Модель с непрерывным изменением цены актива

Именно эту модель и соответствующую ей формулу расчета стоимости европейского опциона "колл" без промежуточных выплат (дивидендов и др.) предложили Ф. Блэк и М. Шоулз. В связи с предложенной ими идеей, описанной выше, стоимость опциона определяется как стоимость "пакета" из акций и займа (дающего те же результаты в будущем, что и опцион) за вычетом стоимости займа. По сути дела, согласно Ф. Блэку и М. Шоулзу стоимость опциона равна разности страховых инвестиций (или, что то же самое, хеджирования актива (акций)) и величины займа, отвечающих характеристикам эквивалента опциона. Формула Блэка—Шоулза строго выводится для достаточно специального поведения цены акций (см. ниже формулу (14.21)), но практически используется и за пределами этого ограничения.

Введем следующие обозначения:

С(1) — стоимость опциона на приобретение за время I в выбранных единицах времени до исполнения; 5 — текущая цена базового актива;

г — безрисковая доходность (эффективная ставка за единицу времени с непрерывным сложным процентом); X — цена исполнения опциона;

Хе'^п — приведенная стоимость цены исполнения актива; о — стандартное отклонение доходности базового актива за рассматриваемый период (с непрерывным начислением);

_ 1п[5/Хе-^п] а-Л

а41 ⁺ 2 '

Тогда формула стоимости опциона принимает вид (доказательство см. ниже в этом пункте, а также в [72, 130]):

С(0 = 5 Ф(2) - Хе~^п Ф(₂ - аЛ). (И.20)

1 у -?1 где Ф(у)=-^=- [е ² с1х — функция стандартного нормального распреде-

ления (кумулятивная).

В формуле Блэка—Шоулза величина Ф(г) равна количеству акций, необходимых для адекватного копирования европейского опциона "колл" (коэффициенту хеджирования или "дельте опциона" [18]), 5-Ф(г) равна страховым инвестициям, аХ'Ф(г-стл/7) — стоимости займа (е~^ы— дис-

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

котирующий множитель, приводящий стоимость займа к моменту приобретения опциона). Поэтому формулу Блэка—Шоулза можно трактовать так

Стоимость опциона = Дельта опциона х Текущая цена базового актива -

- Стоимость займа.

Существенно, что в формулу Блэка—Шоулза не входит величина ожидаемой силы роста стоимости базового актива ц (см. ниже), а учитывается только темп роста ее дисперсии. В чисто практических целях расчеты стоимости опционов "колл" можно вести, используя также специальные таблицы (см. приложения к [18]).

Несмотря на некоторую искусственность предположений, основным из которых является предположение о том, что цена акции является случайной функцией времени, подчиняющейся логарифмически нормальному закону (см. ниже), формула Блэка—Шоулза быстро стала очень популярной как в силу своей простоты, так и в связи с тем, что именно в это время была начата организованная торговля опционами на Чикагской бирже. Не случайно, что за это открытие М. Шоулзу вместе с Р. Мертоном в 1997 г. была присуждена Нобелевская премия (Ф. Блэк к этому времени уже умер).

ПРИМЕР 14.15- Пусть требуется оценить стоимость опциона на актив, текущая цена которого равна 200, цена исполнения — 300, а срок равен 9 годам. Безрисковая годовая процентная ставка 6%. Стандартное отклонение цены актива равно 30% в год. Тогда:

а) приведенная цена исполнения

Хе'^п = 300 -е-⁰'⁰⁶⁹ =174,8245;

б) отношение текущей стоимости к приведенной цене исполнения

= 1,144005;

5 200

Х-е~^п 174,8245

в) Стандартное отклонение х Корень из срока = а-л/7 =

= 0,3x^/9=0,9.

Относительная цена европейского опциона "колл", т. е. С(()/5= С(9)/200 согласно табл. 6 приложения к [18], равна 0,392.

Следовательно, искомая стоимость опциона равна

0,392x200=78,4;

коэффициент хеджирования, т. е. дельта рассматриваемого опциона, согласно табл. 7 приложения к [18], равен 0,7254. Таким образом, вместо

Глава 14. О некоторых нетрадиционных подходах к оценке инвестиций

покупки опциона "колл" за 78,4 можно иметь те же результаты, если купить 0,7254 актива (акции) за 0,7254x200=145,08 и взять заем в размере 145,08 - 78,4=66,68.

Стоимость европейского опциона "колл" можно найти, разумеется, и по формуле (14.20). Действительно, исходя из заданных величин

1п(Ч

х= V ^х■?. ^П) + 2^Е. ₌ 0,599483, г-а-^ = -0,30052. По таблицам
а-лД 2

стандартного нормального распределения находим Ф(г) = 0,725575, Ф\г-ол[() - 0,381892, после чего по формуле (14.20) находится

С(0 = 78,35095.

Стоимость европейского опциона "пут" легко определяется с помощью теоремы о паритете стоимостей опционов "колл" и "пут", причем дельта опциона "пут", как нетрудно видеть, равна дельте опциона "колл" — 1. Заметим, что возможно и отрицательное значение дельты опциона "пут", например равное и < 0. Это означает, что вместо покупки этого опциона тот же результат можно было бы иметь, если продать долю актива, равную (-ы5), и на полученную сумму купить безрисковых ценных бумаг.

В нашем примере стоимость опциона "пут" с той же ценой исполнения равна стоимости опциона "колл" + приведенная цена исполнения — текущая цена акции, т. е. равна: 78,4 + 174,8 - 200 = 53,2. Дельта опциона "пут" равна: 0,7254 - 1 = -0,2746. Это значит, что вместо покупки опциона "пут" за 53,2 можно было продать (у дельты знак "минус") 0,2746 актива, получив 0,2746x200 = 54,92, и купить на них безрисковые активы — государственные долгосрочные облигации и др.

В основе вывода формулы Блэка—Шоулза (см. приводимые ниже выкладки) лежит идея использования инструментария анализа случайного блуждания (броуновского движения). Именно так Л. Башелье в 1900 г. в своей диссертации "ТЬеопе де 1а зресиШгоп" первым дал математический анализ стоимости опционов и обосновал целесообразность их использования в инвестировании. Предположив, что флуктуации цен соответствуют броуновскому движению, он пришел к заключению, что предельный процесс эволюции цен рассматриваемого актива 5₁ описывается линейным броуновским движением со сносом:

5=5+ц- (+а-Ж„

где ц — сила роста цены актива; о — волатильность цены актива;

УР— стандартное броуновское движение, или винеровский процесс, т. е. случайный процесс с независимыми нормальными (гауссовски-ми) приращениями с нулевым математическим ожиданием и дисперсиями, равными времени I.

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

В итоге формула Башелье для определения рациональной цены европейского опциона "колл", как показано в [130], принимает вид:

5-Х\

С({) = (5-Х)Ф

 

а-Д^

'5-Х^

а41) \ Од/7

где Ф(г) — (кумулятивная) функция стандартного нормального распределения;

N(2) — функция плотности стандартного нормального распределения.

Приведенная формула обладает тем очевидным недостатком, что цены 5, могут принимать отрицательные значения.

Следующий шаг был сделан П. Самуэльсоном [172], предложившим в 1965 г. модель "экономического (геометрического) броуновского движения", согласно которой броуновскому движению подвержены флуктуации не самих цен на активы, а их логарифмов. В этом случае динамика цен представляется в виде [130]:

5₍=5-е^н', (14.21)

где 5 = сопв! — начальная цена акции;

Н₍ =

ц-

о²^

1 + а-Щ, а УУ_:— описанный выше винеровский процесс.

Как показано ниже в этом же пункте (см. пример 14.16), дифференциал этого выражения (вычисляемый с использованием формулы Ито)

равен: с15, =5₁-(\1-сИ + о-сШ₁), что можно записать (в символической форме) как — ¹- = \1(Н + а-<Ш₍ аналогично зависимости—- = ц + о-е„ в мо-

дели Кокса—Росса—Рубинштейна для дискретного времени (см. п. 14.5.3).

Из модели П. Самуэльсона (с учетом ряда других обычно принимаемых допущений, таких, как постоянство процентной ставки, отсутствие затрат на трансформацию структуры активов и др.) непосредственно следует приведенная выше формула Блэка—Шоулза.

" Доказательство формулы Блэка—Шоулза, как и доказательство формулы Столла (14.19), опирается на свойства безарбитражного рынка и использует аппарат теории случайных процессов.

Вначале приведем минимально необходимые сведения из теории случайных процессов и формулу Ито.

Случайным процессом (случайной функцией) называется действительная функция %₍, такая, что при каждом I она является случайной ве-