Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 661

рального дисконтированного эффекта проекта для акционеров. Таким образом, наиболее выгодный для акционеров график погашения кредита определится по критерию максимума ЧДЦ акционеров с учетом ограничений, которые могут быть наложены кредитором (например, по сроку пользования кредитом), причем это потребует незначительной доработки существующих программных пакетов.

15.3. Оптимизация организационно-экономического механизма реализации проекта

Внутренняя согласованность ценится больше эффективной работы.

Преобразование Питера

Объектом оптимизации могут быть различные элементы организационно-экономического механизма реализации проекта.

Одним из важных экономических параметров проекта является цена производимой продукции. Казалось бы, здесь нет особых проблем — цена определяется рынком, и ее нечего оптимизировать. Однако продукция каждого предприятия имеет свои особенности, и мы не видим ничего страшного в том, что разные виды фруктовых вод и соков в одинаковых бутылках продаются по разной цене. Поэтому предприятие имеет возможность менять цену своей продукции в определенных пределах. Однако при изменении цены в общем случае будут меняться спрос на продукцию, запасы готовой продукции и дебиторская задолженность (если продукция сдается в торговую сеть на реализацию). Установив соответствующие зависимости, можно обосновать и оптимальный уровень цены на продукцию.

Мы видим, что оптимизация параметров организационно-экономического механизма сводится в конечном счете к разработке и последующему сравнению соответствующих различных вариантов проекта. Это позволит получить ответы на вопросы типа:

• Что лучше: создавать свою торговую сеть, сдавать продукцию в существующую торговую сеть на реализацию или продавать ее по сниженной цене посредникам, которые будут зарабатывать на перепродаже?

• Целесообразно ли на том или ином шаге применить понижающий коэффициент к норме амортизации?

• Не будет ли выгоднее продавать свою продукцию смежнику по пониженной трансфертной цене, с тем чтобы позднее получить разницу (см. [92])?

662 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

• Какие санкции надо предусмотреть в договоре с другим участником за невыполнение им своих обязательств? Целесообразно ли участие в проекте, если этот участник не согласен на такие санкции?

Еще одна важная проблема связана с множественностью участников проекта. Нередко бывает так, что изменения каких-либо параметров проекта повышают эффект одного из них и снижают эффект другого. Как выбрать рациональные значения параметров? Общего ответа на такой вопрос нет, однако излагаемое ниже соображение позволяет сократить работу по перебору возможных вариантов и упорядочить процесс согласования.

Рассмотрим проект с двумя участниками, оценивающими его эффективность по "своим" ЧДД — соответственно ЧДД1 и ЧДД2. Результаты таких оценок, отвечающих 8 вариантам К, I, М,. /V, Р, <^>, К, 5 проекта, различающимся организационно-экономическими параметрами, представлены соответствующими точками на следующем рисунке.

ЧДД2

I-------------------------------------------------------------------------------------------------- ЧДД1

Заметим, что если в одном варианте оба участника получают эффекты больше, чем в другом, то второй вариант для них будет предпочтительнее.

Из рисунка видно, что вариант I должен быть исключен из рассмотрения, поскольку в варианте М эффекты обоих участников выше.

В варианте Р положение иное, поскольку во всех других вариантах один из участников имеет больший эффект, а другой — меньший. Казалось бы, такой вариант исключать из рассмотрения нельзя. Иногда это действительно так, однако часто оптимизируемые параметры могут меняться непрерывно или с "небольшим шагом" (например, цены, размеры дотаций или налоговых льгот, сроки погашения кредита или задержки платежей). Тогда, непрерывно меняя параметры, можно непрерывно

Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 663

переходить от одного варианта к другому. Если все параметры при этом изменять в одной и той же пропорции, эффекты участников будут изменяться приблизительно по линейному закону и получаемые "промежуточные" варианты изобразятся на рисунке отрезком. Так, отрезок УУ<2 отвечает семейству вариантов, построенных указанным способом из вариантов N и <^. Отсюда следует, что в данной ситуации вариант Р необходимо также исключить из рассмотрения — он явно хуже варианта Т, "среднего" между ТУ и <2 (что отражено на рисунке тонкой линией). По той же причине следует отбросить и вариант 5. Мы видим, что для рассмотрения и выбора остались лишь Парето-оптимальные варианты, в которых стремление одного участника улучшить свое положение приводит к ухудшению положения другого. В данном случае (и во многих других) соединяющая их линия оказалась выпуклой, под которой лежат точки, отвечающие всем отбрасываемым вариантам. Подобное геометрическое рассмотрение результатов оценки проектов со многими участниками может существенно помочь при формировании механизма взаимоотношений между ними.

15.4. *Модели и приближенные критерии оптимального отбора. Формирование инвестиционных программ

Программа по выводу России из кризиса выполнила недопустимую операцию и будет закрыта. Если эта ошибка будет появляться в дальнейшем, обращайтесь к разработчику.

Афоризм из Интернега

Преимущества экономической свободы никогда так отчетливо не проявляются, как в том случае, когда наделенный талантом бизнесмен ставит на свой собственный риск эксперименты с целью найти новый метод или комбинацию старых методов, обеспечивающих большую эффективность предприятия, чем старые.

Альфред Маршалл

В ряде случаев максимизация ЧДЦ оказывается эквивалентной использованию других, более простых с информационно-вычислительной точки зрения критериев.

В частности, если у всех сопоставляемых альтернативных проектов одни и те же суммарные дисконтированные результаты (или затраты, включая налоги), то максимальный ЧДЦ отвечает тому проекту, у которого достигает минимума величина суммарных (по шагам расчета) дисконтированных

664 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

затрат (соответственно максимума суммарных дисконтированных результатов). Преимущество этого метода состоит в том, что он не требует информации в первом случае о затратах, а во втором — о результатах, получение которой для некоторых проектов может составить принципиальные трудности. Эти преимущества проиллюстрируем на примере выбора типа компрессора в системе газораспределения, устанавливаемого взамен выработавшего ресурс. Ясно, что для всех компрессоров, устанавливаемых в данной точке сети, расход газа и его давление, а следовательно, и выручка от реализации газа одинаковы. В то же время попытка связать с устанавливаемым компрессором какую-либо конкретную выручку принципиально затруднена, если вообще возможна. Другой пример, связанный с выбором лучшего варианта покраски дома и заполнения налоговой декларации, приводился в п. 13.2.1. Он показывает, в частности, что обеспечить правильное решение задач рассматриваемого типа можно, учтя дополнительно к "обычным" также альтернативные издержки.

В ряде случаев отбор проектов производится в условиях ограниченности каких-либо ресурсов (например, капиталовложений). Типичная проблема такого рода состоит в отборе для реализации таких проектов из данной совокупности взаимно независимых проектов, которые обеспечат наибольший суммарный эффект. Математическая постановка этой задачи может быть формализована следующим образом.

Дана некоторая совокупность, включающая конечное число эффективных проектов. Каждый га-й проект характеризуется (положительной) величиной интегрального эффекта (ЧДД) Э_п и потребностью в ресурсе К_п. Введем вспомогательные (булевы) переменные х_п, равные 1 для проектов, подлежащих реализации, и 0 для отвергаемых проектов (переменные, которые могут принимать только значения 0 или 1, называются булевыми). Тогда рациональный отбор проектов будет отвечать такому набору величин х_п, который будет решением следующей оптимизационной задачи А:

х_п = О или 1 для всех п; (15.1)

5>„Я„<Я, (15.2)

п

Ф = ^дг„Э„=^тах, (15.3)

п

где./? — общее количество имеющегося ресурса, а величина Ф показывает совокупный ЧДД от реализации отобранных проектов.

Очевидно, что интерес представляет только такая ситуация, когда, во-первых, все проекты эффективны (Э_я > 0), а во-вторых, имеющегося ресурса Л достаточно для реализации хотя бы одного из проектов, но не хватает для реализации всей их совокупности. В этом случае мы получаем задачу целочисленного программирования, для которой имеется много эффективных вычислительных методов, однако нет точного ана-

Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 665

литического решения. Между тем имеется простой приближенный метод решения задачи, который обычно дает решение, достаточно близкое к точному, и позволяет оценить допускаемую ошибку. Расширим множество допустимых значений переменных, заменив ограничение (15.1) более слабым:

О < х_п < 1 для всех п, (15.1а)

от чего значение ЧДЦ может только увеличиться. С экономической точки зрения такое ограничение означает делимость проектов — возможность осуществить не "целый" проект, а, скажем, половину или треть проекта (но не два и не полтора проекта!); такое предположение будет выглядеть более реалистичным, если понимать под реализацией половины проекта такую форму участия в нем, при которой используется половина ресурса, но и получается половина общего дохода. Наряду с исходной задачей А рассмотрим задачу Б максимизации критерия (15.3) при ограничениях (15.2) и (15.1а). Она является задачей линейного программирования и легко решается.

"Назовем набор {х_п} допустимым, если для него выполняются условия (15.1а) и (15.2), и оптимальным, если при этом критерий (15.3) принимает наибольшее значение. Вообще говоря, оптимальных наборов может быть несколько. Если это так, то рассмотрим тот из них, где количество частично принимаемых проектов — наименьшее, и выясним его свойства. При этом величину а_п = Э_п/К_п назовем удельным эффектом п-го проекта.

В силу сделанных предположений среди величин х_п есть нулевые (т. е. соответствующие проекты отвергаются). Пусть х_к = 0, х_т > 0. Увеличим х_к на Ь/К_к и уменьшим х_т на 5/7?_т, а остальные х_п оставим прежними. Нетрудно убедиться, что при малом 5 > 0 полученный набор будет допустимым, а критерий оптимальности (15.3) изменится на 8(а_к - а„). Эта величина не может быть положительной, поскольку набор {д;„} был оптимальным. Поэтому а_к < а_т т. ^..удельныйэффект каждого отвергнутого проекта не превосходит удельного эффекта любого принятого к реализации.

Те же самые рассуждения можно повторить и в случае, когда х_т = 1, х_к < 1. При этом неравенство а_к < а_т будет означать, что у всех "полностью принятых" проектов удельный эффект не меньше, чему всех "частично принятых".

Докажем теперь, что в наборе {х_п} не может быть больше одного "частично принятого" проекта. Допустим, что это не так и нашлись два проекта, например г-й и 5-й, у которых 0 <л:_г< 1,0 < Д^ < 1. Заменим теперь х_г на х_г + Ъ/К_г и я^ на я^ - Ь/К₅, оставив прежними остальные х_п. Легко проверить, что от этого критерий (15.3) изменится на 8(а_г - а₅). Поэтому, если а_г * а_а то взяв малое 5 подходящего знака, можно получить допустимый набор {х_п} с большим совокупным эффектом, что не-

666 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

возможно. Это значит, что а_г = а₅ Возьмем тогда 5 равной наименьшей из величин л:^ и (1 - х^)К_г При этом совокупный эффект не изменится, зато уменьшится количество "частично принятых" проектов, что невозможно.

Теперь можно изложить и способ построения оптимального решения. Расположим проекты в порядке убывания удельного эффекта. Тогда, как вытекает из приведенных выше рассуждений, полностью принятые проекты окажутся первыми, отвергнутые — последними, а межде ними может оказаться только один частично принятый проект. Поэтому нахождение оптимального решения сводится к последовательному принятию проектов с наибольшим удельным эффектом до тех пор, пока не будет достигнут заданный объем расхода ресурса К. Если после добавления очередного проекта расход ресурса совпадет с заданным, мы получим оптимальное решение, которое одновременно будет и решением исходной задачи А. Если же заданный расход будет превышен, то последний из проектов должен быть "реализован частично" (для него будет 0 < х_п < 1) — это дает точное решение задачи Б, неприемлемое для исходной задачи. Поэтому приближенное решение задачи А мы получим, остановившись на предыдущем шаге, т. е. отказавшись от "частичной реализации" последнего проекта и "немного не израсходовав" заданное количество ресурса.

Поэтому приближенное решение задачи А мы получим, остановившись на предыдущем шаге, т. е. отказавшись от "частичной реализации" последнего проекта и "немного не израсходовав" заданное количество ресурса.

Обычно изложенный метод применяется в условиях ограничений на общий объем первоначальных инвестиций. При этом удельные эффекты Э_п/К_п совпадают с индексами дисконтированной доходности первоначальных капиталовложений (ИДЦК, см. п. 8.2.1), уменьшенными на 1. Использование этого метода поясним примерами.

Первый пример относится к случаю, когда метод дает точное решение. Одновременно он показывает недопустимость отбора проектов в порядке убывания ВНД, о чем уже говорилось в примере 8.8.

ПРИМЕР 15.1. Инвестор располагает средствами в объеме 3000. Ему предложены четыре проекта, показатели которых сведены в следующую таблицу (норма дисконта — 10%).

 

 

 

Номер проекта	Денежные потоки по годам	чдд	Удельный эффект (ИДДК-1)	ВНД, %
	-1500					720,2	0,480	28,0
	-1500					705,0	0,470	29,0
	-1500					682,5	0,455	30,5
	-1500					659,9	0,440	31,0

Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 667

Ранжирование проектов по удельному эффекту позволяет получить оптимальное решение: надо реализовать проекты 1 и 2, что обеспечит в сумме ЧДЦ = 720,2 + 705,0 = 1425,2. В то же время наибольшие ВНД у проектов 3 и 4, реализация которых даст меньший эффект: 682,5 + + 659,9 = 1342,4.

В следующем примере ранжирование проектов по удельному эффекту позволяет получить лишь приближенное решение.

ПРИМЕР 15-2. Инвестор располагает средствами в объеме 760 и хочет их инвестировать в некоторые из независимых проектов, показатели которых сведены в следующую таблицу.

 

Номер проекта	Инвестиции	чдд	Удельный эффект (ИДДК-1)
			0,24
			0,2
			0,18
			0,15
			0,125

Среди этих проектов отсутствует один, очевидный — вложения на депозит. Будем считать, что норма дисконта совпадает с депозитным процентом, тогда ЧДЦ от депонирования средств будет равен нулю (эффект от "простого" хранения этих средств, естественно, отрицателен, и такой "проект" мы не рассматриваем).

Точную сумму 760 в данном примере можно инвестировать единственным способом, вложив ее в проекты 1, 3 и 5. Это даст совокупный эффект: 36 + 45 + 45 = 126. С другой стороны, реализовав проекты 1, 2 и 3 с наибольшим удельным эффектом, инвестор затратит 700, получив при этом больший эффект: 36 + 60 + 45 = 141. Здесь, кстати, хорошо виден и эффект дискретности задачи: при таком решении средства инвестора полностью не израсходованы и есть надежда получить дополнительный эффект, используя менее эффективные проекты. Верхнюю границу для максимально возможного эффекта можно найти, если на неизрасходованную часть инвестиций (760 - 700 = 60) реализовать "соответствующую часть" проекта 4. Если бы это было "физически возможно", за счет этого можно было бы получить дополнительный эффект в размере (60/320)х48 = 9. Таким образом, ни при каком отборе проектов получить совокупный эффект больше, чем 141 + 9 = 150, невозможно. Однако эта оценка завышена, и перебор вариантов показывает, что решение о реализации проектов 1, 2 и 3 оптимально.

В то же время если бы проект 4 требовал инвестиций не 320, а 310 (и давал эффект соответственно не 48, а 310x0,15 = 46,5), то реализация проектов 1, 2 и 4 оказалась бы более выгодной, обеспечивая инвестору

668 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

эффект 36 + 60 + 46,5 = 142,5. Верхняя граница для максимального совокупного эффекта при этом по-прежнему составляла бы 150. Как видим, "плата за дискретность", т. е. за "неделимость проектов", оказалась невысокой.

При практическом использовании изложенного метода необходимо учитывать, что при наличии единственного ограничения на объем первоначальных инвестиций и большом числе проектов в "инвестиционном портфеле" метод обычно оказывается достаточно точным.

По аналогии с условиями (15.1)—(15.3) могут быть формализованы и задачи отбора при наличии нескольких ограничений, однако простых приближенных критериев оптимального отбора здесь уже не получается. Например, если одни из имеющихся проектов требуют инвестиций в данном году, а другие (или те же самые) — требуют инвестиций в следующем году, причем общие объемы инвестиций для этих лет ограниченны, то ни индекс доходности, ни любой другой показатель не могут быть использованы для установления порядка отбора проектов. Соответствующая оптимизационная задача должна решаться с применением известных алгоритмов дискретного программирования (см., например, [119]) и компьютерных программ.

ПРИМЕР 15-3- Имеются три альтернативных проекта, денежные потоки, внутренние нормы доходности и интегральные эффекты (при норме дисконта Е = 0,1) по которым представлены в следующей таблице.

 

Проект	ГодО	Год1	Год 2	ГодЗ	внд	Интегральный эффект
А	-320				0,25	93,2
В		-400			0,25	49,6
С	-320	-400			0,2	164,6

Предположим, что в году 0 можно инвестировать не более 320, в году 1 — не более 400. Легко видеть, что, отбирая проекты по ВНД, мы выберем проекты А и В, что обеспечит получение интегрального эффекта 142,8. Между тем проект С удовлетворяет тем же ограничениям и, имея меньшую ВНД, обеспечит больший интегральный эффект. В то же время легко проверить, что отношение интегрального эффекта к общему объему инвестиций (как с учетом, так и без учета дисконта) по проекту С будет меньше, чем по проекту А.

Выше уже упоминалась так называемая "задача о назначениях". Приведем теперь ее формализованные постановки.

1. Пусть имеется некоторое число п работников, каждый из которых может выполнять любую из т необходимых работ, однако с разными