Работа внешних сил при повороте твердого тела

z

Рассмотрим рис. 5.7. Модуль скорости k k W

i -ой частицы вращающегося тела (5.17)

vi = Ri w,

а ее кинетическая энергия

1 1 w2 w2

R

T = m v 2= m R 2w2 = (m R 2) = I,

pi = mivi

i 2 i i

2 i i i i 2 i 2

=

i

где I

m R 2 — момент инерции i -ой час-

i i i

mi

тицы. Так как кинетическая энергия все- го тела равна сумме кинетических энер- гий его частей, то

 

Рис. 5.7

w

2

T = å T = å(m R 2)

= I w2

, (5.44)

i i i

i i

i i

где I = å m R 2 — момент инерции тела. Полученное выражение спра- ведливо i и для непрерывного твердого тела. Ранее показано, что при- ращение кинетической энергии системы частиц равно работе всех сил, действующих на частицы системы. Для твердого тела (у которо- го нет внутренних сил) — работе внешних сил. Следовательно, беско- нечно малая работа внешних сил, действующих на твердое тело, рав- на бесконечно малому приращению его кинетической энергии. Пусть момент инерции тела не меняется со временем. Тогда имеем

dA = dT = d

I w2= I 2w

d w2= I d w = I w d w = I w d w

, (5.45)

2 2 2 z z

где ось z совпадает с осью вращения и w z = ±w. Согласно основно- му уравнению динамики вращательного движения (5.27)

I e z = Mz.

Так как по определению

 

 

то получаем

e = d w z,

z dt

I d w z = M.

dt z

Умножая левую и правую части этого выражения на dt, преобра- зуем его к виду

Id w z = Mz dt.

Подставляя данное выражение в (5.45) с учетом определения про- екции вектора угловой скорости на ось z

имеем

w = d j z,

z dt

dA = I w d w = M w dt = M d j z dt = M d j. (5.46)

z z z z z dt z z

j­­

Обычно направление оси z выбирают так, что � OZ. Тогда

d j z = d j и работа внешних сил при повороте твердого тела на конеч- ный угол равна

j

A = ò Mzd j. (5.47)

С другой стороны, как уже было сказано ранее, работа внешних сил, действующих на твердое тело, равна изменению его кинетиче- ской энергии. Если тело участвует только в процессе вращения во- круг неподвижной оси, то (5.44)

I w 2 I w 2

A = T - T = 2 - 1, (5.48)

2 1 2 2

где Т 1 и w1 — кинетическая энергия и угловая скорость вращения тела в начальный, а Т 2 и w2 — в конечный момент времени. Последнюю формулу можно обобщить на систему твердых тел и частиц с пере- менными моментами инерции. Тогда работа всех сил, действующих на систему твердых тел и частиц, участвующих в процессе вращения

å å

I w 2 I w 2

A = å T 2 i

- å T 1 i

= 2 i 2 i - 1 i 1 i, (5.49)

2 2

i i i i

где T 1 i, w1 i и I 1 i — кинетическая энергия, угловая скорость вращения и момент инерции i тела (частицы) в начальный, а T 2 i, w2 i и I 2 i — в конечный моменты времени.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Равна ли кинетическая энергия системы частиц сумме кинети- ческих энергий частиц системы?

2. Запишите выражение для вычисления кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

3. Запишите выражение для вычисления работы сил, действую- щих на тело при его повороте на конечный угол.

4. Как связана работа сил, действующих на тело, участвующего только во вращательном движении вокруг неподвижной оси, с из- менением его кинетической энергии?

5. Запишите выражение для вычисления изменения кинетической энергии системы тел и частиц при условии, что они участвуют толь- ко во вращательном движении вокруг неподвижной оси.

 

Примеры решения задач

Задача 5.11

Горизонтальная платформа массой M = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой

n = 10 об/мин. Человек массой m = 60 кг стоит при этом на краю плат- формы. С какой частотой n ' начнет вращаться платформа, если чело-

век перейдет от края платформы к ее центру? Во сколько раз увели- чилась кинетическая энергия платформы с человеком? Считать дви- жение человека бесконечно медленным, платформу — однородным диском радиусом R = 1,5 м, а человек — материальной точкой.

Дано: M = 100 кг; m = 60 кг; R = 1,5 м; n =10 об/мин = (1/6) с–1.

Найти: n ', Тк.

Тн

z ν

W k

1 1

Q

Рассмотрим силы, при- ложенные к человеку и дис-

F тр

N

 

` = –

ку (рис. а). К человеку при-

F тр F тр

� mg

 

W = –

ложена сила т�яжести mg,

Мg N

а

норма�льная N и касатель-

ная

F тр

(сила трения), со-

ставляющие силы реакции платформы. К платформе

 

 

приложена сила тяжести

�, сила реакции опоры � со стороны

Mg � Q �

оси на которую насажен диск, сила трения

F т¢р

и сила давления W

со стороны человека. Рассмотрим механическую систему, состоя-

щую из пла�тформы и человека. Тогда внешними силами являются

� �

Mg, mg и Q. Выберем ось z вдоль оси вращения. При таком выборе

все внешние силы направлены вдоль оси z и их проекци�и на оси x и

y равны нулю. Так как проекция момента любой силы F на ось z за-

висит только от Fx и Fy (5.10)

Mz = xFy - yFx, (1)

то, очевидно, все M

= 0 и суммарный внешний момент

M внеш = 0.

z � � � z

Более того, для данной задачи Mg + mg + Q = 0, так как вдоль оси z

система, а значит и ее центр масс, не движутся. Следовательно, име- ет место закон сохранения момента импульса системы тел при враща- тельном движении относительно неподвижной оси (5.43) и

I 1(t)w1 z (t) + I 2(t)w2 z (t) = I 1(t ¢)w1 z (t ¢) + I 2(t ¢)w2 z (t ¢), (2)

где t и t' — начальный момент времени, когда человек находится на краю платформы, и конечный момент времени, когда человек на- ходится в центре. I 1(t) = I 1(t') = I 1 = MR 2/2 — момент инерции плат- формы (диска), I 2(t) = mR 2 — момент инерции человека в начальный момент времени, I 2(t') = 0 — момент инерции человека в конечный

момент времени, w1 z (t) = w2 z (t) = w — начальная частота вращения

системы «человек + платформа», w1 z (t ¢) = w2 z (t ¢) = w¢ — конечная частота вращения системы «человек + платформа». Проекции век- торов угловой скорости w z тел системы в начальный и конечный мо- мент времени равны модулям этих векторов, т. к. эти вектора парал- лельны оси z. Таким образом, имеем равенство

(I 1 + I 2)w = I 1w¢. (3)

По определению

w = 2pn, (4)

w¢ = 2pn¢. (5)

Подставляя (4) и (5) в (3), имеем

(I 1 + I 2)2pn = I 12pn¢. (6) Выражая из (6) n¢, получаем равенство

 

(I + I)2pn I

2 mR 2 2 m

n¢ = 1 2 = (1+ 2)n = (1+

)n = (1+

)n. (7)

2p I 1

I MR 2 M

Требование неизменности момента импульса системы тел подра- зумевает возможность изменения момента импульса каждого из тел системы.

Отношение кинетической энергии системы в конечный и началь- ный момент равно

I w¢2

Tк = 2 =w¢2

I =n¢2

I 1 =

Tн (I 1 + I 2) w2

w I 1 + I 2

n I 1 + I 2

(1+ I 2)2 n2

I 1

I 2 mR 2 2 m

(8)

= 1 = 1+ 2 = 1+ = 1+,

n2 1+ I 2 I I 1

MR 2 M

где w и w¢ — начальная и конечная угловая скорость системы (плат- форма и человек), Тн и Тк — начальная и конечная кинетическая энер- гии системы. Подставляя численные значения в (7–8), получаем

n¢ = (1+ 2 m)n = (1+ 2 ×60) 1 = 2, 2 × 1

(об/с) =

M 100 6 6

= 2,2 · 10 = 22 (об/мин)» 0,37 (об/с),

Tк = 1+ 2 m = 1+ 2 ×60 = 2, 2.

Tн M

 

Ответ:

n¢ = (1+ 2 m)n = 22 (об/мин)» 0,37 (об/с),

M

Tк = 1+ 2 m = 2, 2.

Tн M