ТОП 10:

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА



Из (5.1) и (5.2) следует, что твердое тело находится в равновесии, если:

1) векторная сумма сил, приложенных к телу, равна нулю


или


F = åFi

i


= 0 (5.4)


⎧åF


= 0,


ix

⎪⎪i


⎨åFiy = 0,

i

i
⎪⎪åFiz= 0;


(5.5)


и 2) векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относи-

тельно неподвижной точки,равна нулю


или


M = åMi i


= 0 (5.6)


åM

ix

⎪⎪i


= 0,


⎨åMiy = 0,

i

i
⎪⎪åMiz= 0.


(5.7)


 

Так как имеет место равенство (5.4), то, следуя (4.22), можно ут- верждать, что равенства (5.6–5.7) справедливы относительно любой неподвижной точки пространства.

Рассмотрим частный случай. Пусть все силы, действующие на твердое тело, лежат в плоскости ХОY (рис. 5.1а), т. е. имеют нулевые проекции на ось Z. Тогда любой вектор силы и радиус-вектор точки

ее приложения можно представить в виде

� � �

r = xi + yj + 0 × k ; (5.8)

� � � �


� � �


F = Fxi + Fy j + 0 × k .


где i , j и k — единичные векторы вдоль соответствующих осей X, Y

и Z. Подставим�(5.8) в�(4.3) � � � � � �

M =[ , F ]=[ xi + yj + 0 × k, F i + F j + 0 × k ]

r x y

и, используя�свойства векторного произведения, �


� �

[ a, b ] = (a b - a b ) + (a b


- a b ) + (a b


-a b )k


y z z y i


z x x z j


 

x y y z


получим � � � �

M = ( y × 0 - 0 × Fy )i + (0 × Fx - x × 0) j + (xFy - yFx )k =


 

где


� � �

= 0 × i + 0 × j + Mzk


= Mzk ,


(5.9)


Mz = xFy - yFx. (5.10)

Система уравнений (5.7) в данном случае сводится к одному урав- нению

åM zi = 0 . (5.11)

i

Пусть точка О неподвижна, а к точке O' приложена сила F

(рис. 5.1а). Тогда:

если направление действия с�илы составляет с направлением пря- мой ОO' угол 0 < a < p , то сила F вращает тело относительно т. О вле-

во, т. е. против часовой стрелке;

если направление силы� составляет с направлением прямой ОO'

угол -p < a¢ < 0 , то сила F вращает тело относительно т. О вправо, т. е. по часовой стрелки;

если направление силы составля�ет с направл�ением прямой ОO'

r
r
нулевой угол или угол p , т. е. � ­­ F или � ­¯ F , то никакого вра-

щения не происходит.


 

z

б в

Рис. 5.1

 

Выберем ось Z вдоль оси вращения, например так,�как пока�зано на рис. 5.1. Рассмотрим проекцию на ось Z момента M силы F , обра-

зующей с прямой ОO' угол a (рис. 5.1б), т. е. вращающей тело про-

тив часовой с�трелки. Из свойств векторного произведения следует, что момент M параллелен оси Z и составляет с ней угол 0. Следова-

тельно (4.14),

Mz= M cos 0 = M . (5.12)

Если сила F образует с прямой ОO' уг�ол a¢ (рис. 5.1в), т. е. вра- щает тело по часовой стрелке, то момент M параллелен оси Z и, сле-

довательно, составляет с ней угол p. Тогда

Mz= M cos p = -M . (5.13) Следовательно, уравнение (5.11) имеет вид


 

åM zi = ±MM 2 ..... ± Mn= 0 , (5.14)

i

где знак (–) ставится, если сила вращает тело по часовой стрелке, а знак (+) — в противоположную сторону (против часовой стрелки).

Отметим, что условия равновесия твердого тела определяют усло- вия неизменности движения, а не его отсутствия, так как из равен- ства нулю сил и их моментов следует равенство нулю ускорений. При этом центр масс тела может двигаться равномерно и прямолиней- но, а само тело — равномерно вращаться. Если тело покоится ко- рость тела равна нулю), то при выполнении условий равновесия оно не выйдет из состояния покоя (нулевая скорость не может изменить- ся со временем, так как ускорение равно нулю). Таким образом, ус- ловия равновесия — это необходимые, но не достаточные условия по- коя. Для материальной точки, в отличие от твердого тела, среди всех инерциальных систем всегда можно всегда выбрать такую систему, в которой выполняются уравнения равновесия материальной точки (5.4), и она покоится.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Сформулируйте условия равновесия твердого тела.

2. В каком случае проекция момента силы, лежащей в плоскости ХОУ, на ось z положительна и равна произведению модуля силы на плечо силы?

3. В каком случае проекция момента силы, лежащей в плоско- сти ХОУ, на ось z отрицательна и равна минус произведению моду- ля силы на плечо силы?

4. В каком случае проекция ненулевого момента силы, лежащей в плоскости ХОУ, на ось z равна нулю?

5. Объясните разницу между утверждениями: тело находится в рав- новесии, тело находится в покое.

 

Примеры решения задач

Задача 5.1

К рукоятке гвоздодера приложена сила F = 150 H. Длина гвоздо- дера от основания до конца рукоятки L = 25 см, от гвоздя до боковой поверхности гвоздодера — l = 5 см. Определить силу, приложенную к


 


гвоздю.(Рассмотреть состоя- ние равновесия, силой тяже- сти гвоздодера пренебречь).

Дано: F = 150 H;

L = 25 см = 0,25 м;


 

Y
F

O
X

 

L Q

N

M
g
l


l = 5 см =�0, 05 м. Найти: Q .


O `


Fтр O `

 

K K


Рассмотрим силы, прило- женные к гвоздодеру (рис. а


а б в


и б). В процессе выдергивания г�воздя на него возд�ействуют четыре объекта (тела): человек с силой F , гвоздь с силой K , Земля с силой

Mg и по�верхность, на которую опирается �гвоздодер, с силой реакции опоры N (нормальная составляющая) и Fтр (горизонтальная состав-

ляющая). Так как (5.4) �


åFi

i


= 0 ,


то второе уравнение равновесия твердого тела (5.6) можно записать относительно произвольной точки O'. Выберем ее, как показано на рисунке. Отметим, что все силы, приложенные к гвоздодеру, лежат в плоскости ХОY. Поэтому равенство (5.6) сводится к (5.10)

åM zi = 0 ,

i

которое имеет вид равенства (5.13). Рассчитаем проекции моментов всех сил, приложенных к гвоздодеру:

Мтр = 0, MN = 0 – так как точка O' лежит на линии действия этих сил; MMg = 0 – так как по условиям задачи силой тяжести гвоздоде- ра можно пренебречь;

MF = FL – так как плечо силы�(перпендикуляр, опущенный из точ- ки O' на линию действия силы F ) равно L, и сила вращает гвоздодер

относительно точки O' против часовой стрелки;

MK= –Kl – так как плечо силы (�перпендикуляр, опущенный из

точки O' на линию действия силы K ) равно l, и сила вращает гвоз-

додер относительно точки O' по часовой стрелке.

Таким образом, получаем уравнение

MK + MF= 0 (1)

или


 

FL - Kl = 0 . (2)

Выражая из этого уравнения силу K, имеем

K = F L . (3)

l

По третьему закону Ньютона сила, с которой гвоздь действует на гвоздодер равна по модулю силе, с которой гвоздодер действует на гвоздь (рис. в), т. е.

Q = K = F L . (4)

l

Таким образом, сила, с которой действует гвоздодер на гвоздь, тем больше, чем длиннее его ручка. Подставляя численные значе- ния, имеем

Q = 150 0, 25 = 750 Н. (5)

0, 05

Ответ: Q = F L = 750 Н.

l

Задача 5.2

На горизонтальной плоскости

в равновесии находится куб мас- N

сой m. Определить величину, на- C

правление и точку приложения к

g
x
кубу силы реакции опоры. О K


Дано: m.�


P = m


Найти: N .

Пусть нормальная составляющая силы реакции опоры


N при-


ложена в неизвестной точке поверхности куба K, соприкасающей- ся с опорой на расстоянии x от точки О. Запишем условия равнове-

сия (5.4) и ( 5.6). � �

N + P = 0 , (1)

� �

MN + MP = 0 . (2)

Из равенства нулю суммы двух векторов следует, что эти вектора равны по модулю и противоположны по направлению, т. е.

N = P = mg , (3)

MN = MP. (4)


 

Так как сумма сил, приложенных к телу, равна нулю (1), то для определения моментов сил выберем точку О например так, как по- казано на рисунке. Точка приложения силы тяжести (центр тяжести куба) находится в т. С — центре его симметрии. Следовательно, ли- ния ее действия проходит через точку О, и плечо силы тяжести отно- сительно этой точки равно нулю. Тогда

MP = 0 × P = 0 . (5)

Плечо нормальной составляющей силы реакции опоры N по оп- ределению равно x. Тогда модуль момента силы

MN = x × N = xmg . (6)


Следуя (4), запишем

 

и

Следовательно, силы и


 

xmg = 0 , (7)

 

x = 0 . (8)

� лежат на одно прямой, т. е. точка О


N mg

приложения силы реакции опоры N к кубу — точка пересечения го-

.
mg
ризонтальной поверхности линией действия силы �

Ответ: N = mg , N ­¯ mg . Точка приложения силы реакции опо- ры — пересечение горизонтальной поверхности и линии действия силы тяжести.

 

Задача 5.3

На наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом, в покое находится цилиндр высотой H, радиусом окружности основа- ния R. Определить точку приложения к цилиндру силы реакции опо- ры и условие покоя цилиндра в зависимости от угла наклона плоско- сти a, если коэффициент трения о плоскость равен k.

Дано: R;�H; k. Найти: N , a.

Под нарушением покоя цилиндра на наклонной плоскости по- нимают два процесса: падение цилиндра на наклонную плоскость и

скольжение его вдоль н�аклонной плоскости�.

Пусть нормальная N и горизонтальная Fтр — составляющие силы

реакции опоры приложены в произвольной точке поверхности ци-


 


 

Цилиндр


а

Fтр


 

Z б в


линдра, соприкасающейся с опорой (наклонной плоскостью) на рас-

стоянии x от точки О. Запи�шем�усл�овия равновесия (5.4) и (5.6).

N + P + Fтр = 0 , (1)

� � �

MN+ MP+ M тр = 0 . (2)

Найдем условия, когда цилиндр не падает на наклонную плос- кость. Так как все силы, приложенные к цилиндру, действуют в од- ной плоскости XOY, то векторное равенство (2) можно заменить на равенство проекций на ось z

MNz + MPz + Mтрz = 0. (3)

Определим моменты всех сил, например относительно точки О. Это возможно, так как предполагается, что сумма сил, приложенный к телу, равна нулю. Тогда

MPz = 0, (4)

Mтрz = 0. (5)

так как линии действия этих сил проходят через точку О (плечи сил равны нулю). Следовательно,

MNz + MPz + MNz = MNz = 0. (6)


Так как сила


N вращает тело относительно точки О против ча-


совой стрелки, то


MNz = N × x .


 


Тогда или


 

MNz = N · x = 0 (7)

 

x = 0. (8)


Следовательн�о, если тело находится в равновесии, то нормальная составляющая N силы реакции опоры всегда приложена к точке О

точке пересечения линии действия силы тяжести с опорой (на�клон-

ной плоскостью). Следовательно, точка приложения силы N дви-

жется к краю цилиндра при увеличении угла наклона a . Это усло- вие определяет предельно возможное положение равновесия тела на

наклонной плоскости (рис. б). Если линия дейст�вия силы тяжести

выйдет за край тела (а точка приложения силы N по физическому

смыслу не может выйти за область соприкосновения тела с опорой), то тело обязательно перевернется, так как теперь проекции момен- тов всех сил относительно точки О равны (рис. в)

MNz = 0, Mтрz = 0, MPz = mgx (9)

и

MNz + MPz + Mтрz = MPz ¹ 0. (10)

Это означает, что цилиндр обязательно упадет вправо на наклон-

ную плоскость. Таким образом, максимально возможный угол на- клона плоскости к горизонту a0, когда тело еще находится в равно- весии (рис. б), равен


tga =


R =2R


(11)


H
0 1

H

и 2

a = arctg 2R.(12)

0 H

Найдем условия, когда цилиндр не скользит по наклонной плос- кости. Из (1) следует, что

Nx + Px + Fтрx = 0, (13)

Ny + Py + Fтрy = 0. (14)

Определяя проекции всех сил (рис. г) на соответствующие оси ко- ординат, получаем

Nx = 0, Px = mg sina, Fтрx = –Fтр, (15)

Nx = N, Py = –mg cosa, Fтрy = 0. (16)


5.3. Поступательное движение твердого тела 287

 

Подставим (15) и (16) в (13) и (14). Тогда имеем

Fтр– Fтр = 0, (17)

N mg cosa = 0. (18)

Пусть сила трения покоя достигает своего максимального значе- ния при некотором угле наклона a1, т. е. Fтр = kN. Тогда выразим N из

(18) и подставим в Fтр (17). Таким образом,

mg sina1 = Fтр = kN = kmg cosa1


или


 

tga1 = k. (19)


Следовательно, равновесие цилиндра на наклонной плоскости на- рушается тогда, когда угол наклонной плоскости с горизонтом:


a > a0


= arctg 2R (падение),

H


a > a1 = arctg(k ) (скольжения).

Если 2R < k ,то при увеличении угла наклонной плоскости от нуля


H

цилиндр упадет на нее, если k <

2R


2R,то он поедет по наклонной плос-

H


кости. Если k =

H


,то одновременно упадет и поедет.


Ответ: тело находится в равновесии на наклонной плоскости, если

a £ min{arctg 2R , arctg(k )} .

H







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.207.240.230 (0.028 с.)