Другие подходы к оптимизации управления активами в условиях неопределенности

В реальных условиях инвестор не всегда выбирает политику управления активами, обеспечивающую гарантированное достижение каких-то определенных целей. Так, в условиях рассмотренной выше модели "качество" той или иной политики не обязательно оценивать минимально возможным доходом в конечный момент времени. И действительно, как отмечалось в главе 12, критерием оптимальности при выборе политики управления активами в ряде случаев целесообразно считать ожидаемый

682 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

эффект. При этом изложенная выше постановка задачи в общих чертах сохранится, только объектом максимизации будет не гарантированный, а ожидаемый капитал в начале шага Т. Расчет его размера зависит от имеющейся информации о неопределенности характеристик активов. В простейшем случае, когда о вероятностях возможных сценариев ничего не известно, ожидаемый капитал определяется по формуле Гурвица как средневзвешенное из минимально возможного (т. е. гарантированного) и максимально возможного значений К_т Если же известно, что колебания "обменных курсов" и "доходностей" активов случайны и характеризуются известными функциями распределения (а для обращающихся на рынке акций и облигаций такого рода информация обычно имеется), то критерий принимает вид математического ожидания К_т Подобные задачи рассматриваются в [72] и других работах по финансовой математике, их аналитическое решение также удается получить только в отдельных простых случаях. Обратим внимание, что норма дисконта, рассчитанная в соответствии с полученным решением, будет теперь учитывать риск, а именно риск вложений в оптимальный набор рыночных инструментов. Поэтому использовать ее при оценке эффективности конкретного инвестиционного проекта следует с осторожностью — вложения в данный проект могут быть как более, так и менее рискованными по сравнению с вложениями в "оптимальный" портфель.

15.6. ""Оптимизация временных параметров проекта

При изучении экономики всегда оказывается, что лучшее время для покупки было в прошлом году.

Афоризм из Интернета

До сих пор предполагалось, что сроки реализации оцениваемых проектов (или их отдельных этапов) заданы априорно, в исходной информации. Между тем эти сроки могут быть оптимизированы. Ниже рассматривается ряд задач такого рода. Их решение базируется на общих принципах оценки эффективности — из вариантов проекта, различающихся, например, сроками службы основных средств, следует выбрать тот, которому отвечает большее значение чистого дисконтированного дохода. Формально реализация этого принципа означает, что необходимо рассчитать несколько вариантов проекта с разными сроками службы или с разными периодами реализации проекта и выбрать из них тот, для которого ЧДЦ будет наибольшим.

"В чистом виде" такой подход реализуется лишь в редких случаях. Приведем примеры.

Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 683

ПРИМЕР 15-5- Рассматривается проект освоения нового месторождения. Расчеты показали, что по мере увеличения глубины разработки затраты на добычу полезного ископаемого растут, так что начиная с некоторой глубины дальнейшая разработка месторождения становится невыгодной. Однако прекращение проекта предусматривает осуществление некоторых значительных единовременных затрат. Поэтому, каков бы ни был срок прекращения проекта, затраты в этом году будут более высокими, чем в том случае, если бы разработка месторождения продолжалась еще один год. Здесь надо сопоставлять варианты проекта, предусматривающие завершение разработки месторождения на разной глубине (или, при фиксированном графике добычи, в разные годы).

ПРИМЕР 15-6. Проект предусматривает строительство здания и размещение в нем технологического оборудования. Срок эксплуатации зданий такого типа в данных условиях — 30 лет. Амортизационный срок службы оборудования — 10 лет, однако известно, что подобное оборудование может эксплуатироваться и 15 лет. При этом возникают два варианта проекта: 1) срок службы оборудования принимается равным 10 годам, а проект предусматривает замену оборудования новым на 11-м и 21-м годах; 2) срок службы оборудования принимается равным 15 годам, а проект предусматривает замену оборудования новым на 1б-м году. Легко видеть, что оба варианта отличаются объемом инвестиций и текущими затратами (в части, относящейся к содержанию и ремонту оборудования). Сравнение таких вариантов требует проведения "полномасштабных" расчетов эффективности по каждому из этих вариантов.

Между тем в некоторых случаях удается описать инвестиционный проект экономико-математической моделью и получить точное или приближенное аналитическое решение задачи. Оно не всегда может быть использовано непосредственно для установления тех или иных временных параметров проекта, однако позволяет выяснить, как те или иные факторы влияют на оптимальное решение. Обратим внимание, что в задачах оптимизации именно временных параметров проекта его реализацию удобно описывать в непрерывном времени, что, в частности, позволяет применять для оптимизации дифференциальное исчисление. Такой подход принят и в излагаемых ниже моделях. Непрерывная норма дисконта при этом обозначается через г.

15.6.1. Оптимизация момента вырубки деревьев

Предположим, что фирма хочет приобрести участок земли по цене К, с тем чтобы использовать его как лесную делянку. Предполагается, что:

• затраты на высаживание деревьев равны С, содержание участка не требует затрат;

684 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

• доход от продажи срубленных деревьев (продажная цена за вычетом затрат на вырубку и налогов) зависит от того, в каком возрасте Т они срублены (как из-за качества древесины, так и из-за относительного роста цен на нее), — эта зависимость выражается функцией /(7);

• после вырубки деревьев участок может быть продан по той же цене К.

В этих условиях требуется определить оптимальный момент Т рубки деревьев (более подробно эта задача рассмотрена в [15]).

Легко видеть, что ЧДЦ от данного проекта составляет: Э = -К -С + [/(?) + К]е~^гТ. Максимальное значение этого выражения, как нетрудно проверить, достигается при /'СО ^{= Г}[/(Т) + К]. Это равенство имеет простой экономический смысл:

дополнительный доход от увеличения срока рубки на малую единицу времени (предельный, или маржинальный, доход) должен совпадать с упущенной выгодой от более поздней (задержанной на ту же малую единицу времени) рубки и продажи участка.

Это прямо отвечает микроэкономическому правилу выбора оптимальных решений: предельный доход равен предельным затратам.

15.6.2. Оптимальное "откладывание" реализации проекта

В некоторых случаях в ходе оценки инвестиционного проекта, помимо двух "обычных" альтернатив — "принять проект" или "отвергнуть проект", возникает третья: "осуществить проект позднее". Приведем упрощенную модель, позволяющую получить решение подобной задачи в аналитическом виде.

Проект предусматривает строительство объекта в течение 5 лет и последующее использование его для производства некоторой продукции в течение неограниченного срока. Предположим, что инвестиционные расходы осуществляются в момент начала строительства, а технико-экономические показатели объекта (производительность, расходы сырья и т. п.) меняются в процессе его функционирования. В целях учета инфляции расчеты проводятся в дефлированных ценах. В то же время при стабильном среднем уровне цен с течением времени снижаются цены на строительно-монтажные работы и оборудование и одновременно меняются цены на производимую продукцию и потребляемые ресурсы. Поэтому расходы на производство продукции и выручка от ее продажи (в дефлированных ценах) зависят как от момента производства продукции, так и от момента начала строительства т. В этих условиях может оказаться выгодным начать реализацию проекта не в на-

Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 685

чальный момент { = 0, а в более поздний момент т, учитывая, что при такой задержке снизятся инвестиционные расходы и повысится рентабельность производства. Для такого проекта обозначим:

К(т) — инвестиционные расходы, совпадающие с первоначальной стоимостью основных фондов объекта;

В(1, т) — интенсивность поступления выручки от реализации продукции в момент I;

И((, т) — интенсивность чистых (без амортизации и налога на прибыль и на имущество) текущих издержек в момент {.

Обозначим также через пир ставки налога соответственно на прибыль и на имущество и предположим, что амортизация начисляется методом уменьшающегося остатка по непрерывной норме со (см. раздел 4.4). Тогда остаточная стоимость имущества в момент I будет равна К(т)е~°^¹~'^с'⁵\ а налогооблагаемая прибыль по объекту в интервале времени ({, { + сИ) составит {в(г,т)-И(г,т)-(ю+р)л:(т)е"^т('"^т"⁵⁾}₍#. Вычитая отсюда налог на прибыль и добавляя амортизацию, получим чистый доход по проекту за период (I, (+ сИ):

(1-п){ъ(1,х)-Щ1,х)-{ч)+р)К(х)е-⁰'^-⁵⁾}с1{+шК(т)е~^ш^-⁵⁾с11 =

= (1-п){Ц1,т)-и(1,т)}41 + [пш-(1-п)р]К(т)е-"'^и-*-⁵⁾а1.

Входящая в эту формулу разность Щ1, т) - Щ(, т) близка по своему содержанию к используемому в западной литературе показателю "переменная прибыль" (т. е. прибыль без учета затрат, не зависящих от объемов производства). Обозначим ее через П(?,т).

Отсюда, учитывая инвестиционные расходы, можно получить и выражение для чистого дисконтированного (приведенного к моменту I = 0 по непрерывной норме дисконта г) дохода проекта, который мы обозначим через Ф(т):

Ф(т)=-К(х)е-" + ]{(1-п)Щ1,т)+[пау-(1'П)р]К(х)е-^'-^ }_е-^пШ.

Т+5

Оптимальный момент начала проекта определим из условия максимума Ф(т). Для получения аналитического решения введем два дополнительных предположения:

1) цены (дефлированные) на строительно-монтажные работы и оборудование с течением времени снижаются с постоянным темпом ос, так что К(х)=К₀е~^ах;

2) объемы производства продукции и расход материальных и трудовых ресурсов с течением времени не меняются, а (дефлированные) цены на производимую продукцию и потребляемые ресур-

686 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

сы меняются так, что "переменная прибыль" с течением времени растет с постоянным темпом 0: П({,г)=П₀е^. Будем считать, что указанный темп не слишком большой и не превышает нормы дисконта. В этом случае после интегрирования получаем:

_Ф(_Т)₌ к^ _Пов-(н>х™) - к₀ к - ^П(°-⁽¹" ^п^ е~")<г<™*

Максимум этого выражения может достигаться или при т = 0, или при таком положительном т, для которого производная Ф'(т) = 0. Совершив необходимые выкладки, получаем следующее решение. Пусть

К₀' 1-п\ г + (й)

(величина 2) при этом отражает доходность инвестиций в начале реализации проекта). Тогда при 2) > 2 проект необходимо реализовать как можно раньше (т = 0), в противном случае оптимальный момент начала

, „ ]п(2/П)
проекта дается формулой т =----- —-.

Как видно из полученных формул, величина т уменьшается при повышении доходности проекта Д сокращении продолжительности строительства 5, снижении ставок налога на прибыль и на имущество.

Мы рассмотрели ситуацию, когда технико-экономические показатели создаваемого объекта известны для любого момента начала его создания. Положение усложняется, когда будущие затраты по созданию объекта и доходы от его функционирования случайны. Здесь решения и о начале, и об откладывании проекта сопряжены с риском: а вдруг завтра положение существенно улучшится и выяснится, что лучше бьшо бы начать проект позднее, или вдруг благоприятный момент будет упущен? Теоретическому рассмотрению соответствующих проблем и выявлению возникающих в этой ситуации неожиданных эффектов посвящены работы [4, 146, 164].