Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Условия равновесия твердого тела
Из (5.1) и (5.2) следует, что твердое тело находится в равновесии, если: 1) векторная сумма сил, п � рилож � енных к телу, равна нулю или F = å Fi i = 0 (5.4) ⎧å F = 0, ⎪ ix ⎪⎪ i ⎨å Fiy = 0, ⎪ i
(5.5) и 2) векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относи- тельно неподвижной точки, � равна н � улю или M = å Mi i = 0 (5.6)
ix ⎪⎪ i = 0, ⎨å Miy = 0, ⎪ i
(5.7)
Так как имеет место равенство (5.4), то, следуя (4.22), можно ут- верждать, что равенства (5.6–5.7) справедливы относительно любой неподвижной точки пространства. Рассмотрим частный случай. Пусть все силы, действующие на твердое тело, лежат в плоскости ХОY (рис. 5.1а), т. е. имеют нулевые проекции на ось Z. Тогда любой вектор силы и радиус-вектор точки
� � � r = xi + yj + 0 × k; (5.8) � � � � � � � F = Fxi + Fy j + 0 × k. где i, j и k — единичные векторы вдоль соответствующих осей X, Y
M =[, F ]=[ xi + yj + 0 × k, F i + F j + 0 × k ] r x y и, используя�свойства векторного произведения, � � � [ a, b ] = (a b - a b) + (a b � - a b) + (a b - a b) k y z z y i z x x z j
x y y z получим � � � � M = (y × 0 - 0 × Fy) i + (0 × Fx - x × 0) j + (xFy - yFx) k =
где � � � = 0 × i + 0 × j + Mzk � = Mzk, (5.9) Mz = xFy - yFx. (5.10) Система уравнений (5.7) в данном случае сводится к одному урав- нению å M zi = 0. (5.11) i � Пусть точка О неподвижна, а к точке O' приложена сила F (рис. 5.1а). Тогда: если направление действия с�илы составляет с направлением пря- мой ОO' угол 0 < a < p, то сила F вращает тело относительно т. О вле- во, т. е. против часовой стрелке; если направление силы� составляет с направлением прямой ОO' угол -p < a¢ < 0, то сила F вращает тело относительно т. О вправо, т. е. по часовой стрелки; если направление силы составля�ет с направл�ением прямой ОO'
щения не происходит.
z б в Рис. 5.1
Выберем ось Z вдоль оси вращения, например так,�как пока�зано на рис. 5.1. Рассмотрим проекцию на ось Z момента M силы F, обра-
зующей с прямой ОO' угол a (рис. 5.1б), т. е. вращающей тело про- тив часовой с�трелки. Из свойств векторного произведения следует, что момент M параллелен оси Z и составляет с ней угол 0. Следова- тельно (4.14), Mz = M cos 0 = M. (5.12) � Если сила F образует с прямой ОO' уг�ол a¢ (рис. 5.1в), т. е. вра- щает тело по часовой стрелке, то момент M параллелен оси Z и, сле- довательно, составляет с ней угол p. Тогда Mz = M cos p = - M. (5.13) Следовательно, уравнение (5.11) имеет вид
å M zi = ± M 1± M 2..... ± Mn = 0, (5.14) i где знак (–) ставится, если сила вращает тело по часовой стрелке, а знак (+) — в противоположную сторону (против часовой стрелки). Отметим, что условия равновесия твердого тела определяют усло- вия неизменности движения, а не его отсутствия, так как из равен- ства нулю сил и их моментов следует равенство нулю ускорений. При этом центр масс тела может двигаться равномерно и прямолиней- но, а само тело — равномерно вращаться. Если тело покоится (с ко- рость тела равна нулю), то при выполнении условий равновесия оно не выйдет из состояния покоя (нулевая скорость не может изменить- ся со временем, так как ускорение равно нулю). Таким образом, ус- ловия равновесия — это необходимые, но не достаточные условия по- коя. Для материальной точки, в отличие от твердого тела, среди всех инерциальных систем всегда можно всегда выбрать такую систему, в которой выполняются уравнения равновесия материальной точки (5.4), и она покоится. Вопросы и задания для самопроверки 1. Сформулируйте условия равновесия твердого тела. 2. В каком случае проекция момента силы, лежащей в плоскости ХОУ, на ось z положительна и равна произведению модуля силы на плечо силы? 3. В каком случае проекция момента силы, лежащей в плоско- сти ХОУ, на ось z отрицательна и равна минус произведению моду- ля силы на плечо силы? 4. В каком случае проекция ненулевого момента силы, лежащей в плоскости ХОУ, на ось z равна нулю? 5. Объясните разницу между утверждениями: тело находится в рав- новесии, тело находится в покое.
Примеры решения задач Задача 5.1 К рукоятке гвоздодера приложена сила F = 150 H. Длина гвоздо- дера от основания до конца рукоятки L = 25 см, от гвоздя до боковой поверхности гвоздодера — l = 5 см. Определить силу, приложенную к
гвоздю.(Рассмотреть состоя- ние равновесия, силой тяже- сти гвоздодера пренебречь). Дано: F = 150 H; L = 25 см = 0,25 м;
L Q N
l = 5 см =�0, 05 м. Найти: Q. O ` F тр O `
K K Рассмотрим силы, прило- женные к гвоздодеру (рис. а а б в и б). В процессе выдергивания г�воздя на него возд�ействуют четыре объекта (тела): человек с силой F, гвоздь с силой K, Земля с силой � Mg и по�верхность, на которую опирается �гвоздодер, с силой реакции опоры N (нормальная составляющая) и F тр (горизонтальная состав- ляющая). Так как (5.4) � å Fi i = 0, то второе уравнение равновесия твердого тела (5.6) можно записать относительно произвольной точки O'. Выберем ее, как показано на рисунке. Отметим, что все силы, приложенные к гвоздодеру, лежат в плоскости ХОY. Поэтому равенство (5.6) сводится к (5.10) å M zi = 0, i которое имеет вид равенства (5.13). Рассчитаем проекции моментов всех сил, приложенных к гвоздодеру: М тр = 0, MN = 0 – так как точка O' лежит на линии действия этих сил; MMg = 0 – так как по условиям задачи силой тяжести гвоздоде- ра можно пренебречь; MF = FL – так как плечо силы�(перпендикуляр, опущенный из точ- ки O' на линию действия силы F) равно L, и сила вращает гвоздодер относительно точки O' против часовой стрелки; MK = – Kl – так как плечо силы (�перпендикуляр, опущенный из точки O' на линию действия силы K) равно l, и сила вращает гвоз- додер относительно точки O' по часовой стрелке. Таким образом, получаем уравнение MK + MF = 0 (1) или
FL - Kl = 0. (2) Выражая из этого уравнения силу K, имеем K = F L. (3) l По третьему закону Ньютона сила, с которой гвоздь действует на гвоздодер равна по модулю силе, с которой гвоздодер действует на гвоздь (рис. в), т. е. Q = K = F L. (4) l Таким образом, сила, с которой действует гвоздодер на гвоздь, тем больше, чем длиннее его ручка. Подставляя численные значе- ния, имеем Q = 150 0, 25 = 750 Н. (5) 0, 05 Ответ: Q = F L = 750 Н. l Задача 5.2 На горизонтальной плоскости в равновесии находится куб мас- N сой m. Определить величину, на- C правление и точку приложения к
Дано: m. � P = m Найти: N. Пусть нормальная составляющая силы реакции опоры � N при- ложена в неизвестной точке поверхности куба K, соприкасающей- ся с опорой на расстоянии x от точки О. Запишем условия равнове- сия (5.4) и (5.6). � � N + P = 0, (1) � � MN + MP = 0. (2) Из равенства нулю суммы двух векторов следует, что эти вектора равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. N = P = mg, (3) MN = MP. (4)
Так как сумма сил, приложенных к телу, равна нулю (1), то для определения моментов сил выберем точку О например так, как по- казано на рисунке. Точка приложения силы тяжести (центр тяжести куба) находится в т. С — центре его симметрии. Следовательно, ли- ния ее действия проходит через точку О, и плечо силы тяжести отно- сительно этой точки равно нулю. Тогда MP = 0 × P = 0. (5) Плечо нормальной составляющей силы реакции опоры N по оп- ределению равно x. Тогда модуль момента силы MN = x × N = xmg. (6) Следуя (4), запишем
и � Следовательно, силы и
xmg = 0, (7)
x = 0. (8) � лежат на одно прямой, т. е. точка О N mg � приложения силы реакции опоры N к кубу — точка пересечения го-
� Ответ: N = mg, N ¯ mg. Точка приложения силы реакции опо- ры — пересечение горизонтальной поверхности и линии действия силы тяжести.
Задача 5.3 На наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом, в покое находится цилиндр высотой H, радиусом окружности основа- ния R. Определить точку приложения к цилиндру силы реакции опо- ры и условие покоя цилиндра в зависимости от угла наклона плоско- сти a, если коэффициент трения о плоскость равен k. Дано: R;� H; k. Найти: N, a. Под нарушением покоя цилиндра на наклонной плоскости по- нимают два процесса: падение цилиндра на наклонную плоскость и скольжение его вдоль н�аклонной плоскости�. Пусть нормальная N и горизонтальная F тр — составляющие силы реакции опоры приложены в произвольной точке поверхности ци-
Цилиндр а F тр
Z б в линдра, соприкасающейся с опорой (наклонной плоскостью) на рас- стоянии x от точки О. Запи�шем�усл�овия равновесия (5.4) и (5.6). N + P + F тр = 0, (1) � � � MN + MP + M тр = 0. (2) Найдем условия, когда цилиндр не падает на наклонную плос- кость. Так как все силы, приложенные к цилиндру, действуют в од- ной плоскости XOY, то векторное равенство (2) можно заменить на равенство проекций на ось z MNz + MPz + M тр z = 0. (3) Определим моменты всех сил, например относительно точки О. Это возможно, так как предполагается, что сумма сил, приложенный к телу, равна нулю. Тогда MPz = 0, (4) M тр z = 0. (5) так как линии действия этих сил проходят через точку О (плечи сил равны нулю). Следовательно, MNz + MPz + MNz = MNz = 0. (6) Так как сила � N вращает тело относительно точки О против ча- совой стрелки, то MNz = N × x.
Тогда или
MNz = N · x = 0 (7)
x = 0. (8) Следовательн�о, если тело находится в равновесии, то нормальная составляющая N силы реакции опоры всегда приложена к точке О — точке пересечения линии действия силы тяжести с опорой (на�клон- ной плоскостью). Следовательно, точка приложения силы N дви- жется к краю цилиндра при увеличении угла наклона a. Это усло- вие определяет предельно возможное положение равновесия тела на наклонной плоскости (рис. б). Если линия дейст�вия силы тяжести выйдет за край тела (а точка приложения силы N по физическому
смыслу не может выйти за область соприкосновения тела с опорой), то тело обязательно перевернется, так как теперь проекции момен- тов всех сил относительно точки О равны (рис. в) MNz = 0, M тр z = 0, MPz = mgx (9) и MNz + MPz + M тр z = MPz ¹ 0. (10) Это означает, что цилиндр обязательно упадет вправо на наклон- ную плоскость. Таким образом, максимально возможный угол на- клона плоскости к горизонту a0, когда тело еще находится в равно- весии (рис. б), равен tga = R =2 R (11)
H и 2 a = arctg 2 R. (12) 0 H Найдем условия, когда цилиндр не скользит по наклонной плос- кости. Из (1) следует, что Nx + Px + F тр x = 0, (13) Ny + Py + F тр y = 0. (14) Определяя проекции всех сил (рис. г) на соответствующие оси ко- ординат, получаем Nx = 0, Px = mg sina, F тр x = – F тр, (15) Nx = N, Py = – mg cosa, F тр y = 0. (16) 5.3. Поступательное движение твердого тела 287
Подставим (15) и (16) в (13) и (14). Тогда имеем F тр– F тр = 0, (17) N – mg cosa = 0. (18) Пусть сила трения покоя достигает своего максимального значе- ния при некотором угле наклона a1, т. е. F тр = kN. Тогда выразим N из (18) и подставим в F тр (17). Таким образом, mg sina1 = F тр = kN = kmg cosa1 или
tga1 = k. (19) Следовательно, равновесие цилиндра на наклонной плоскости на- рушается тогда, когда угол наклонной плоскости с горизонтом: a > a0 = arctg 2 R (падение), H a > a1 = arctg(k) (скольжения). Если 2 R < k, то при увеличении угла наклонной плоскости от нуля H цилиндр упадет на нее, если k < 2 R 2 R, то он поедет по наклонной плос- H кости. Если k = H , то одновременно упадет и поедет. Ответ: тело находится в равновесии на наклонной плоскости, если a £ min{arctg 2 R, arctg(k)}. H
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 644; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.144.233.198 (0.259 с.) |