Оптимизация сроков службы основных средств

Рассмотрим некоторый инвестиционный проект, предполагающий создание и последующее использование некоторых основных средств, например зданий или оборудования. Обычно проект предполагается завершающимся при окончании срока службы этих основных средств. Однако как должны быть установлены эти сроки службы? Наиболее простой ответ на этот вопрос апеллирует к утвержденным нормам

Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 687

амортизации. Однако такой ответ неверен в принципе, причем по многим причинам:

• нормы амортизации установлены государством и, стало быть, отвечают интересам государства. Интересы фирмы в общем случае иные и сроки, рациональные с точки зрения государства, могут быть нерациональными с точки зрения фирмы;

• устанавливая нормы амортизации, государство, как правило, не исходит из принципов рационального экономического поведения. Эти нормы в общем случае не имеют под собой достаточного экономического обоснования, и потому нельзя утверждать, что они являются оптимальными с народнохозяйственных позиций;

• нормы амортизации носят усредненный характер и обычно не учитывают особенностей эксплуатации основных средств. В данных конкретных условиях эксплуатации рациональные сроки службы могут отличаться от усредненных;

• тот факт, что основные средства полностью амортизировались, не означает, что они должны быть полностью выведены из эксплуатации. Во многих случаях оборудование, казалось бы, подлежащее списанию, может быть эффективно использовано (так, списанные паровозы используются железными дорогами при расчистке снежных заносов или как источники теплоснабжения).

В этой связи вопрос установления оптимальных сроков службы основных средств требует самостоятельного рассмотрения. Один из возможных локальных подходов к решению такой задачи изложен ниже. Введем следующие допущения:

• основным результатом проекта является продукция, производимая с применением данного оборудования. Производительность оборудования (интенсивность производства, см. раздел 5.6) по мере его физического износа снижается и в момент I составляет У(Г). Цена единицы производимой продукции с течением времени также меняется и в момент I составляет Ц(0- Таким образом, доход от выполнения работ за малый отрезок времени сИ составит Ц(0)У(0)<#;

• производство продукции требует осуществления разного рода текущих затрат, включая налоги. Назовем издержками эксплуатации общую сумму таких затрат, кроме амортизации и налога на прибыль. Интенсивность таких издержек (объем издержек, осуществляемых в малую единицу времени, предельные издержки, см. раздел 5.6) в момент I обозначим через И(Г) — предполагается, что эта величина с течением времени возрастает, хотя бы в связи с увеличением расходов на ремонт;

688 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

• при завершении эксплуатации оборудования оно должно быть демонтировано и сдано в металлолом. Доход от продажи лома за вычетом затрат на демонтаж и соответствующего налога на прибыль — ликвидационное сальдо оборудования — предполагается оцененным и равным Л¹;

• завершение эксплуатации оборудования одновременно является и завершением реализации проекта.

Предположим, что проект предусматривает прекращение эксплуатации оборудования в некоторый момент времени 0. Если срок службы оборудования будет увеличен на малую единицу времени Ы1, то денежные потоки изменятся:

• поступит выручка Ц(в)У(в)еИ от продажи дополнительной продукции;

• будут осуществлены эксплуатационные издержки И(0)<#;

• будет начислена амортизация в размере М1 (при этом величина А будет равна годовой сумме амортизации, если срок службы меньше амортизационного, и нулю — в противном случае);

• тем самым налогооблагаемая прибыль составит Ц(в)У(в)сИ -

- {И(6)# + АеН);

• будет уплачен налог на прибыль по установленной ставке я; т. е. в размере я{Ц(0)У(0) - И(0) - А) сИ-

• чистый доход от операционной деятельности составит (Ц(0)У(0) -

- И(0)} Л - и{Ц(0)У(0) - И(0) -А)Л= {(1 - я)[Ц(0)У(0) - И(0)] + пА] ф,

• доход в виде ликвидационного сальдо будет получен не в момент
времени 0, а позднее — через время Ы1.

В результате ЧДД проекта увеличится на величину:

е"^{Ц(0)У (0)- И(е)- п[ц(в)У (в)- И(в)- А^Л - М*> + Ле~^г^^л) =

*= е"* {(1 - пЩв)У(в)- И(в)]+ пА - г1\}Ш.

Если величина, стоящая здесь в фигурных скобках, положительна, то с увеличением срока службы ЧДД растет и, стало быть, срок службы 0 неоптимален. Наоборот, если она отрицательна, то оптимальным будет уменьшение, а не увеличение срока службы (т. е. отрицательное сИ). Таким образом, оптимальному сроку службы отвечает нулевое значение указанного выражения. Поэтому (1-п%и,(в)У(в)-К(в)]+пА-гЯ = 0. Это означает, что в конце проекта чистый доход от операционной деятель-

¹ Обычно эта величина положительна и составляет 4—10% стоимости оборудования. Однако в отдельных ситуациях ликвидация оборудования может потребовать значительных затрат, и тогда величина Л становится отрицательной.

Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 689

ности за последнюю единицу времени должен равняться гЛ, а не нулю, как многие уверены (в частности, для проектов разработки месторождений, где ликвидационное сальдо отрицательно и довольно большое по величине, чистый доход в конце проекта тоже должен быть отрицательным). С другой стороны, из полученной формулы находим:

пА-гП

щеже) = и(е) - ^з— (15.П)

Таким образом, при оптимальном сроке службы цена производимой за малую единицу времени сИ продукции должна включать чистые (без амортизации) эксплуатационные издержки за вычетом некоторой составляющей, зависящей от ставки налога на прибыль, нормы дисконта, размеров амортизации (что определяется действующей системой амортизации) и от ликвидационного сальдо оборудования. Поскольку с течением времени интенсивность эксплуатационных издержек (предельные эксплуатационные издержки) растет, а производительность падает, отсюда вытекает ряд выводов качественного характера:

• увеличение ликвидационного сальдо, ставки налога на прибыль и нормы дисконта приводит к некоторому (обычно небольшому) сокращению оптимальных сроков службы оборудования;

• рост цен на производимую продукцию способствует увеличению оптимальных сроков службы оборудования;

• если характер инфляции таков, что затраты по эксплуатации оборудования растут быстрее, чем цена на производимую продукцию, то оптимальный срок службы оборудования сокращается.

Разумеется, указанные выводы справедливы, если зависимости Ц(9), У(9) и И(9) "гладкие". В случае, когда такие зависимости имеют разрывы (скачки), положение усложняется, поскольку уравнение (15.11) может иметь несколько решений. Однако сформулированные выводы остаются в силе, если рассматривать их только как определяющие тенденции изменения, но не конкретные значения сроков службы.

Выше предполагалось, что в момент прекращения эксплуатации оборудования прекращается и реализация проекта. Это достаточно сильное и не всегда реальное предположение. Ситуация, когда в конце оптимального срока службы оборудование демонтируется и заменяется новым, рассматривается в следующем разделе.

690 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

15.7. Оптимизация последовательности замещений оборудования

Если новый станок дешевле, кампания будет настаивать на ремонте старого.

Второй закон Ярука

Следствие: Если дешевле отремонтировать старый станок, компания будет настаивать на покупке самой последней модели.

Рассмотрим оборудование некоторого типа, предназначенное для выполнения определенного вида работ, — различные единицы этого оборудования будем называть машинами. Исключим также влияние инфляции, предполагая, что все затратные показатели измерены в деф-лированных ценах.

Введем основные характеристики машины. Предположим прежде всего, что машина имеет постоянную производительность на протяжении всего срока своей эксплуатации. Однако в этом периоде меняются эксплуатационные издержки, имея общую тенденцию к росту. В этой связи введем в рассмотрение показатель интенсивности чистых эксплуатационных издержек (осуществляемые в малую единицу времени текущие затраты и налоги, связанные с эксплуатацией оборудования, без амортизации), связав его с возрастом машины в годах. Значение указанного показателя для машины возраста { (отсчитанного от начала ее эксплуатации) обозначим через С(1)¹. Это означает, что в малом интервале времени (I, I + М) размер соответствующих затрат будет С(1)А1. С функционированием машины связаны и два вида единовременных затрат — затраты на приобретение (К) и ликвидационное сальдо. Последний показатель возникает в момент списания машины, т. е. в конце срока службы, и отражает прибыль (после уплаты налога) от передачи машины в сферу вторичного использования. Очевидно, что ликвидационное сальдо зависит от того, в каком состоянии находилась машина в момент выбытия, а стало быть, от ее возраста в момент списания (X). Обозначим это сальдо через Ь(Т).

¹ С исчислением данного показателя связан ряд "технических" проблем. В практических расчетах опираются, разумеется, на среднегодовые или среднеквартальные данные по отдельным машинам нужного возраста в машинном парке анализируемых фирм. При этом отдельные виды затрат, такие, как расходы на ремонт, налог на имущество или заработная плата машинистов, определяются "прямым счетом", другие (например, расходы на топливо и накладные расходы) — распределяются тем или иным способом между разными машинами, так что в конечном счете получаются данные об общей величине чистых эксплуатационных издержек Усредняя данные по разным машинам одного возраста и изображая их на графике, можно представить искомый показатель в виде непрерывной зависимости. Отметим и то обстоятельство, что по некоторым видам машин показатели правильнее связывать не с возрастом, а с наработкой или объемом выполненных работ в тех или иных измерителях (например, километрах пробега). В таких ситуациях излагаемая далее модель "не работает".

Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 691

Если перед фирмой стоит задача выполнять соответствующие работы постоянно, то она может по своему усмотрению выбрать момент списания машины с одновременной ее заменой. Следуя [69], примем, что каждая выбывающая машина заменяется точно такой же. Таким образом возникает бесконечная цепь последовательных замещений одного оборудования другим, более "молодым" (мы не используем термин "новым", который относится к технически более совершенным видам оборудования; проблемы, связанные с учетом факторов технологического прогресса, рассматриваются ниже). Отметим, что, поскольку производительность всех машин одна и та же, изменения моментов замены сказываются только на затратах фирмы, но не на объеме выполняемых ею работ.

Цепь последовательных замещений, начинающаяся в момент начала проекта (Г = 0), однозначно определяется сроками службы этих единиц, которые мы обозначим через Т=Т_г,Т₂... Какими бы ни были эти величины, такая цепь всегда обеспечивает получение одних и тех же результатов в каждом году (бесконечного) расчетного периода. Однако затраты, связанные с реализацией разных цепей, будут разными, в связи с чем задача оптимизации сроков службы превращается в задачу выбора оптимальной цепи последовательных замещений по критерию минимума интегральных дисконтированных затрат З_инГ Попробуем формализовать этот критерий.

Моменты приобретения 1-й, 2-й,..., т-й из последовательно вводимых в эксплуатацию машин обозначим соответственно через х_1; т₂,..., т_т. Они связаны со сроками службы машин очевидными соотношениями: х₁ = 0; х_т = Т, + Т_т__х.

Интегральные дисконтированные затраты 2_Х, связанные с эксплуатацией первой единицы оборудования до момента ее списания Т = Т_х, даются формулой

т

о

Для второй заменяющей единицы оборудования формула будет аналогичной с той лишь разницей, что она начнет функционировать не в момент 0, а в момент Т = Т_х и срок ее службы завершится в момент 7^ + Т₂. Казалось бы, надо написать эту и аналогичные формулы для последующих единиц оборудования, потом все это просуммировать и решать оптимизационную задачу с бесконечным числом неизвестных. Однако экономические соображения позволяют ничего этого не делать.

Действительно, рассмотрим положение фирмы в момент времени Т=Т_у Кроме календарной даты, оно ничем не отличается от ее положения в момент времени 0. По-прежнему перед фирмой стоит задача обеспечить непрерывное выполнение некоторой работы с постоянной ин-

692 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

тенсивностью, и в этих целях она должна приобрести то же оборудование и далее эксплуатировать его, оптимально выбирая моменты замены. Поэтому если в момент 0 она приняла решение заменить оборудование через время Т, то и в момент Т она должна принять то же самое решение, так что вторая единица оборудования будет иметь тот же оптимальный срок службы Т, что и первая, и т. д. Но тогда затраты, связанные с любой единицей оборудования, дисконтированные к началу ее эксплуатации, тоже будут равны 7._х, а дисконтированные затраты, связанные со всей цепью последующих замещений, составят:

г К + 1е-^пС(1)а1-1(Т)е-^гТ

Х_ш=2_х+2_хе-^гТ +2_хе~^2гТ ₊... = -А^ =------------ °---- __^------------.(15.12)

Оптимальный срок службы Т теперь определится путем минимизации полученного выражения (какой-либо аналитической формулы здесь написать нельзя).

Перейдем теперь к более сложной ситуации, когда каждая следующая единица оборудования не только "моложе" заменяемой, но и отличается по технико-экономическим параметрам, хотя имеет ту же производительность. Обозначим срок службы т-й единицы оборудования через Т_т, момент ее приобретения — через х_т, затраты на приобретение и интенсивность затрат по ней через время I после начала ее эксплуатации — соответственно через К_т и С_т(1). Тогда выражение для критериального показателя интегральных дисконтированных затрат примет вид:

3 ₌ V _е-«»

°ИНТ 7,^к

т>\

К_т+ \е-^пС_т{1)а1^1_т{Т_т)е'^гТ-

(15.13)

В полученной задаче бесконечное число неизвестных, хотя практически нам нужно только одно или несколько первых. Разумеется, имеется простой способ "снижения размерности": достаточно принять, что "технический прогресс после, например, третьей (или десятой, смотря с какой точностью вы хотите решить задачу) замены прекращается" и далее все единицы оборудования оказываются одинаковыми. Тогда "хвосты" в приведенной сумме вычисляются аналитически, как это было сделано выше, и мы приходим к задаче с конечным числом неизвестных. Подобные расчеты практически проводились, например, при оптимизации сроков службы башенных кранов.

Существенным в рассмотренных выше постановках было предположение о тождественности заменяемого и заменяющего оборудования по производительности. На самом деле такой тождественности нет,

Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 693

поскольку производительность многих видов оборудования меняется в процессе эксплуатации. Для оборудования, приходящего на смену, эта динамика может быть иной, например из-за несовпадения межремонтных циклов или показателей надежности. При этом обеспечить тождественность результатов никаким подбором объемов приобретения машин не удается (подробнее см. [103]). В этих условиях рассмотренные выше математические модели особой практической ценности не имеют, хотя они достаточно наглядны и позволяют выявить влияние различных факторов на оптимальные сроки службы оборудования. Другая модель, позволяющая решать значительно более широкий круг задач, связанных с обновлением оборудования, приводится ниже.

15.8. ""Оптимизация воспроизводства машинного парка

Законы вводят, чтобы причинить людям неприятности, и чем больше от них неприятностей, тем дольше они сохраняются в своде законодательных уложений.

Финли Питер Данн

Описание модели

В отличие от предыдущего раздела мы приводим дискретный, а не непрерывный вариант модели, обозначая норму дисконта соответственно через Е. Важно отметить, что в модели сравниваются варианты с тождественными результатами, так что критерием является минимум затрат.

Объектом рассмотрения мы считаем фирму, осуществляющую в течение неограниченного расчетного периода (начинающегося в конце года 0) выполнение определенного вида работ с помощью машин соответствующего назначения, которые могут быть разных марок, моделей или модификаций. Более того, даже машины одной и той же марки, выпускаемые в разные годы, могут по тем или иным причинам иметь разные технико-экономические показатели (например, разную цену или разную стоимость какого-то часто заменяемого узла). Ввиду этого классификация машин только по техническим параметрам представляется несколько узкой, и мы введем понятие "серия", отнеся в одну серию машины, выпущенные в одном и том же году и имеющие одни и те же

694 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

технико-экономические показатели. Тем самым, с точки зрения фирмы-пользователя, машины одной серии неразличимы.

Для выполнения рассматриваемых работ фирма располагает определенным машинным парком фее1), состоящим из машин разных серий. Структура этого парка меняется по мере выбытия одних машин и поступления других. Будем условно считать, что:

• списание одних машин и приобретение других производятся в конце года;

• фирма не приобретает подержанных машин, так что машины "будущих" серий приобретаются только в году их выпуска;

• если в каком-то году в парке оказалось машин больше, чем нужно для выполнения заданного объема работ, и фирма по каким-то причинам не желает их списывать, то часть машин простаивает, однако затраты по работающим и простаивающим машинам и их физический износ одинаковы. Это допущение не очень реалистично, но отказ от него сильно усложнит модель. Некоторым оправданием данного допущения является то обстоятельство, что ситуации, когда фирма не будет списывать лишние машины, относительно редки (см. ниже).

Вместо того чтобы оптимизировать только сроки службы машин разных серий, будем оптимизировать сразу весь процесс воспроизводства машинного парка. Исходными в такой задаче будут машинный парк, которым располагает фирма в начале (бесконечного) расчетного периода, т. е. в конце года 0, и динамика объемов работ, подлежащих выполнению, начиная с года 1. Показатели, относящиеся к концу года 0, будем рассматривать как заданные величины (исходную информацию). Серии будем нумеровать в порядке возрастания годов выпуска. При этом серии, выпущенные до начала расчетного периода, получат наименьшие номера 1, 2,...,/.

Введем следующие обозначения:

V, — объем работ, подлежащий выполнению в году I расчетного периода (Г > 1);

Т_в — год начала эксплуатации машин 5-й серии (для серий, находящихся в эксплуатации в конце года О, Т₅ < 0). Принимается, что эти машины выпускаются в предшествующем году Т₅ - 1 и закупаются в конце этого года;

К₅ — затраты на приобретение и доставку одной машины 5-й серии;

Р_а — производительность одной машины 5-й серии в году I;

С_а — чистые (без амортизации) текущие затраты по эксплуатации и ремонту одной машины 5-й серии в году Г, включая налоги (далее — чистые текущие затраты);

Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 695

Ь₅₁ — ликвидационное сальдо одной машины 5-й серии в году I (при условии, что такую машину в этом году будут списывать); Ы₅₍ — количество машин 5-й серии на начало года I.

Чтобы не возникало лишних вопросов, отметим сразу же, что показатели Р₅₁ и другие с теми же индексами имеют смысл только при I >Т В противном случае они по умолчанию принимаются равными нулю.

Отметим также, что производительность и чистые текущие затраты по машине обычно меняются в процессе эксплуатации, причем неравномерно (в период освоения эти показатели улучшаются, затем стабилизируются, потом начинают прогрессивно ухудшаться, затем, после проведения среднего или капитального ремонта, скачком улучшаются и потом опять начинают прогрессивно ухудшаться и т. д.). Конкретные данные по отдельным видам машин приводятся в [36,42,47, 52, 112, 114, 116] и других работах.

Политика фирмы в части воспроизводства машинного парка однозначно описывается набором величин Л^. Действительно:

• исходное состояние парка, т. е. распределение по сериям имеющихся в начале расчетного периода машин, описывается величинами Л/^;

• изменение марочно-возрастной структуры машинного парка определяется объемами закупок и списания машин в годах 0, 1, 2... (точнее, в конце этих лет);

• при 5 >/ объем закупки машин 5-й серии (в году 7^-1) равен Л/^-;

• объем списания машин 5-й серии в конце года I определяется как разность между количествами этих машин на начало этого и начало следующего года: N^1 - Л^,.

В этих предположениях политика воспроизводства машинного парка однозначно описывается набором величин Л^, удовлетворяющих следующим ограничениям:

ЛГ_Л>0, N#=0 при 1<Т₅; (15.14)

^М₅₁Р₈₁ > V, для всех 1>\- (15.15)

^мзм ^^мз1 ДДЯ всех I> О и 1>Т₅. (15.16)

Первое ограничение очевидно: количество машин должно быть неотрицательным, причем в парке не может быть машин, которые еще не произведены.

Второе ограничение отражает то обстоятельство, что суммарной производительности всех машин, имеющихся в парке в любом (начи-

696 Часть II. Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

ная с первого) году расчетного периода, достаточно для выполнения намеченного объема работ.

Наконец, третье ограничение отражает то обстоятельство, что, попав в парк, машины могут только выбывать из него, но не попадать туда снова (выбывшие машины не возвращаются, фирма не закупает подержанные машины).

Поскольку все политики воспроизводства обеспечивают достижение одного и того же результата, критерием оптимальности такой политики будет минимум интегральных дисконтированных единовременных и текущих затрат на ее реализацию-.

К^„

,?_у(1 + ^-^{1 +}

 

у 4Дл^-7У₅,₊₁)

гшп. (15.17)

Входящие сюда три суммы отражают соответственно затраты на приобретение новых машин, чистые текущие затраты по находящимся в парке машинам и ликвидационное сальдо выбывающих (в том числе в конце года 0), машин.

В "чистом виде" это задача линейного программирования с бесконечным числом неизвестных, к тому же, по смыслу задачи, целочисленных, что делает ее практически нерешаемой. Поэтому целочислен-ностью приходится пренебрегать, что допустимо, если машинный парк достаточно велик, т. е. фирма крупная, а подлежащий выполнению объем работ велик. Некоторые методы "снижения размерности" в этой задаче (т. е. превращения ее в конечномерную) изложены в [64, 103, 112].

Укажем лишь некоторые обстоятельства, которые могут выявиться при ее решении.

1. У машин одной серии могут оказаться разные сроки службы (одни машины будут выбывать раньше, другие — позже), что, кстати, мы наблюдаем и на практике.

2. В каждом году могут одновременно выбывать машины разных серий и приобретаться машины разных серий. Разделить, какие машины приобретены "на возмещение выбывающих", а какие — "на прирост мощности парка", и тем более определить, какими машинами заменены выбывшие машины такой-то серии, при этом оказывается невозможным.

3. В случае если объем работ по годам колеблется, т. е. вначале растет, потом снижается, потом снова растет, может оказаться эффективным не списывать "лишние" машины в году снижения объемов, зарезервировав их для выполнения работ в последующие годы, когда потребность в машинах возрастет.

Глава 15. Некоторые задачи оптимизации параметров инвестиционных проектов 697

4. Улучшение технико-экономических параметров машин более поздних серий сокращает сроки службы и увеличивает объемы выбытия машин предыдущих серий.

С оптимизацией воспроизводства машинного парка связана еще одна проблема. Машины периодически должны ремонтироваться, так что оптимизация сроков службы должна осуществляться в увязке с оптимизацией ремонтной политики (включая состав отдельных видов ремонтов и периодичность их проведения). Один из путей решения этой задачи базируется на описанной выше модели. Разобьем каждую из учитываемых серий на "подсерии", различающиеся графиком проведения ремонтов, а следовательно, динамикой производительности и эксплуатационных издержек (включающих и затраты на ремонт). Тогда решение задачи покажет не только объемы приобретения машин разных серий, но и распределение их по "подсериям". Тем самым будет оптимизирована и периодичность проведения ремонтов. Подобные расчеты, выполненные для отдельных видов строительных машин и грузовых автомобилей (периодичность ремонтов здесь может варьировать в не слишком больших пределах), подтвердили естественное для механиков (но не для экономистов) представление, что оптимальные сроки службы должны составлять целое число межремонтных циклов. Поэтому если первый межремонтный пробег автомобиля составляет 250 тыс. км, а последующие — 200 тыс. км, то оптимальный срок службы должен отвечать пробегу, примерно равному 450 или 650 тыс. км, но никак не 300 или 550 тыс. км. Изложенный прием позволяет также учесть экономическую целесообразность прекращения ремонтного обслуживания машины за некоторое время до списания и перевода ее в режим работы "на износ" (с этим связан эффект Буато, рассмотренный в [69, гл. II]).

Таким образом, нормативы планово-предупредительных ремонтов, нормативы периодичности технических обслуживании и ремонтов не являются чисто техническими и должны оптимизироваться по экономическим критериям вместе с оптимизацией сроков службы машин и политики воспроизводства машинного парка в целом.

15.8.2. ***Двойственная модель. Критерий приближенной оптимизации

Важную информацию о характере решения рассматриваемой задачи линейного программирования можно получить, анализируя так называемую двойственную задачу. Неизвестными в этой задаче будут двойственные (по терминологии Л.В. Канторовича — объективно обусловленные) оценки ограничений (15.15) и (15.16). В отличие от учебников,

698 Часть II Методические проблемы практической оценки инвестиционных проектов

где каждая из таких оценок обозначается какой-то одной буквой, нам будет удобно ввести для них более сложные обозначения, отразив, в частности, и обусловленное неравноценностью разновременных денежных потоков падение этих оценок во времени. А именно, обозначим

II К — 1

оценки указанных ограничений соответственно через _у и ~- —-^-.

Тогда неизвестными в двойственной задаче будут Ц, (для I > 1) и К_а (для

I > 0). Последние переменные определены, естественно, только для машин, вступивших в эксплуатацию, т. е. для I > Т_а Для приобретаемых машин (I = Т₅ - 1) эти величины не определены, и мы примем, что в этом случае они совпадают с затратами К₃ на приобретение и доставку. Оказывается, что так определенные переменные являются решениями следующей оптимизационной задачи:

Ц,^0 (г>1);

К₅₁>Ь₃₁ (г>Г₅₎ г>0); (15.18)

Ц,Р_Л <С_л+(**-!-^) + ^_! (г>1)_; (15.19)

ад

Хтг^у-Х*Л=>тах. (15.20)

Эти соотношения позволяют трактовать введенные переменные как своеобразные расчетные цены (нечто вроде "теневой" цены, только на уровне фирмы). А именно: Ц, имеет смысл расчетной цены единицы производимой в соответствующем году продукции, а К_$1 — расчетной цены одной находящейся в эксплуатации машины серии 5 на конец года I (назовем ее расчетной остаточной стоимостью машины). При этом приведенные соотношения допускают следующую интерпретацию:

1) расчетная остаточная стоимость машины в году приобретения совпадает с затратами на ее приобретение и доставку;

2) расчетная остаточная стоимость машины на начало любого года не меньше ее ликвидационного сальдо;

3) расчетная цена производимой в любом году продукции неотрицательна;

4) цена продукции, произведенной с помощью какой-то машины в некотором году, не превосходит суммы трех составляющих: чистых текущих издержек, износа (падения расчетной остаточной стоимости машины за год) и упущенной выгоды от альтернативного использования машины в этом году, исчисляемой по норме дисконта Е от остаточной стоимости машины на конец предыдущего года.