ТОП 10:

РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ ПРИ ПОВОРОТЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА



z
 
Рассмотрим рис. 5.7. Модуль скорости k k W

i-ой частицы вращающегося тела (5.17)

vi = Riw ,

а ее кинетическая энергия

1 1 w2 w2


R
T = m v2= m R2w2 = (m R2) = I ,


pi = mivi


i 2 i i


2 i i i i 2 i 2

=
i


где I


m R2 — момент инерции i-ой час-

i i i
mi


тицы. Так как кинетическая энергия все- го тела равна сумме кинетических энер- гий его частей, то


 

Рис. 5.7


w
2

T = åT = å(m R2 )


=Iw2


,(5.44)


i i i

i i

i i
где I = åm R2 — момент инерции тела. Полученное выражение спра- ведливо iи для непрерывного твердого тела. Ранее показано, что при- ращение кинетической энергии системы частиц равно работе всех сил, действующих на частицы системы. Для твердого тела (у которо- го нет внутренних сил) — работе внешних сил. Следовательно, беско- нечно малая работа внешних сил, действующих на твердое тело, рав- на бесконечно малому приращению его кинетической энергии. Пусть момент инерции тела не меняется со временем. Тогда имеем


dA = dT = d


Iw2=I 2w

dw2= I dw = Iwdw = Iw dw


, (5.45)


2 2 2 z z

где ось z совпадает с осью вращения и wz = ±w . Согласно основно- му уравнению динамики вращательного движения (5.27)

I ez = Mz .


Так как по определению

 

 

то получаем


e = dwz ,

z dt


I dwz = M .

dt z

Умножая левую и правую части этого выражения на dt, преобра- зуем его к виду

Idwz = Mz dt .

Подставляя данное выражение в (5.45) с учетом определения про- екции вектора угловой скорости на ось z


имеем


w = djz ,

z dt


dA = Iw dw = M w dt = M djz dt = M dj . (5.46)

z z z z z dt z z

j­­
Обычно направление оси z выбирают так, что � OZ . Тогда

djz = dj и работа внешних сил при повороте твердого тела на конеч- ный угол равна

j

A = òMzdj . (5.47)

С другой стороны, как уже было сказано ранее, работа внешних сил, действующих на твердое тело, равна изменению его кинетиче- ской энергии. Если тело участвует только в процессе вращения во- круг неподвижной оси, то (5.44)

Iw 2 Iw 2

A = T - T = 2 - 1 , (5.48)

2 1 2 2

где Т1 и w1 — кинетическая энергия и угловая скорость вращения тела в начальный, а Т2 и w2 — в конечный момент времени. Последнюю формулу можно обобщить на систему твердых тел и частиц с пере- менными моментами инерции. Тогда работа всех сил, действующих на систему твердых тел и частиц, участвующих в процессе вращения

å å
I w 2 I w 2


A = åT2i


- åT1i


= 2i 2i - 1i 1i , (5.49)

2 2


i i i i

где T1i , w1i и I1i — кинетическая энергия, угловая скорость вращения и момент инерции i тела (частицы) в начальный, а T2i , w2i и I2i — в конечный моменты времени.


 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Равна ли кинетическая энергия системы частиц сумме кинети- ческих энергий частиц системы?

2. Запишите выражение для вычисления кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

3. Запишите выражение для вычисления работы сил, действую- щих на тело при его повороте на конечный угол.

4. Как связана работа сил, действующих на тело, участвующего только во вращательном движении вокруг неподвижной оси, с из- менением его кинетической энергии?

5. Запишите выражение для вычисления изменения кинетической энергии системы тел и частиц при условии, что они участвуют толь- ко во вращательном движении вокруг неподвижной оси.

 

Примеры решения задач

Задача 5.11

Горизонтальная платформа массой M = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой

n = 10 об/мин. Человек массой m = 60 кг стоит при этом на краю плат- формы. С какой частотой n' начнет вращаться платформа, если чело-

век перейдет от края платформы к ее центру? Во сколько раз увели- чилась кинетическая энергия платформы с человеком? Считать дви- жение человека бесконечно медленным, платформу — однородным диском радиусом R = 1,5 м, а человек — материальной точкой.

Дано: M = 100 кг; m = 60 кг; R = 1,5 м; n =10 об/мин = (1/6) с–1.


Найти: n', Тк.

Тн


z ν

W k
1 1

Q


Рассмотрим силы, при- ложенные к человеку и дис-


Fтр


N

 

` = –


ку (рис. а). К человеку при-


Fтр Fтр


mg


 

W = –


ложена сила т�яжести mg ,


Мg N

а


норма�льная N и касатель-


ная


Fтр


(сила трения), со-


ставляющие силы реакции платформы. К платформе


 


 

приложена сила тяжести


� , сила реакции опоры � со стороны


Mg Q


оси на которую насажен диск, сила трения


Fт¢р


и сила давления W


со стороны человека. Рассмотрим механическую систему, состоя-

щую из пла�тформы и человека. Тогда внешними силами являются

� �

Mg , mg и Q . Выберем ось z вдоль оси вращения. При таком выборе

все внешние силы направлены вдоль оси z и их проекци�и на оси x и

y равны нулю. Так как проекция момента любой силы F на ось z за-

висит только от Fx и Fy (5.10)

Mz = xFy - yFx, (1)


то, очевидно, все M


= 0 и суммарный внешний момент


M внеш = 0.


z � � � z

Более того, для данной задачи Mg + mg + Q = 0 , так как вдоль оси z

система, а значит и ее центр масс, не движутся. Следовательно, име- ет место закон сохранения момента импульса системы телпри враща- тельном движении относительно неподвижной оси (5.43) и

I1(t)w1z(t) + I2(t)w2z (t) = I1(t ¢)w1z (t ¢) + I2(t ¢)w2z (t ¢) , (2)

где t и t' — начальный момент времени, когда человек находится на краю платформы, и конечный момент времени, когда человек на- ходится в центре. I1(t) = I1(t' ) = I1 = MR 2/2 — момент инерции плат- формы (диска), I2(t) = mR 2 — момент инерции человека в начальный момент времени, I2(t' ) = 0 — момент инерции человека в конечный

момент времени, w1z (t) = w2 z (t) = w — начальная частота вращения

системы «человек + платформа», w1z (t ¢) = w2 z (t ¢) = w¢ — конечная частота вращения системы «человек + платформа». Проекции век- торов угловой скорости wz тел системы в начальный и конечный мо- мент времени равны модулям этих векторов, т. к. эти вектора парал- лельны оси z. Таким образом, имеем равенство

(I1 + I2 )w = I1w¢ . (3)


По определению


w = 2pn , (4)

w¢ = 2pn¢ . (5)


Подставляя (4) и (5) в (3), имеем

(I1 + I2 )2pn = I12pn¢ . (6) Выражая из (6) n¢ , получаем равенство


 


(I + I )2pn I


2mR2 2m


n¢ = 1 2 = (1+ 2 )n = (1+


)n = (1+


)n . (7)


2pI1


I MR2 M


Требование неизменности момента импульса системы тел подра- зумевает возможность изменения момента импульса каждого из тел системы.

Отношение кинетической энергии системы в конечный и началь- ный момент равно


I w¢2

= 2 =w¢2


I =n¢2


I1 =


(I1 + I2 ) w2


w I1 + I2


n I1 + I2


(1+ I2 )2 n2

I 1


I 2mR2 2m


(8)


= 1 = 1+ 2 = 1+ = 1+ ,


n2 1+I2 I I1


MR2 M


где w и w¢ — начальная и конечная угловая скорость системы (плат- форма и человек), Тни Тк— начальная и конечная кинетическая энер- гии системы. Подставляя численные значения в (7–8), получаем


n¢ = (1+ 2m )n = (1+ 2 ×60) 1 = 2, 2 × 1


(об/с) =


M 100 6 6

= 2,2 · 10 = 22 (об/мин) » 0,37 (об/с),

= 1+ 2m = 1+ 2 ×60 = 2, 2 .


Tн M



 

Ответ:

n¢ = (1+ 2m )n = 22 (об/мин) » 0,37 (об/с),

M

= 1+ 2m = 2, 2 .

Tн M







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.234.241.200 (0.014 с.)