Физический смысл векторного произведения

В физике многие величины определяются как векторное произ-

ведение других величин. �

1. Так, моменто�м силы F относительно неподвижной точки О на-

зывается вектор M, равный векторному произведению радиус-век-

тора �, проведенного из точки О в точку приложения силы, и век-

r �

тора силы F:

 

 

торы � и F лежат в го-

На рису�нке 1.19 век-

r

ризонтальной плоско-

сти, а в�ектор момента

� � �

M = [ r, F ] (1.22)

силы M перпендику-

лярен плоскости пере- множаемых векторов и

направлен вверх. �

 

Рис. 1.19

2. Моментом и�мпульса p относительно неподвижной точки О на-

зывается вектор L, равный векторному произведению радиус-векто-

ра �, проведенного из точки О к материальной точке, обладающей

r

p

импульсом �

 

� � �

L = [ r, p ] (1.23)

 

На рисунке показано, что тело движется по окружности против часо-

вой стрелки. Так как импульс �= �,

� p mv

v

где m — масса тела, v — его скорость, он, как и вектор �, направлен по ка-

сательной к траектории. По правилу векторного произведения двух векто-

 

Рис. 1.20

ров � и � результирующий вектор

� r p

L лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости пере�множае-

p

мых векторов, и направлен на нас, так как векторы r, �, L состав-

ляют правую систему.

3.

�

�

Изучая электромагнетизм, вы познакомитесь с силой Лоренца

F = q [ �, B ], действующей на заряд q, движущийся со скоростью � в

Л v � v

магнитном поле B.

На рис. 1.21 положительно заряженная части-

ц�а с зарядом q движется вправо. Магни�тное поле

B направлено на нас. Сила Лоренца FЛ лежит в

плоскости, перпендикул�ярной плоскости перемно-

v

жаемых векторов �

и B, и направлена вниз. Мо-

Рис. 1.21

 

�

дуль силы Лоренца FЛ = q × v × B × sina, где a — угол между вектора-

ми � и B.

v � � �

4. Сила Ампера FA = I [ l, B ] действует на проводни�к длиной l с то- ком I, помещенный в поле с магнитной индукцией B. Модуль силы

Ампера FA = I l B sina, где a - угол между н�аправлением тока и век-

тором B.

На рис. 1.22 ток I течет с�лева

Рис. 1.22

направо, магнитное поле� B на-

правлено вверх. Вектор FА пер-

пенди�куляр�ен плоскости рисунка (в ней лежат перемножаемые век- торы l и B) и направлен «на нас» из плоскости рисунка.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение векторного произведения двух векторов. В каком случае модуль векторного произведения двух векторов по- ложителен? Равен нулю?

2. Изменится ли направление и модуль векторного произведения двух векторов, если поменять местами перемножаемые векторы?

3. Возможна ли ситуация, когда модули векторного и скалярно- го произведений одних и тех же векторов равны? Если ваш ответ ут- вердительный, приведите пример.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Цель этого раздела — исследование поведения функции y = y (x) в окрестности точки x.