Уравнение движения материальной точки

Второй закон Ньютона, записанный в дифференциальной форме

u

d � �

m = F dt

�

2 �

или m d r = F, (2.7)

dt 2

называется основным уравнением динамики материальной точки.

С помощью уравнений (2.7) решаются задачи:

— по известной зависимости от времени радиус�-вектора заданной массе определяется результирующая сила F �;

�

r (t) и

— по известным начальным значениям скорости u0, радиус-век�-

тора �, массы m и действующей на точку результирующей силы F

r 0 �

определяется зависимость от времени ее радиус-вектора r (t).

r t

В первой задаче проводится дифференцирование �() по времени,

� �

во второй — интегрирование. Задач�и решаются в скалярной форме с помощью проекций векторов r, u, F на координатные оси X, Y, Z или

на касательную t и нормаль n в заданной точке траектории.

В проекциях на координатные оси уравнения (2.7) имеют вид

d 2 r

m x = F, m

d 2 r

y = F, m

d 2 r

z = F

 

или

dt 2 x

dt 2 y

dt 2 z

m d u x = F, m d u y = F, m d u z = F,

dt x dt y dt z �

r u

� �

где rx, ry, rz, u x, u y, u z, Fx, Fy, Fz — проекции векторов,, F

динатные оси.

на коор-

В проекциях на касательную и нормаль в заданной точке траек- тории уравнения (2.7) записываются в виде

 

d ut

m d ut

dt

u2

 

u2

=

F t, m R

= Fn, (2.8)

� �

где = a t, = an — касательное и нормальное ускорение, t, n —

dt R

t n

� �

подвижные взаимно-перпендик�улярные орты, F t, Fn — проекции вектора результирующей силы F на орты,.

 

ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

m

Всякое действие тел друг на друга носит

m

характер взаимодействия. Опыт показывает,

что одно тело действует на другое с силами, совпадающими по модулю и противополож- ными по направлению (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Это опытное наблюдение сформулиро- вано Ньютоном в виде третьего закона ди-

на�мики: силы, с которыми взаимодействуют тела равны по величине

F 1,2 = F 2,1

и противоположны по направлению

� �

F 1,2 = - F 2,1. (2.9)

� �

F �1,2где F 1,2— сила, действующая на первое тело со стороны второго,

F 2,1 — сила, действующая на второе тело со стороны первого.

Поскольку силы взаимодействия приложены к разным телам, то они не могут вызывать их перемещение в одном направлении. Силывзаимо- действия проявляются в паре, приложены к взаимодействующим телам и являяются силами одной природы.

Направление ускорений взаимодействующих тел противополож- но (рис. 2.2).

В третьем законе Ньютона предполагается, что обе силы равны по модулю в любой момент времени независимо от движения точек. Это

 

утверждение соответствует ньютоновскому представлению о мгно- венном распространении взаимодействий, которое носит название принципа дальнодействия. Согласно этому принципу взаимодействие между телами распространяется в пространстве с бесконечно боль- шой скоростью.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение первого закона Ньютона.

2. Дайте определение инерциальной системы отсчета.

3. Назовите необходимые условия инерциальности системы от- счета.

4. Дайте определение силы, массы, импульса тела.

5. Запишите второй закон Ньютона с использованием понятий силы, импульса силы, импульса тела.

6. Запишите второй закон Ньютона для тела с изменяющейся мас- сой.

7. Запишите основное уравнение динамики.

8. Какие задачи решаются с помощью основного уравнения ди- намики?

9. Что утверждает третий закон Ньютона?

10. Для каких систем отсчета выполняются законы Ньютона?