Простейшая модель оптимального управления активами

Рассматривается период, состоящий из Т шагов. Пусть в этом периоде на финансовом рынке обращается некоторое количество финансовых активов (акций, облигаций, депозитов). Активом с номером О будем считать просто денежные средства. Они могут либо просто храниться, либо обмениваться на другие активы. Остальные активы могут покупаться и продаваться (т. е. обмениваться на деньги), а также обмениваться на другие активы. При этом в общем случае цена продажи актива не совпадает с ценой его покупки и, более того, обмен одного актива на другой может быть сопряжен с затратами (примером являются потери от преждевременного закрытия депозита или налог на покупку наличной иностранной валюты). С другой стороны, такие активы, как акции, облигации или депозиты, "сами по себе" приносят доходы, правда, не на каждом шаге. Будем считать, что такие доходы выплачиваются в деньгах, а не в других активах. В этой связи состояние финансового рынка на некотором шаге I может быть охарактеризовано следующими показателями:

^стпги ~ "обменный курс" т-го актива по отношению к я-му т. е. количество п-х активов, которые можно получить в обмен на единицу т-го¹; очевидно, что с_пп1 = 1;

/м — "доходность" п-то актива, т. е. доход, приносимый на данном шаге единицей этого актива (иногда такой доход может быть отрицательным, например с "обменом" наличных денег на наличные, так как с их хранением сопряжены только расходы).

Рассмотрим теперь фирму, вкладывающую свой средства в обращающиеся на рынке активы. Ее состояние в начале каждого?-го шага можно охарактеризовать набором величин х_п1, отражающих количество

¹ В одном из докладов Ю. М. Кабанова обращалось внимание на целесообразность учета потерь, связанных с продажей или покупкой акций. Введение в рассмотрение "обменных курсов" является дальнейшим развитием идеи Ю. М. Кабанова.

678 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

каждого вида располагаемых ею активов. Фирма может изменить свой инвестиционный портфель, обменяв одни активы на другие. Задача состоит в том, чтобы выбрать такую политику управления активами, при которой стоимость ее портфеля к концу периода стала максимальной (обратите внимание, что здесь мы снова возвращаемся к критерию будущего дохода РУ, рассмотренного с несколько иных позиций в разделе 14.2). Эта задача может быть формализована следующим образом.

Как легко видеть, политика управления активами фирмы полностью определяется совокупностью величин 2_пт1, выражающих количество п-х активов, которые фирма на данном шаге обменивает на т-е (величины г_пп1 при этом отражают количество п-х активов, которые ни на что не обмениваются или, точнее, обмениваются "сами на себя"). Эти величины, очевидно, неотрицательны и удовлетворяют балансовым соотношениям:

2^^гпгм ^{= х}т. (15.6)

После обменов состояние фирмы изменится и количество п-х активов у нее станет равным 2^с_тп1х_пт1. Кроме того, в конце шага она ПОЛу-чит определенные доходы от каждой единицы этих активов. Поэтому состояние фирмы к началу следующего шага будет характеризоваться величинами

^■«+1 ⁼/^^стп1^гтп1 \^п>^)': ^х01+1 ~ 2^^С «О I^гтО I + /^1п1 \2а^Стп1^ггтг1 [• (15.7)

Мы не оговорили еще начального состояния фирмы. Примем пока, что в начале шага 0 фирма располагала только начальным капиталом К₀ в форме денег:

*оо=^о; *«о=0 (">0). (15.8)

Предположим теперь, что в начале шага Г фирма прекращает указанные операции и "конвертирует" все активы в деньги. В этом случае ее капитал составит

К_Т=%с_п0Тх_пТ. (15.9)

п

Поэтому оптимальной политике управления активами отвечает набор неотрицательных величин х_ш и х_пт1, удовлетворяющих соотношениям (15.6)—(15.8) и максимизирующих критерий (15.9). Реализация такой политики позволяет превратить за Г шагов капитал К₀в К_Т, так что 1 руб. затрат в начале шага 0 при оптимальном вложении его в до-

Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 6Т9

ступные на финансовом рынке активы обеспечивает доход (К_т/К^). Таким же должен быть и коэффициент приведения эффектов шага 0 к шагу Т. Поэтому соответствующая норма дисконта будет равна

Е =

К_т

-1. (15.10)

V "У

Выясним, какие именно параметры финансового рынка и как влияют на эту норму.

Напомним, что ранее мы условились разделять влияние инфляции и неравноценности разновременных эффектов и, следовательно, применять дисконтирование только к дефлированным затратам и результатам. В то же время исходными для рассмотренной модели были прогнозные цены финансовых инструментов, так что величина полученной нормы зависит от темпов инфляции. Этот недостаток можно устранить путем дефлирования прогнозных обменных курсов и доходностей.

Заметим теперь, что получаемая норма будет, вообще говоря, зависеть от длительности расчетного периода Т (чем быстрее хочет фирма "превратить деньги в деньги", тем меньше будет доходность соответствующих операций). Далее, отношение К₀/К_т представляет собой коэффициент а_т приведения (дисконтирования) эффектов, достигаемых на шаге Т, к началу расчетного периода. Решая рассмотренную задачу для разных Т, можно найти зависимость этого коэффициента от времени. Однако она совсем не обязательно будет выражаться экспоненциальной зависимостью типа (1 + Е)~^т. Поэтому норма, рассчитанная по формуле (15.10), будет средней для расчетного периода. В то же время норма, относящаяся к определенному?-му шагу, может быть оценена с

а

помощью соотношения е₍=-^—-\. Как именно она будет меняться,

■/+1

зависит от того, как будет меняться конъюнктура рынка, будут ли появляться на нем новые, более доходные активы.

Постараемся теперь сделать предположения модели более реалистичными. Во-первых, некоторые активы не всегда можно обменять на другие (например, возможны договора, не допускающие закрытия депозитов ранее определенного срока или изъятия средств, вложенных в определенные инвестиционные проекты). Это обстоятельство можно учесть, приняв соответствующие обменные курсы бесконечно большими. Во-вторых, мы приняли, что в начале периода фирма располагала только деньгами. Однако это далеко от реальности — обычно капитал фирмы всегда распределен между разными активами. Это можно учесть, задав вместо условий (15.8) начальный вектор {х_п0}. При этом начальный капитал в денежной форме может быть оценен исходя из стоимо-

680 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

сти начальных активов: К₀ = ^с„₀₀лг„₀. Однако если покупка и продажа

п

каких-либо активов сопряжены с затратами (т. е. с_пт1 ф 1/с_тп(), то полученная в результате решения норма дисконта окажется зависящей и от начальной структуры капитала фирмы. Это еще раз подтверждает высказанное в главе 6 положение о зависимости нормы дисконта не только от объективных, общерыночных, но и от субъективных факторов (к которым в данном случае относится исходная информация о финансовом состоянии инвестора).

Данная модель позволяет учесть не только финансовые операции (обмен одних активов на другие), но и реальные инвестиции инвестора, его участие в (новых или ранее начатых) инвестиционных проектах. Действительно, вкладывая средства в проект, инвестор получает взамен некоторые реальные активы (здания, машины, запасы товаров и т. д.). Если такие активы можно продать или обменять, то они ничем не отличаются от учтенных в модели финансовых активов. Если же этого сделать нельзя (например, нельзя продать недостроенное здание), то соответствующий "обменный курс" должен считаться нулевым. При этом на каждом шаге инвестор может либо прервать проект ("продав" актив по нулевой цене), либо продолжать его, получая доходы или осуществляя расходы, выражаемые соответствующими величинами^, а изложенная модель позволяет инвестору выбрать на каждом шаге лучший из этих вариантов поведения.

Практическое применение данного метода (с теми или иными модификациями) действительно позволит оценить норму дисконта, однако рассматривать его как точный инструмент для такой оценки нельзя по двум причинам. Прежде всего этот метод требует исходной информации обо всех имеющихся на рынке финансовых активах. Практически это возможно только на весьма ограниченную перспективу (не более 1—2 лет), что позволяет оценить "краткосрочную", но никак не "долгосрочную" норму дисконта. Не менее важно и то, что "обменные курсы" и "доходности" активов все время колеблются и их значения не могут рассматриваться как детерминированные. Это может быть учтено в более сложных моделях, описываемых ниже.