ТОП 10:

УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ



ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Рассмотрим проекции момента импульса частицы L на ось z от- носительно двух произвольных точек О и О', лежащих на этой оси

(рис. 4.4). Из (4.5) следует, что � �

Lz = Lz¢ + [ R, p ]z.

R
p
R
R p
� � � �

z
Так как [ , ] ^ , а значит и оси z, то [ , ] = 0 и

Lz = Lz¢ . (4.12)

Аналогично можно показать, что

Mz = M z¢ . (4.13)


 

Моментом импульса Lz частицы относительно оси z называется про- екция на эту ось вектора L , определенного относительно произволь-

ной точки О этой оси (рис. 4.5а)

Lz = L cos a , (4.14)

где a – угол между вектором L и осью z. Момент импульса частицы

относительно оси z одинаков для всех точек оси z (4.12).

Моментом силы Mz, действующей на частицу относительно оси z, называется проекция на эту ось вектора M , определенного относи-

тельно произвольной точки О этой оси (рис. 4.5б).

Mz = M cos b , (4.15)

где b — угол между вектором M и осью z. Момент силы, действующей

на частицу относительно оси z, одинаков для всех точек оси z (4.13). Спроектируем на неподвижную ось z векторное уравнение (4.10). По- лучим


dLz =M dt z


. (4.16)


Уравнение (4.16) называется уравнением моментов относительно неподвижной оси. Из (4.16) следует закон сохранения момента импуль- са частицы относительно неподвижной оси:

если Mz = 0 , то Lz = const, (4.17)


или


 

Lz (t1 ) = Lz(t2 ) .


Рис. 4.5

Если алгебраическая сумма моментов сил, действующих на части- цу относительно некоторой неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным.


 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение момента импульса частицы и момента силы относительно неподвижной точки О.

2. Дайте определение плеча силы.

3. В каких случаях момент силы равен нулю?

4. Может ли меньшая сила создать больший момент силы?

5. Почему канатоходцы держат в руках длинный тонкий шест?

6. Запишите уравнение моментов.

7. Сформулируйте закон сохранения момента импульса частицы.

8. Дайте определение момента импульса частицы и момента силы относительно оси.

9. Зависит ли момент импульса частицы и момент силы относи- тельно оси от выбора точки на этой оси?

10. Запишите уравнение моментов относительно оси.

11. Сформулируйте закон сохранения момента импульса части- цы относительно оси.

 


 

 

Задача 4.1

Найти момент импульса Луны мас- сой МЛ относитель- но центра Земли массой МЗ и элек- трона массой me в


Примеры решения задач

 

 

Луна


 

 

Электрон


атоме водорода относительно протона, если они движутся по круго- вым орбитам радиусов R и r соответственно. Выразить через момент импульса L их кинетическую, потенциальную и полную энергии. Ме- няются ли со временем моменты импульса Луны и электрона?

Дано: МЛ, МЗ, me; R, r. �

Найти: , Т , U , Е ; L , Т , U , Е .

LЛ Л Л Л e е е е

Движение Луны вокруг Земли

Запишем второй закон Ньютона для Луны, двигающейся по ок- р�ужности радиуса R вокруг центра Земли. Так как единственной силой F , действующей на Луну, является сила ее гравитационного притяже-


 

ния к Земле (остальными пренебрегаем из-за их малости), то, следо- вательно, она является центростремительной силой, которая создает

v2

центростремительное (нормальное) ускорение an = R и


M a = G M З MЛ


, (1)


 

или


Л п R2


       
   

M v2 = G M З MЛ


Л R R2


, (2)


где G — гравитационная постоянная. Сокращая левую и правую час- ти уравнения на МЛ и R, получаем


 

 

или


v2 = G M З

R


, (3)


v = . (4)

По определению момент импульса Луны относительно центра Земли равен � � �

L = [R, p] .

Вращая правый винт от первого вектора ко второму � по край-

R p

чайшему пут�и, по его поступате�льному движению определяем на-

p
правление L (вверх). Так как R ^ � , то модуль момента импуль- са (4.2)


L = Rp sin p= RM v = RM = M


. (5)


2 Л Л Л

и, следовательно,

v = L . (6)

RM Л

� � � � �

p
Так как F ­¯ R , то M = [R, F ] = 0 относи�тельно центра Земли и из (4.11) следует, что момент импульса Луны L перпендикулярен плос- кости, в которой лежат векторы R и � , и не меняется при ее движе-

нии вокруг Земли. Кинетическая T и потенциальная U энергии дви- жения Луны вокруг Земли равны


 

T = Л
M v2

2 , (7)


U = -G MЛMЗ

R


 

. (8)


Подставляя (6) в (7) и (5) в (8), получаем

               
       

Л
,
.
T = M Лv2= L2 U = - L2 E = T + U = - L2


2 2M ЛR2


M R2 ,


2MЛ R2


 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.85.214.125 (0.009 с.)