Применение цепей маркова для моделирования процесса занятости населения

 

В настоящее время в Украине наблюдается рост безработицы, в котором отражаются острейшие противоречия современного состояния экономики, углубление общего кризиса. Это обусловлено переплетением структурных кризисов – политическим, энергетическим, сырьевым, валютно-финансовым, - инфляцией, замедлением темпов экономического развития. В комплексе мер по повышению прибыльности производства, применяемых предприятиями, возрастает роль экономии на рабочей силе и в первую очередь за счет сокращения численности персонала. На многих предприятиях практикуется «выдавливание» работников: человеку сокращают число рабочих часов и платят соответствующую заработную плату, на которую очень трудно прожить. Поэтому многие начинают искать новое место работы. В программах правительства Украины на ближайшие годы проблема занятости остается второстепенной. При этом незанятость части трудоспособного населения приводит к издержкам в виде потерь реально возможного, но упущенного валового внутреннего продукта.

Теоретическим и практическим вопросам изучения функционирования рынков труда посвящены работы отечественных и зарубежных авторов: Мортикова, Бидюка, Хейне и др.

Целью данной работы является построение модели процесса занятости населения с помощью конечных цепей Маркова. Исследование такого процесса приводит к системе разностных уравнений. При моделировании рассматривается перемещение временно незанятых из-за отсутствия работы между двумя состояниями: безработицы и новой занятости.

Пусть на некотором рынке труда в момент времени произошли структурные изменения вследствие увольнения работников, причиной которого стало сокращение объемов производства. Допустим, что только малая их часть может найти работу немедленно. Обозначим эту часть . Оставшаяся часть, став безработной, ищет другую работу. Обозначим эту часть , . Пусть вероятность найти работу в течение некоторого периода времени t равна , то есть, в среднем, можно ожидать, что часть незанятых работников получит работу в течение этого периода. Однако, те работники, которые нашли работу, снова могут ее потерять (новый наниматель может их уволить или они могут уйти с работы, чтобы найти лучшую). Вероятность стать безработным в течение периода t обозначим через , то есть, в среднем, можно предполагать, что часть занятых работников становится безработной в течение этого периода.

Таким образом, для первоначально уволенных работников (обозначим их количество через n) начинается цепь событий. В течение каждого периода после начального увольнения происходит перемещение некоторого количества людей из состояния безработных в состояния нанятых на работу, и наоборот, перемещение некоторого количества людей из состояния работающих в состояния безработных.

Предположим, что m из n уволенных работников нашли работу сразу же, то есть в начальный момент времени t=0 имеется (n-m) безработных и m работающих. Тогда в период t=1 найдут работу (n-m), а (1- )(n-m) останутся безработными. Далее, принимая во внимание то, что вероятность потерять работу для тех, кто её имел, равна , получим, что в течение первого периода (из нашедших работу немедленно) станут безработными, а сохранят её. Таким образом, к концу первого периода имеется в сумме безработных и работающих. Аналогично, в течение периода t=2 найдут работу , а останутся безработными. Из тех же, которые были наняты, станут незанятыми и сохранят работу. И в сумме к концу второго периода имеем количество безработных

и работающих

и т.д.

Отметим, что в каждый период времени количество безработных и работающих изменяется. Далее наша задача состоит в том, чтобы установить, будет ли этот процесс сходиться к устойчивому состоянию.

Предположим, что часть (вероятность) занятых работников в период t равна , а незанятых . Часть занятых в период (t+1) состоит из той части, которая имела работу в предыдущий период и сохранила ее (она составляет () ) плюс та часть, которая была безработной, но нашла работу (она составляет ). Таким образом, вероятность занятости в период (t+1) выражается уравнением

Аналогично, часть безработных в период (t+1) состоит из той части, которая была безработной и осталась безработной (она составляет (1- ) ) плюс часть из тех, кто имел работу, но потерял ее (она составляет ). Тогда вероятность незанятости в период (t+1) выражается уравнением

Это однородная система линейных разностных уравнений описывает, как вероятности занятости и незанятости работников изменяются от предыдущего периода к последующему. В матричной форме она имеет вид

 

Решение системы ищем в виде

,

где

– вектор постоянных величин; – число, которое находим из необходимого и достаточного условия существования нетривиального решения однородной системы алгебраических уравнений

Решая это уравнение, получаем и .

Собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям матрицы А, находим из системы уравнений

В результате получаем два частных решения

и общее решение как их линейную комбинацию

Постоянные и найдем, исходя из того, что при t=0 начальные значения и известны, получим

,

Найденное решение позволяет определить траекторию вероятностей занятого населения и безработных с течением времени. Так как , , , то , .

Отсюда можно сделать вывод, что хотя перемещения людей между двумя группами работающих и безработных будут продолжаться, но пропорциональное соотношение между этими группами будет характеризоваться этими значениями.

Данная модель является макроэкономической и в качестве объекта моделирования может быть выбран рынок труда любой территориальной единицы.

 

Литература:

1. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова / Дж. Кемени, Дж. Снилл.- М:Наука, 1970.-272с.

 

Скрыпник Т.М., Новожилова Е.Г.

Донецкий национальный университет