Движение человека на лыжах, автомобиля по дороге, поезда по рельсам

Если человек движется на лыжах, то против движения ноги впе- ред действует сила трения, направленная назад, а против движения ноги назад — сила трения, направленная вперед. Из-за наличия спе- циальной мази сила трения, направленная назад, меньше по величи- не силы трения, направленной вперед. Векторная сумма сил трения является той результирующей внешней силой, которая перемещает центр масс человека вперед и, следовательно, позволяет ему двигать- ся на лыжах в нужном направлении. Наличие лыжных палок добав- ляет к силам трения, приложенным к лыжам, внешнюю силу сопро- тивления, приложенную к палкам и направленную по направлению движения лыжника. Движение автомобиля и поезда также связано с тем, что силы трения, приложенные к колесам и направленные по

 

движению, больше по величине сил трения, направленных против движения.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение радиус-вектора и его координат, скорости и ускорения центра масс механической системы в произвольной инер- циальной системе отсчета.

2. Дайте определение импульса системы частиц через скорость ее центра масс.

3. Объясните, почему барон Мюнхгаузен не мог вытащить сам себя за волосы из болота.

4. Объясните динамику ходьбы и бега человека, движения авто- машины.

 

Примеры решения задач

Задача 4.5

Найти центр масс (т. С) сис- темы двух частиц с радиус-векто-

рами � и � и массами m и m

r 1 r 2

� � 1 2

Дано: m 1; m 2; r 1; r 2.

Найти: положение т. С. z

� � �

� � �

Пусть т. С — неизвестный центр масс системы двух частиц. По правилу сложения векторов получаем

r 1¢ = r 1 - rC, r 2¢ = r 2 - rC. (1)

rC

Подставим в (1) выражение для � (4.28)

� �

� � � � � �

r 1¢ = r 1 -

m 1 r 1 + m 2 r 2 m + m

= m 1 r 1 + m 2 r 1 - m 1 r 1 - m 2 r 2 =

m + m

1 � 2 � 1 2

(2)

= m 2 r 1 - m 2 r 2 =

 

m 2 (� - �)

 

r 1 r 2

1 2

m 1+ m 2 m + m

� �

� � � � � �

r 2¢ = r 2 -

m 1 r 1 + m 2 r 2 m + m

= m 1 r 2 + m 2 r 2 - m 1 r 1 - m 2 r 2 =

m + m

1 � 2 � 1 2

(3)

1 2

= m 1 r 2 - m 1 r 1 =

 

m 1 (� - �).

 

m 1 + m 2

m + m r 2 r 1

4.6. Ц-система 257

 

Так как

(� - �) ­¯ (� - �),

r 1 r 2

то

�

r 2 r 1

�

r 1¢ ­¯ r 2¢.

Следовательно, эти вектора лежат на одной прямой. Пусть l

= �¢

2 r 2

и l = �¢. Тогда

� � �

1 r 1

l 1 = =

l 2

= m 2. (4)

m 1

Ответ: центр масс системы двух частиц с массами m1 и m2 распо- ложен на прямой, соединяющей эти частицы, и делит ее на части в соотношении m2 к m1, считая от частицы с массой m1.

 

Ц-СИСТЕМА

Для упрощения расчетов удобно рассматри-

вать движение системы частиц относительно ее центра масс. Систему отсчета, жестко свя- С vC занную с центром масс и перемещающуюся по-

ступательно (т. е. без вращения) по отношению y

C

r к инерциальным системам отсчета, называют O системой центра масс или кратко Ц - системой. z x

(рис. 4.10). Из выражения (4.34)

�

 

 

�

внеш

Рис. 4.10

 

следует:

maC = F

если сумма внешних сил, приложенных ко всем частицам системы,

aC

равна нулю, то � = 0 и центр масс системы будет двигаться равномер-

но и прямолинейно или оставаться в покое относительно инерциальной системы отсчета, т. е. Ц-система будет инерциальной системой;

если сумма внешних сил, приложенных ко всем частицам систе-

aC

мы, не равна нулю, то � ¹ 0 и центр масс будет двигаться с ускоре-

нием относительно инерциальной системы отсчета, т. е. Ц-система будет неинерциальной системой. Так как система координат в Ц-сис- теме жестко связана с центром масс, то, очевидно,

� � �

r СЦ º 0, v СЦ º 0 и a СЦ º 0. (4.35)

 

� �

Следовательно, суммарный импульс системы частиц в Ц-систе-

ме (4.32)

p Ц = mv СЦ º0. (4.36)

Уравнения моментов системы и уравнение моментов системы от- носительно оси (4.23, 4.26) в соответствии с принципом относитель- ности Галилея инвариантны относительно преобразования Галилея, т. е. имеют одинаковый вид в любой инерциальной системе отсчета. Рассматривая моменты импульса и сил системы частиц относитель- но движущегося начала (точки) и движущейся оси, можно показать, что уравнения моментов и их проекций на ось остаются инвариант- ными (неизменными) и при переходе из инерциальной системы от- счета в Ц-систему, которая может быть как инерциальной, так и не- инерциальной. Таким образом, имеют место равенства

�

�

M

dL Ц =

dt

 

внеш Ц

, (4.37)

dL Ц z = M внеш

dt Ц z

� �

, (4.38)

внеш

Ц

где L Ц, M – момент импульса системы частиц и сумма моментов

внешних сил, рассчитанных относительно центра масс системы, ко- торый в общем случае не является неподвижным.