Глава 12. Расчеты ожидаемой эффективности проекта

ниеМ, а дисперсия будет в два раза меньше. Аналогично, тот же ожидаемый эффект Э будет и у проекта А₂ = А₁оА₁, которому отвечает случайная величина с тем же математическим ожиданием Ми дисперсией Б/4, и т.д. Используя закон больших чисел,можно доказать, что распределения вероятностей эффекта проектовА _;, Л_2г. стремятся к вырожденному распределению 8м сосредоточенному в точке М. Поэтому в силу аксиомы непрерывности распределению 8_М отвечает тот же ожидаемый эффект Э. Однако у такого распределения эффект уже не случайный, а детерминированный, и в силу аксиомы согласованности он равен М. Поэтому Э=М, так что ожидаемый эффект проекта А совпадает с математическим ожиданием случайного эффекта этого проекта, ш

Тот же критерий математического ожидания получается, если вместо инвариантности к усреднению потребовать выполнения двух других аксиом.

Однородность. При пропорциональном изменении всех возможных эффектов проекта ожидаемый эффект изменяется во столько же раз.

Аддитивность. Ожидаемый эффект от одновременной реализации независимых проектов равен сумме ожидаемых эффектов этих проектов (ср. п. 2.1.2).

ПРИМЕР 12.4. Пусть имеются всего два сценария реализации проекта — нормальный, в котором эффект проекта равен 100, и аварийный, в котором он оказывается равным -20. Если вероятность нормального сценария равна 0,8, а аварийного, следовательно, 1 - 0,8 = 0,2, то ожидаемый эффект проекта составит 0,8x100 - 0,2x20 = 76.

ПРИМЕР 12.5. Затраты на приобретение машины составляют 50, с ее помощью ежегодно производится продукция стоимостью 62, при этом годовые затраты по эксплуатации машины (без амортизации, но с учетом налогов) составляют 47. Кроме того, один раз в 3 года проводится капитальный ремонт машины стоимостью 21. Срок службы машины — случайный. Он может составлять 2, 3 или 4 межремонтных цикла (6, 9 или 12 лет) с вероятностями соответственно 0,3; 0,4 и 0,3. Норма дисконта составляет 0,09-

Определим теперь интегральные эффекты приобретения машины (Э^) по трем возможным сценариям. При этом предполагаются равномерное поступление доходов и осуществление текущих расходов в каждом году, затраты на приобретение и ремонт относятся к началу соответствующего года. Приведение затрат и поступлений производится к моменту приобретения машины. Учитывая, что равномерным денежным потокам в соответствии с формулой (7.4) отвечает коэффициент распределения 0,958, а в году, когда ремонт не производится, сальдо денежных поступлений равно 62 - 47 = 15, для сценария 1 имеем

Э,.-50 ₊ 15х0,958₊^15><0'⁹⁵^^15х0'⁹₂⁵^^15х0'⁹⁵^²Ч^15х0-⁹₄⁵^^15х0?⁸^4,0б.
1,09 1,09² 1,09³ 1,09⁴ 1,09⁵

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

Для сценария 2 к этому выражению добавляются дополнительные затраты на второй ремонт и доходы в последующем межремонтном цикле:

„ „15x0,958-21 15x0,958 15x0,958,.,_

1,09^б 1,09⁷ 1,09⁸

„ _ 15x0,958-21 15x0,958 15x0,958 ₉,__

Аналогично Э,-Э, +-------------- ₅------ +--------- г^— +--------- _п— = 23,77.

³ 1,09⁹ 1,09¹⁰ 1,09^й

Таким образом, ожидаемый эффект составит Э_ож = 4,06x0,3 + 15,18x0,4 + + 23,77x0,3 = 14,42. В то же время средний срок службы машины равен 6x0,3 + 9x0,4 + 12x0,3 = 9 лет. Таким образом, при случайном сроке службы оборудования ожидаемый эффект не совпадает с эффектом, исчисленным при среднем сроке службы этого оборудования, — это обстоятельство носит общий характер и применимо не только к сроку службы, но и к почти любому техническому или экономическому параметру проекта.

ПРИМЕР 12.6 [1,43]. Необходимо надстроить плотину, защищающую от наводнения некоторый регион. Требуется определить оптимальную высоту Н этой надстройки. В настоящее время плотина имеет определенную высоту, и ей отвечает некоторая вероятность (р₀) того, что максимальный в течение года уровень воды будет выше. На основе гидрологических исследований можно заключить, что по мере повышения высоты плотины эта вероятность будет экспоненциально снижаться и при высоте Н составит р{Н)= р₀е~^дИ, где ц — гидрологический параметр. Продолжительность строительства плотины принимается равной 1 году. Инвестиционные затраты К(Н) на надстройку зависят от высоты, причем нелинейно, поскольку с увеличением высоты необходимо расширять основание. Однако в рассматриваемом диапазоне высот эту зависимость можно аппроксимировать линейной (т. е. разделить инвестиции на условно-постоянные и пропорциональные высоте): К(Н) = К₀ + Ш.

Расчет производится путем минимизации затрат и потерь, связанных с реализацией проекта (т. е. результаты проекта оцениваются снижением потерь). Принимается, что если в некотором году максимальный уровень воды был ниже верхнего края плотины, то какие-либо потери отсутствуют (затратами на содержание плотины пренебрегаем). В противном случае происходит наводнение и имеют место потери, величина которых пропорциональна стоимости имущества, размещенного в регионе. На момент начала проекта эти потери оценены величиной У. В последующие годы по мере экономического развития региона стоимость имущества, а стало быть, и размер потерь будут возрастать. Принимается, что такой рост равен 100§ % в год, таким образом, если наводнение произойдет в т-и году, то потери составят У(1 + §)^т. Считая срок службы плотины бесконечно большим, определим ожидаемое значение указанных потерь при социальной норме дисконта Е:

Глава 12. Расчеты ожидаемой эффективности проекта

у _у Д(Я)У(1 _{+ 1?}Г, Л _{+ 1?}

^-^ (1 ₊ ЕГ -^УроЩ)Е-₈'

Для нахождения оптимальной высоты надстройки плотины сопоставим затраты и результаты по проекту. Если учесть в затратах только инвестиции К(Н) в плотину, а результаты оценить как уменьшение ожидаемых потерь региона по сравнению с вариантом, когда плотина не надстраивается и вероятность наводнений остается прежней, получаем:

Э_ш=У[р₀(0)-р_в(Н)]^-К(Н)=Ур₀{1-е^^н)^-К₀-/гН.
Л-в Н-д

При оптимальном Н производная этого выражения должна обратиться

в нуль. Простые вычисления приводят к формуле Н = —1п Ч

Уф Л + 8) к(Е-₈)

Таким образом, высота плотины возрастает при увеличении возможного ущерба при наводнении, темпа его роста и вероятности наводнения в настоящее время что согласуется со здравым смыслом. Зависимость от гидрологического параметра ц более сложная. При очень малых д эта формула приводит к отрицательным Н, так что оптимум на самом деле достигается, если плотину не наращивать, ибо это не дает существенного снижения вероятности наводнения. Если же д велико, то формула приводит к малым значениям высоты, поскольку даже при небольшой надстройке вероятность наводнения резко снижается.

Выше уже отмечалось, что одним из направлений снижения риска является получение дополнительной информации о параметрах проекта или его внешней среды. В этой связи интерес представляет вопрос о выявлении условий, при которых оказывается выгодным приобретение такой дополнительной информации. По этому поводу в [63] дается такая рекомендация: приобретение дополнительной информации целесообразно, если ее стоимость С не превышает "среднего риска", рассчитываемого по формуле ^рДАпах ~В;), ^гД^е В, ~ выигрыш от реализации проекта при у'-м сценарии; В_т2х — максимальный из выигрышей В.. Обоснованность такой рекомендации обсуждается в следующем примере.

ПРИМЕР 12. 7. Фирма хочет реконструировать цех, заменив оборудование новым. Эффект реконструкции зависит от технического параметра х (например, от производительности оборудования). Величина х может меняться от 10 до 20, ее распределение в этом интервале предполагается равномерным. При х = 20 реконструкция дает эффект 600, при х = 10 — отрицательный эффект -400. При других значениях х эффект изменяется по линейному закону. Э = 100(2г - 14). Предлагается провести НИОКР, которые позволят определить неизвестный параметр х точно. В соответствии с указанной рекомендацией затраты на НИОКР оп-

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

равданны, если их стоимость будет меньше математического ожидания разности 600 - Э = 100(20 - г). В данном примере математическим ожиданием 2 будет 15, так что средний риск составит 500 и при С < 500 в соответствии с рекомендацией [63] проведение НИОКР следует считать целесообразным. Проверим это при С = 450.

Заметим вначале, что мы имеем дело с двумя проектами: проект А предусматривает реконструкцию без проведения НИОКР, а проект Б — по результатам НИОКР. При этом эффект проекта А равномерно распределен в пределах от 600 до -400, и поэтому ожидаемый эффект этого проекта будет равен (600 - 400)/2 = 100. Оценим теперь ожидаемый эффект проекта Б. Пусть НИОКР проведены и неизвестное 2 определено. При этом возможны два случая:

1) 2 > 14. Вероятность такого исхода НИОКР равна, очевидно, (20 --14)/(20 - 10) = 0,6. При этом реконструкция оказывается эффективной и фирма станет ее осуществлять. Математическое ожидание эффекта, который будет получен, определится средним значением 2 в соответствующем интервале и составит 100х(20 - 17) = 300.

2) 2 < 14. В этом случае фирма убедится, что реконструкция цеха невыгодна, и откажется от нее, получив нулевой эффект.

Таким образом, средний эффект, который может быть получен фирмой после проведения НИОКР, если определять его в момент заказа такой работы, будет 0,6x300 + 0,4x0 = 180. Из этой суммы надо вычесть затраты на НИОКР, равные 450, после чего получаем ожидаемый эффект проекта Б: 180 - 450 = -270. Как видим, проект Б оказывается для фирмы менее эффективным, чем А (отказ от проведения НИОКР). Чтобы проведение НИОКР было выгодным, надо, чтобы проект Б был эффективнее, чем А. Это произойдет, если 180 - С > 100, т. е. когда стоимость НИОКР меньше 80. Как видим, приведенная выше рекомендация завышает предельную границу для стоимости дополнительной информации на порядок.

Несмотря на широкое распространение, критерий математического ожидания вызывает резкие возражения ряда экономистов, поскольку он не учитывает разброс эффекта относительно своего среднего значения. В частности, периодически появляются предложения исчислять показатель ожидаемого эффекта по формуле: М - Ы, где М — математическое ожидание эффекта; й — его среднеквадратичное отклонение; к — некоторый постоянный коэффициент. На первый взгляд формула представляется разумной — неопределенность эффекта учтена в ней путем уменьшения ожидаемого эффекта на величину, пропорциональную среднему разбросу возможных эффектов. Однако легко убедиться, что применение этой формулы может привести к абсурдным результатам.

1. Пусть возможны всего два сценария реализации проекта, причем в первом из них (имеющем вероятность р) эффект проекта нулевой, а во втором (имеющем вероятность 1 - р) — равен единице. Ясно, что такой проект эффективен (в результате его реализации заведомо не возникает убытков, а с некоторой вероятностью инвестор получает положительный доход). Однако если вероятность р достаточно мала, то

Глава 12. Расчеты ожидаемой эффективности проекта

для этого проекта имеем: М-Ы = р-к^р{\.-р) < 0, вследствие чего эффективный проект будет оценен как неэффективный.

2. Пусть, например, к = 0,5 и есть всего четыре возможных сценария реализации проекта, имеющих вероятности соответственно 0,1; 0,4; 0,2 и 0,3. Эффект проекта при этих сценариях равен соответственно 10, 12,14 и 22. Легко проверить, что здесь М - Ш = -2,29. Если улучшить проект так, чтобы его эффект при последнем сценарии увеличился до 23, то величина М - Ш уменьшится до -2,51. Кстати, о некорректности данного метода свидетельствует и тот факт, что ожидаемый эффект проекта здесь отрицателен, хотя все возможные значения эффекта проекта положительны.

3. Эффекта проекта положителен и имеет экспоненциальное распределение с плотностью Ае^-Я*, где К > 3/к². Однако рассматриваемая формула дает отрицательное значение ожидаемого эффекта: М - Ы = т- -

к - -= < 0. Более того, разделив любой возможный эффект проекта попо-

■уК

лам, мы получим менее эффективный проект, тогда как величина М — Ш при этом возрастет.

Подчеркнем, что такое противоречие не случайно — такого рода примеры построены в [110] для любых формул, включающих математическое ожидание эффекта, его среднеквадратичное отклонение или любые другие аналогичные характеристики разброса эффекта¹.

При использовании критерия математического ожидания риск неэффективности проекта (РН) и средний ущерб от реализации проекта в случае его неэффективности (УН) определяются по формулам:

РН = 2Л> ^{УК =} ^~Ш~' (¹²²)

где суммирование ведется только по тем^'-м сценариям, для которых

интегральные эффекты Э отрицательны.

Зная ожидаемый эффект Э_ож, можно оценить и размер премии (д) за риск неполучения доходов, предусмотренных основным (с номером у = 1) сценарием проекта. Действительно, если мы применяем метод оценки ожидаемого эффекта и используем при этом безрисковую норму дисконта Е, то ожидаемый эффект проекта оказывается равным Э_0Ж(Е). Если же мы ограничиваемся только базовым сценарием проекта, топри норме дисконта Е его "обычный" эффект составит Э _} (Е). Если мы хотим не ошибиться в оценке эффективности проекта, ограничившись расчетом только базового сценария, то его эффект надо определять при иной норме дисконта (Е + §), включающей премию за риск. При этом должен быть получен тот же самый результат. Отсюда

¹ Речь идет о характеристиках типа математического ожидания какой-либо функции от разности между случайным эффектом и его математическим ожиданием.

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

следует, что "подходящий" размер премии за риск определяется из уравнения Э_ож(Е) = Э_г(Е + §). В этом случае средние потери от неполучения предусмотренных базовым сценарием доходов при неблагоприятных сценариях покрываются средним выигрышем от получения более высоких доходов при благоприятных сценариях¹.

Обратим внимание, что при изложенной схеме устойчивость проекта характеризуется дополнительными показателями РН и УН. Этот набор показателей не единственный — наряду с ним в литературе можно встретить и другие. Однако все подобные показатели следует рассматривать как характеристики устойчивости, а не эффективности проекта. Подробное описание практического опыта применения различных показателей к оценке устойчивости проектов в нефтяной промышленности с точки зрения инвестора и государства содержится в [121]. В этой работе показывается, в частности, как влияют на устойчивость проекта система налогообложения и механизм распределения добываемой нефти между инвестором и государством в случае, если проект реализуется на основе соглашения о разделе продукции.

Обоснование критерия математического ожидания, основанное на несколько иной системе аксиом, содержится в [106]. Этот критерий, по нашему мнению, применим на практике в случаях, когда колебания параметров проекта обусловлены повторяющимися природными или технологическими процессами, о протекании которых имеется достаточная статистическая информация, позволяющая считать такие процессы случайными и оценить их вероятностные характеристики. В частности, этим методом может оцениваться эффективность проектов:

• создания или реконструкции систем массового обслуживания;

• реализация которых определяется природно-климатическими или горно-геологическими условиями или сопряжена с риском отказа технологического оборудования, могущим повлечь за собой значительные негативные последствия и/или потребовать значительных затрат на устранение последствий отказа;

• существенно зависящих от непрерывно меняющихся случайных параметров (например, от темпов роста цен) — в этих случаях формула математического ожидания применяется к непрерывным вероятностным распределениям, а расчеты обычно выполняются аналитически.

¹ Размер премии за риск,§ зависит от того, какой сценарий принят в качестве базового. Основная рекомендация об использовании в этом сценарии умеренно пессимистических, а не средних оценок расходов и доходов обеспечивает снижение премии за риск, упрощая оценку эффективности при отсутствии информации о вероятностях отдельных сценариев. Заметим, что если в качестве базового выбран наихудший или близкий к нему сценарий, то премия за риск, найденная указанным способом, окажется отрицательной. Но это так и есть, поскольку налицо не столько риск дополнительных убытков, сколько большая вероятность получения дополнительных доходов.

Глава 12. Расчеты ожидаемой эффективности проекта

Рассматривая показатель ожидаемого эффекта как критериальный, в соответствии с ним можно корректно определить ожидаемые значения и других показателей эффективности. В частности:

1) ожидаемый срок окупаемости определяется как срок, начиная с которого математическое ожидание накопленной суммы чистых доходов становится и остается положительным;

2) ожидаемый индекс доходности инвестиций определяется как отношение математических ожиданий интегральных чистых доходов и инвестиций;

3) ожидаемая внутренняя норма доходности определяется как такая норма дисконта, при которой ожидаемый интегральный эффект обращается в нуль (это определение может быть перенесено и на другие типы неопределенности, для которых определен показатель ожидаемого интегрального эффекта). Поэтому ожидаемая ВНД может быть рассчитана как ВНД денежного потока, сформированного на базе математических ожиданий поступлений и расходов. В общем случае она не совпадает с математическим ожиданием случайной ВНД.

'Критикуя использование математического ожидания эффекта в качестве критерия эффективности, многие авторы отмечают, что он плохо учитывает риск, связанный с отклонениями (разбросом) эффекта от его среднего значения. Конкретно это выражается в том, что одинаковые по величине, но противоположные по знаку отклонения при использовании этого способа расчета взаимно погашаются, в то время как для субъекта они могут иметь разную значимость (подобное явление характеризуется обычно как склонность или несклонность субъекта к риску). Учет разброса оказывается возможным, если ослабить требование инвариантности к усреднению.

Для формулировки альтернативной аксиомы нам потребуется понятие смеси. Рассмотрим два проекта А и Б, каждый из которых характеризуется случайными результатами. Возьмем несимметричную монету, выпадающую "орлом" с вероятностью р, и бросим ее. После этого будем реализовать проект А, если монета выпадет "орлом", и проект Б в противном случае. Такой "сложный" проект, имеющий, очевидно, случайные результаты, называется смесью проектов А и Б.

Потребуем теперь, чтобы критерий ожидаемого эффекта помимо аксиом непрерывности и согласованности удовлетворял трем следующим.

Монотонность Увеличение возможных результатов и/или уменьшение возможных затрат хотя бы при одном сценарии не уменьшает ожидаемого эффекта.

Независимость от дополнительных проектов. Пусть один проект не менее эффективен, чем второй, а третий проект не зависит ни

Часть I Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

от первого, ни от второго¹. Тогда совместная реализация первого и третьего проектов не менее эффективна, чем совместная реализация второго и третьего.

Сильная инвариантность к смешиванию. Если проекты А и Б равноэффективны, то и смеси этих проектов с любым проектом В тоже равноэффективны.

Можно доказать (см. [108, 110]), что помимо критерия математического ожидания этим аксиомам удовлетворяют только предложенные П. Массе [69] критерии вида

2>

Э„_ж = —1п ^ож ц

 

(12.3)

При этом положительные значения ц отвечают ситуации, когда экономический субъект не склонен к риску и оценивает случайное уменьшение эффекта выше, чем такое же по величине случайное его увеличение, а отрицательные ц отвечают обратной ситуации (несклонности к риску). Критерий математического ожидания является предельным случаем критерия Массе при ц->0. Интересно отметить, что в частном случае, когда эффект проекта — случайная величина, имеющая нормальное распределение со средним значением М и дисперсией 5, критерий Массе принимает (раскритикованный ранее) вид: М - \х5/2. Однако такое совпадение имеет место только в исключительных ситуациях.

Сравним критерий Массе с критерием математического ожидания.

ПРИМЕР 12.8. Пусть при нормальном сценарии (вероятность 0,6) эффект проекта равен 30, а при "аварийном" (вероятность 0,4) он отрицателен и равен -10. Математическое ожидание эффекта равно здесь 0,6x30 - 0,4x10 = 14. Пусть ц = 0,05. Тогда ожидаемый эффект, рассчитанный по формуле Массе, будет равен

_ * 1п(о,6е-⁰'^05х30 + 0,4е⁰'^05х10)=4₎бЗ.

Таким образом, оценка проекта стала значительно менее оптимистичной.

Если имеются основания считать, что интересам инвестора в части учета неопределенности отвечает критерий Массе, то при оценке эффективности его участия в конкретном проекте А возникает необходимость оценить соответствующее значение параметра "несклонности к риску" ц. В этих целях можно использовать следующий прием. Предъявим инвестору, например, следующую совокупность проектов:

• проект Бр в результате которого инвестор совершенно достоверно получает доход Ф (размер дохода должен иметь тот же порядок, что и объем инвестиций по проекту А);

¹ Обратим внимание, что в данной ситуации общее понятие о независимости проектов формализуется как независимость случайных эффектов этих проектов в том смысле, как это понимается в теории вероятностей.