С учетом составляющих (з2.2) и (з2.5) критерий (з2.1) запишется в

Виде

 

 

Q =

 

(∆1 x)2

 

 

+

 

K ру

K r (2 − K r K ру)

 

 

Nv.

 

 

(з2.6)

 

2.4. Обоснование корректности постановки задачи по оптимизации

интенсивности использования ресурсов – параметра K ру и определения его

оптимального значения K ру opt.

Из анализа критериальной функции Q(K ру ) следует, что параметр-

аргумент K ру находится по составляющим критерия в противоположных

зависимостях (обратно или пропорциональной). Следовательно, критери-

альная функция (з2.6) не является монотонной, имеет выраженный мини-

мум (минимальное суммарное рассогласование), соответствующий ситуа-

ционно-наилучшей (оптимальной) интенсивности использования ресурсов

предприятия [3] (см. рис. 3.41 п.3.2.6.2).

165

K r 2 K ру

 

Таким образом, оптимизационная постановка задачи ресурсного управ-

ление является корректной.

2.5. Определение оптимального значения интенсивности ресурсного

управления K ру opt. Определим K ру opt из условия минимума критерия (з2.6)

по критериальному уравнению

 

∂ Q (K ру)

∂ K ру

 

 

= 0.

 

 

(з2.7)

 

Запишем критериальное уравнение (з2.7) в явном виде, взяв частные

производные по аргументу K ру у каждого слагаемого, воспользо-

вавшись правилом взятия производных «от дроби».

 

∂ Q (K ру)

∂ K ру

 

 

= 0 → −

 

(∆1 x)2

 

 

+

 

 

2 Nv

K r (2 − K r K ру)2

 

 

= 0.

 

 

(з2.8)

 

Введем отношение цель/риск

 

 

q =

 

(∆1 x)2

N v

 

.

 

Поделив обе части (з2.8) на N v, получим

 

 

−

 

q

 

 

 

+

 

K r (2 − K r K ру)2

 

 

= 0.

 

 

(з2.9)

 

Умножив обе части (з2.9) на K r, имеем

 

 

−

 

q

 

 

 

+

 

(2 − K r K ру)

 

 

 

= 0.

 

 

(з2.10)

 

Запишем (з2.10) в форме численного (графического) решения уравне-

ния для определения K ру opt

 

q

 

 

 

=

 

(2 − K r K ру)2

 

 

,

 

 

(з2.11)

 

где

(з2.12)

 

 

 

 

<

 

 

K ру

 

 

<

 

2,

 

при

 

 

K r

 

 

=

 

 

1,

 

 

166

K r 2 K ру

K r 2 K ру

K r K ру

K r K ру

 

по условиям устойчивости [3] (см. выражение (з2.7) п. 3.2.3.2).

Изобразим на рис. з2.1 и з2.2 вид решения (з2.11) относительно K ру opt

с учетом условий (з2.12), обозначив левую часть

q

 

= f (K ру), правую

 

 

–

 

(2 − K r K ру)2

 

= ϕ(K ру), K r = 1.

 

f, φ

 

f 1

 

f 2

 

f 3

 

φ

 

 

K ру opt

q 1

q 2

q 3

2

 

1

 

 

K o1 K o2 Ko3

 

K ру

 

 

q

 

K o 1 = K ру opt 1,

K o 2 = K ру opt 2,

K o 3 = K ру opt 3

 

Рис. з2.1

 

Рис. з2.2

 

На рис. з2.1 зависимость f(K ру) параметризована по параметру q – от-

ношению цель/риск (q 1 > q 2 > q 3).

Из рис. з2.2 (построенного на основании рис. з2.1) следует, что опти-

мальная интенсивность использования ресурсов, минимизирующая квад-

ратичный критерий эффективности управления с учетом возмущающих

факторов, монотонно возрастает с увеличением отношения цель/риск q.

Заметим, что постановка задачи по определению K ру opt корректна при

относительно малой интенсивности возмущений (рисков), т. е. при относи-

тельно больших значениях q > 1.

Рассмотрим аналитическое решение уравнения (з2.10) относительно

K ру opt с учетом условия (з2.12):

 

 

−

 

q

 

 

+

 

(2 − K ру)

 

 

 

= 0,

 

 

(з2.13)

 

где примем

 

q> 1

 

(з2.14)

 

 

167

K r K ру

K ру

 

и учтем, что 0 < K ру < 2.

Запишем (з2.13) в форме кубического уравнения

 

3 2

 

(з2.15)

 

Найдем решение уравнения (з2.15) для действительного корня K ру opt

с использованием формулы Кардано:

 

где

 

K ру opt = A + B,

 

(з2.16)

 

A = 3 −

 

m

 

+ M,

 

B = 3 −

 

m

 

− M,

 

(з2.17)

 

 3   2 

 

3 2

 

 

M =   +  .

 

 

(з2.18)

 

В соотношениях (з2.17) и (з2.18) искомые m и p выражаются через ко-

эффициенты уравнения (з2.15)

 

p = −   + 2 q,

3  2 

 

m = −2  + − 2 q.

 6  3

 

 

(з2.19)

 

Определим область изменения задаваемого параметра q – отношения

цель/риск, соответствующую условиям (з2.12) устойчивости принятой мо-

дели ресурсного управления по параметру K ру opt.

Примем нижнее значение K ру opt = 0,1, а верхнее K ру opt = 1,9, т. е.

 

0,1 ≤ K ру opt ≤ 1,9.

 

(з2.20)

 

Для определения границ изменения ситуационно-задаваемого пара-

метра q воспользуемся уравнением (з2.13), выразив из него в яв-

ном виде отношение цель/риск:

 

 

q =

 

 

(2 − K ру)

 

 

 

.

 

 

(з2.21)

 

Подставив в выражение (з2.21) K ру = 0,1, получим нижнюю границу

параметра q, значению K ру = 1,9 соответствует верхняя граница искомого

параметра q:

 

 

168

2 K ру − qK ру + 4 qK ру − 4 q = 0.

 p 

 m 

1  q 

q 2

 q 

2 K ру

 

 

(1,9)

 

 

 

⋅10−3 ≤ q ≤ 2 ⋅ (1,9)3 ⋅102.

 

 

(з2.22)

С учетом корректности постановки задачи ресурсной оптимизации

(з2.14) ограничим область изменения параметра q на интервале

 

1 < q < 103.

(з2.23)

Малые интервальные оценки (з2.23) параметра q соответствуют рис-

кованным ситуациям ресурсного управления, большие – управлению при

малых рисках.

Для примера получения численной оценки K ру opt по соотношениям

(з2.16)–(з2.19) выберем значение параметра

 

q = 3,

(з2.24)

соответствующее управлению ресурсами предприятия в рисковой ситуации

1 < q < 10.

Для q = 3 (з2.24) параметры p и m (з2.19) равны

(з2.5)

 

p = −   + 6 = 6 − =

3  2  4

 

21

 

 

,

 

 

(з2.26)

 

m = −2  + 3 − 6 = − − 3 = −

 2  4

 

 

13

 

 

.

 

 

(з2.27)

 

Подставив найденные значения p и m (з2.26), (з2.27) в выражение

(з2.18), вычислим параметр M:

 

 12   8 

 

3 2

 

 

3 2

 

 

(з2.28)

 

Определим параметры A и B (17) по найденным значениям m (з2.27) и

M (з2.28):

 

 

A = 3

 

13

 

 

+ 8,1 = 3 1,6 + 2,9 = 3 4,5 = 1,65,

 

 

(з2.29)

B = 3

13

 

 

169

1  3 

 1 

 21

13 

M =   +   = (1,75) + (1,63) = 5,4 + 2,7 = 8,1.

− 8,1 = 3 1,6 − 2,9 = − 1,3 = −3 1,3 = −1,1.

 

Подставив найденные параметры A и B (з2.29) в выражение (з2.16) для

оптимальной интенсивности управления ресурсами предприятия в риско-

вой ситуации, получим

K ру opt = 1,65 – 1,1 = 0,55. (з2.30)

Выводы:

1. При эффективной организации функции контроля оптимальная ин-

тенсивность управления ограниченными ресурсами предприятия

определяется ситуационно-оцениваемым параметром – отношением

цель/риск – q. Для моделирования ситуаций практической деятель-

ности ресурсного управ-ления на предприятии целесообразно вве-

сти три возможных случая:

– больших рисков: 0,1 < q < 10,

– средних рисков: 10 < q < 102,

– малых рисков: 102 < q < 103.

2. Численные значения оптимальной интенсивности ресурсного управ-

ления должны выбираться с учетом условий устойчивости модели

деятель-ности предприятия, учитывающей функцию «контроль» за

счет организации отрицательной обратной связи.

3. Найденное значение оптимальной интенсивности ресурсного управ -

ления является определяющим параметром структурной схемы

модели и уравнений ее динамики, доставляющим минимальное

значение прогнозируемому критерию эффективности управления,

учитывающему параметры запланированного изменения целевой

функции и интенсивности рисков.

4. С уменьшением интенсивности рисков значение оптимальной интен-

сивности ресурсного управления K ру opt увеличивается. В рассмот-

ренной ситуации больших рисков оно меньше единицы, т. е. не

совпадает с оптимальным значением интенсивности ресурсного

управления, найденным по критерию максимального быстродей-

ствия модели (Ko = 1), соответствующего условиям бесконечной

степени устойчивости [3] (см. рис. 3.36 п. 3.2.4).