Уравнение моментов относительно оси. Закон сохранения момента импульса частицы

ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ �

Рассмотрим проекции момента импульса частицы L на ось z от- носительно двух произвольных точек О и О', лежащих на этой оси

(рис. 4.4). Из (4.5) следует, что � �

Lz = Lz ¢ + [ R, p ] z.

�

R

p

R

R p

� � � �

z

Так как [, ] ^, а значит и оси z, то [, ] = 0 и

Lz = Lz ¢. (4.12)

Аналогично можно показать, что

Mz = M z ¢. (4.13)

 

Моментом импульса Lz ч � астицы относительно оси z называется про- екция на эту ось вектора L, определенного относительно произволь-

ной точки О этой оси (рис. 4.5а)

Lz = L cos a, (4.14)

�

где a – угол между вектором L и осью z. Момент импульса частицы

относительно оси z одинаков для всех точек оси z (4.12).

Моментом силы Mz, действующей на ча � стицу относительно оси z, называется проекция на эту ось вектора M, определенного относи-

тельно произвольной точки О этой оси (рис. 4.5б).

Mz = M cos b, (4.15)

�

где b — угол между вектором M и осью z. Момент силы, действующей

на частицу относительно оси z, одинаков для всех точек оси z (4.13). Спроектируем на неподвижную ось z векторное уравнение (4.10). По- лучим

dLz = M dt z

. (4.16)

Уравнение (4.16) называется уравнением моментов относительно неподвижной оси. Из (4.16) следует закон сохранения момента импуль- са частицы относительно неподвижной оси:

если Mz = 0, то Lz = const, (4.17)

или

 

Lz (t1) = Lz(t2).

Рис. 4.5

Если алгебраическая сумма моментов сил, действующих на части- цу относительно некоторой неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение момента импульса частицы и момента силы относительно неподвижной точки О.

2. Дайте определение плеча силы.

3. В каких случаях момент силы равен нулю?

4. Может ли меньшая сила создать больший момент силы?

5. Почему канатоходцы держат в руках длинный тонкий шест?

6. Запишите уравнение моментов.

7. Сформулируйте закон сохранения момента импульса частицы.

8. Дайте определение момента импульса частицы и момента силы относительно оси.

9. Зависит ли момент импульса частицы и момент силы относи- тельно оси от выбора точки на этой оси?

10. Запишите уравнение моментов относительно оси.

11. Сформулируйте закон сохранения момента импульса части- цы относительно оси.

 

 

 

Задача 4.1

Найти момент импульса Луны мас- сой М Л относитель- но центра Земли массой М З и элек- трона массой me в

Примеры решения задач

 

 

Луна

 

 

Электрон

атоме водорода относительно протона, если они движутся по круго- вым орбитам радиусов R и r соответственно. Выразить через момент импульса L их кинетическую, потенциальную и полную энергии. Ме- няются ли со временем моменты импульса Луны и электрона?

Дано: М Л, М З, me; R, r. �

Найти:, Т, U, Е; L, Т, U, Е.

L Л Л Л Л e е е е

Движение Луны вокруг Земли

Запишем второй закон Ньютона для Луны, двигающейся по ок- р�ужности радиуса R вокруг центра Земли. Так как единственной силой F, действующей на Луну, является сила ее гравитационного притяже-

 

ния к Земле (остальными пренебрегаем из-за их малости), то, следо- вательно, она является центростремительной силой, которая создает

v 2

центростремительное (нормальное) ускорение an = R и

M a = G M З M Л

, (1)

 

или

Л п R 2

M v 2 = G M З M Л

Л R R 2

, (2)

где G — гравитационная постоянная. Сокращая левую и правую час- ти уравнения на М Л и R, получаем

 

 

или

v 2 = G M З

R

, (3)

v =. (4)

По определению момент импульса Луны относительно центра Земли равен � � �

�

L = [ R, p ].

Вращая правый винт от первого вектора ко второму � по край-

R p

чайшему пут�и, по его поступате�льному движению определяем на-

p

правление L (вверх). Так как R ^ �, то модуль момента импуль- са (4.2)

L = Rp sin p = RM v = RM = M

. (5)

2 Л Л Л

и, следовательно,

v = L. (6)

RM Л

� � � � �

�

p

Так как F ­¯ R, то M = [ R, F ] = 0 относи�тельно центра Земли и из (4.11) следует, что момент импульса Луны L перпендикулярен плос- кости, в которой лежат векторы R и �, и не меняется при ее движе-

нии вокруг Земли. Кинетическая T и потенциальная U энергии дви- жения Луны вокруг Земли равны

 

T = Л

M v 2

2, (7)

U = - G M Л M З

R

 

. (8)

Подставляя (6) в (7) и (5) в (8), получаем

Л

,

.

T = M Л v 2= L 2 U = - L 2 E = T + U = - L 2

2 2 M Л R 2

M R 2,

2 M Л R 2