восточный ветер со скоростью относительно Зем- ли v2 = 15 м/с. Найти скорость самолета v относительно воздуха.

Дано: v1 = 200 м/с; v2 = 15 м/с.

Найти: v. �

� Скорость самолета относительно воздуха v равна

v = � - �

v1 v2

Изобразим треугольник скоростей.

Так как � ^ � , модуль искомой скорости находим

v1 v2

по теореме Пифагора: v = = = 200,56 м/с.

Ответ: скорость самолета относительно воздуха v = 200,56 м/с.

Задача 1.2

Найти модуль напряженности Е поля двух точечных зарядов q1 = 1 нКл и q2 = 2 × q1 в точке, находящейся на середине соединяю- щего их отрезка длиной r = 1 м.

Дано: q1 = 1 нКл; q2 = 2 × q1; r = 1 м.


Найти: Е.


� � � � �


Согласно принципу суперпозиции полей E = E1 + E2 , где E1 и E2 - напряженности полей зарядов q1 и q2 в точке А. Спроектируем это уравнение на ось ОX.

OX: Еx = Е1 - Е2.

 
 

 


 

 

 

Знак «-» говорит о том, что вектор E направлен противополож-

но оси ОX. Подставим числовые значения

Ответ: модуль напряженности поля двух точечных зарядов

Е =

 


Задача 1.3

К телу приложены силы


 

F1 и


 

F2,


угол между которыми b = 20°. Най�-

ти модуль результирующей силы F,

действующей на тело, если F1 = F2 = 20 Н.

Дано: b = 20°; F1 = 20 Н; F2 = 20 Н.

Найти: F. �

Результир�ующ�ая с�ила F�, дей�ствующая на тело, — это век�торна�я

сумма сил F1 и F2 : F = F1 + F2 . Найдем сумму векторов F1 и F2

по правилу параллелограмма (см. с. 13). Для треугольника сил ОДЕ

(ОД = F2, ДЕ = F1, ОЕ = F ) запишем теорему косинусов:

2 2
ОЕ 2 = ОД 2 + ДЕ 2 - 2 × ОД × ДЕ × cosa


или

 

где a = 180° - b.


 

F2 = F1 + F2 - 2 × F1 × F2 × cosa,


Так как по условию F1 = F2, то

.

Ответ: модуль результирующей силы F » 39,4 H.


 

Задача 1.4

Тело массой m = 1 кг движется с постоянной по модулю скоро- стью v = 10 м/с по окружности. Найти модуль изменения импульса тела Äp при прохождении четверти окружности (импульсом называ-

v
ется произведение массы тела m на его скорость �).

Дано: v = 10 м/с; m = 1 кг. Найти: Äp.

Изменение какой-либо величины — это разность

p p2
- .
p1
конечной и начальной величины. Значит, Ä�= � �

Пусть тело находилось в точке 1 и, двигаясь по часовой стрелке, оказалось в точке 2. Так как импульс по опре-

делению есть � = m� , то векторы � и � сонаправлены.

p v p v

Вектор скорости v , как вы скоро узнаете из курса ме-

ханики, направлен по касательной к траектории тела.

Поэтому в точке 1 вектор � горизонтален, а в точке 2

p1 �

вектор p2 вертикален. Построим разность векторов p1

и � (правило вычитания векторов изложено на с. 15).

p2 � �

Так как p1 ^ p2 , то по теореме Пифагора


Äp = =


= 2mv =


2 ×1×10 » 14,1 кг ×м .

с


Ответ: модуль изменения импульса тела Äp » 14,1 кг ×м .

с

 

Задача 1.5

Вектор скорости тела �меняется со временем по закону

� � �

v (t) = 6t i + 4 j - 12t 3 k , м/с,

� � �

где t — время, а i ,j , k — орты координатных осей. Найти зависи-

v
мость модуля скор�ости �от време�ни v (t). Дано: (t) = 6t i + 4 j - 12t 3 k , м/с.

Найти: v (t). �

В данной задаче вектор v выражен через проекции на координат-

ные оси и орты i �, j, k координатных осей (см. с. 16). Сомножители


при ортах i ,


j и k - это проекции вектора скорости на оси OX, OY, OZ,


соответственно. Таким образом, vx = 6t м/с, vy = 4 м/с, vz = -12t 3 м/с. Тогда модуль вектора скорости


 

 

v(t) = = = 36t 2 +16 +144t6 , м/с.

Ответ: зависимость модуля скорости от времени

v(t) = 36t 2 +16 +144t6 , м/с.

 


Задача 1.6

Найти угол a между силой


� � � �

F (t) = 4i + 7tj + 2tk , Н, действующей


� �
на тело, и осью OX в момент времени t = 1 с.

� �

Дано: F (t) = 4i + 7tj + 2tk , Н; t = 1 с.


Найти: a.

Найдем длину вект�ора компоненты вектора F :


F . Как и в предыдущей задаче, запишем


Fx = 4 H, Fy = 7t H, Fz = 2t H.

Используя формулу (1.11), получаем


cosa =

 

= 4


Fx = 4 =

 

= 4 .


 

В данную формулу подставим значение времени t = 1 с:


cos a = =


4 » 0, 48 ,


 

a�= arccos 0,48 » 61,3°.

Ответ: между силой F и осью OX угол a » 61,3°.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.207.240.230 (0.013 с.)