Измерение переменных в социально-экономических и политических исследованиях

И ТЕОРИЯ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ

Основные понятия современной теории измерения

 

Математическое описание социально-экономической реальности означает, что изучаемым явлениям и их взаимоотношениям ставятся в соответствие некоторые вполне определенные формальные объек­ты со своими отношениями, прежде всего числа и отношения между ними.

Измерение — это приписывание объекту по какому-то признаку чисел определенным образом; поэтому математическое моделирова­ние эмпирического материала начинается с измерения.

В литературе по математическому моделированию социально-экономических явлений (как зарубежной, так и отечественной) проблеме измерения уделя­ется чрезвычайно много внимания. Поскольку для наших целей придется пользоваться рядом понятий современной теории измере­ния, кратко поясним значения основных терминов. Тем более это необходимо сделать в силу того факта, что с современной научной трактовкой проблем теории измерения хорошо знакомы многие специалисты, работающие в области прикладной психологии или конкретной социологии, но как это ни странно, в меньшей степе­ни — многие экономисты, занимающиеся конкретной экономикой или математическими моделями экономики. И хотя нетривиальность измерения индекса цен или показателя сложности конкретного труда известна всем экономистам, сами методы теории измерения, позволяющие измерять, например, уровень социальной мобильно­сти или уровень жизни, известны далеко не всем.

Основные вопросы, которые здесь возникают, следующие. Каким способом можно приписать данному объекту число? Когда это можно сделать, когда нельзя? Что можно потом «делать», с этим числом? Зачем вообще приписывать числа реальным объектам? В какой степени по получаемым числам можно судить о свойствах реальности?

Известны три основные проблемы теории изме­рения: представления, единственности, адекватности.

Первая заключается в построении шкалы, задающей соответ­ствие между эмпирическим признаком, присущим наблюдаемым объектам, и множеством чисел, «измеряющих» этот признак у раз­ных объектов. Содержательно под шкалой, измеряющей значения признака, можно понимать подмножество действительных чисел, каждое из которых однозначно соответствует некоторому значению признака (т. е. значению, «снимаемому» на данном объекте) и с которым разрешается производить некоторые (не любые) ариф­метические операции.

Для того чтобы задать определение шкалы более строго, вво­дится понятие «система с отношениями». Под эмпирической систе­мой с отношениями понимается упорядоченный набор {A; R , R ,..., R }, где А — множество эмпирических объектов, a R , R ,..., R — эмпирические отношения между ними. Понятие «эмпирическое отношение» чрезвычайно важно, как и понятие «признак». Если наблюдаемые объекты сравниваются (различаются или не разли­чаются) по какому-либо признаку (например, два коллектива не различаются по проценту женщин, работающих в них, или по средней производительности труда), то упорядоченное множество самих объектов тоже может рассматриваться как обладающее или не обладающее некоторым важным для исследователя свойством (называемым эмпирическим отношением). Например, два любых производственных коллектива — коллектив А и коллектив В — могут обладать или не обладать следующим свойством: «Из двух этих коллективов первый имеет более высокий уровень средней про­изводительности труда». Можно также сказать, что эти коллективы находятся в отношении «Первый имеет более высокую производи­тельность, чем второй». Другим примером отношения между пер­вым, вторым и третьим объектами (элементами множества А) может служить отношение «Сумма веса первых двух равна весу третьего», когда объектами являются некоторые материальные тела, и названное эмпирическое отношение между ними выполняется всякий раз, если положенные на одну сторону рычажных весов два первых тела уравновешиваются третьим обычным образом. Отноше­ния могут быть и более сложными, относясь к группам объектов из четырех, пяти элементов и т. д. Например, можно рассматривать такое отношение между элементами — «уровнями зарплаты»: «По­вышение зарплаты работника со 10000 руб. до 15000 руб. более значи­мо, чем повышение зарплаты от 25000 руб. до 30000 руб.» Число объек­тов, которое охватывается данным отношением, называется раз­мерностью отношения, про которое говорят, что оно двухместное, четырехместное и т. д.

Иногда наряду с эмпирическим отношением рассматривают эмпирические операции, т. е. переход от одного набора элементов из множества А к другому набору (может быть, состоящему из одного элемента). Самым простым примером операции может слу­жить, например, операция «суммирования двух объемов тела», в результате чего переходят от двух жидких тел с объемами V и V к третьему телу с объемом V = V + V . Однако вместо всякой подобной эмпирической операции всегда можно рассматривать неко­торое эмпирическое отношение, которое выполняется, как только имеет место данная операция (выше мы как раз рассматривали отношение, связанное с суммированием весов). Поэтому в теории измерения рассматриваются только эмпирические отношения; в то же время, говоря о численных моделях реальности, часто бывает удобнее пользоваться различными операциями над числами. Далее это будет видно более ясно.

Эмпирическое отношение — это то, что важно для исследовате­ля, и то, что он может эмпирически проверить. Если какое-то утверждение о свойстве изучаемых объектов не может быть эмпи­рически проверено, то данное свойство не может считаться эмпи­рическим отношением и не может непосредственно входить в какую-либо эмпирическую систему с отношениями.

Надо также отметить, что обычно множество А включает в себя всю мыслимую совокупность потенциально возможных элементов, между наборами которых выполняется интересующее нас отноше­ние. Даже если мы рассматриваем лишь некоторый небольшой кол­лектив, каждого члена которого мы хотим описать с точки зрения, например, признака «трудолюбие», конструируя шкалу с помощью эмпирической системы с отношениями, необходимо включить в мно­жество А всех мыслимых потенциально возможными индивидов с самыми различными уровнями трудолюбия. Кроме того, обычно с каждым признаком, присущим объектам, связывается одно-два, реже три-четыре отношения, а сами отношения, как правило, бывают двухместные, четырехместные (большая размерность отно­шений встречается реже). Объект, имеющий несколько признаков, которые необходимо «измерить», представляется с помощью не­скольких эмпирических систем с отношениями (с одним и тем же множеством А), каждая из которых позволяет измерить только один признак.

Итак, пусть установлена эмпирическая система с отношениями w = { A; R , R ,..., R }, относящимися к некоторому признаку, и теперь требуется приписать каждому объекту число, характеризую­щее проявление на данном объекте данного признака. Приписать числа объектам, очевидно, можно не как попало, а так, чтобы по этим числам, а точнее, по отношениям между ними, можно было судить об отношениях между объектами. По этой причине необхо­димо указать допустимое множество чисел, а также перечислить те отношения между числами, которые соответствуют данным эм­пирическим отношениям- Для этого вводится понятие числовой системы с отношениями, для которой множеством А является мно­жество Е действительных чисел, а отношения A; Q , Q ,...,Q суть некоторые отношения между числами. Обозначим числовую систему с отношениями как m:

 = { E, Q , Q ,...,Q }

Пусть размерности Q , совпадают с соответствующими размер­ностями R . Теперь можно будет построить шкалу для измерения нашего признака, если для каждого объекта a A так удастся подобрать определенное число x E по правилу x = f(a), что, как только между объектами a A, a A, …, a_ri A выполняется отношение R , между числами x₁ = f(a₁), x₂ = f(a₂), …,x_ri = f(a_ri)выполняется отношение Q_i. Теперь шкалой S будет называться упорядоченная тройка S = {v_i, m, f}, где f – гомоморфизм из v_iв m. Первая проблема теории измерения – проблема представления – решается построением конкретной шкалы S.

Так как для данной эмпирической системы с отношениями, вообще говоря, может быть построено много шкал (различающихся и подмножествами множества действительных чисел, и числовыми отношениями), то необходимо как-то описать все эти шкалы, по­скольку они эквивалентны между собой, являясь числовыми моде­лями одного и того же признака. Проблема единственности имеет своей задачей описание всего множества эквивалентных шкал.

Очевидно, если две разные шкалы S₁ = { V_i, m₁, f₁ }, S₂ = { V_i, m₂, f₂ }

одной и той же эмпирической системы с отношениями одинаково «различают» или «не различают» объекты (т. е. f₁(а) = f₁(b) f₂(а) = f₂(b), a,b ) то, значит, между значениями f₁(а) и f₂(а) существует взаимно однозначное соответствие: f₂(а) = . Функцию одного переменного у = называют тогда допустимым преобразованием шкалы S₁. Если все эквивалентные шкалы могут быть получены из одной шкалы с помощью некоторого класса допустимых преобразований { }, то тогда можно сказать, что класс { } как раз определяет «единственность» измерения. Обычно такие классы оказываются группами преобразований, и в этом случае говорят о ГДП-шкалах, или шкалах, определяемых группой допустимых преобразований.

Наиболее распространенные примеры таких шкал:

абсолютная шкала — j(х)=х. Этой шкалой измеряется, напри­мер, число зрителей в кинотеатре;

шкала отношений —j (х)=kх, k>0. Эта шкала наиболее рас­пространена, с ее помощью измеряются длина, масса, объем и т. п. Так как от одной шкалы мы переходим к другой, умножая числовое значение на положительное число k, то тем самым шкалы отлича­ются друг от друга только масштабами;

шкала интервалов имеет допустимое преобразование вида j(х)=kx+l, k>0. Этот тип шкалы отличается от предыдущего тем, что переход от измерения в одной шкале к измерениям в другой осуществляется не только умножением на положительное число, но и прибавлением к результату некоторой постоянной. Как изве­стно, переход от значения температуры, выраженной в градусах Цельсия, к значению температуры по Фаренгейту или Реамюру осуществляется именно таким образом, например:

t C=(5/9) t - (5/9) ∙ 32;

порядковая шкала — такие шкалы отличаются одна от другой монотонным (обычно положительным) преобразованием количест­венных значений — '(x) >0;

номинальная шкала (или шкала наименований) — допускает любое взаимно однозначное преобразование.

Обратимся теперь к проблеме адекватности измерений (иногда говорят «осмысленности») — самой важной, по нашему мне­нию, в теории измерений. Суть ее заключается в определении допустимых процедур пользования получаемыми в измерении чис­лами. Можно ли складывать «полезности» или суммировать и срав­нивать между собой «туфли» и «вафли»? Какой содержательный смысл того или иного количественного утверждения? На подобные вопросы дает ответ анализ проблемы адекватности.

Всякая эмпирическая наука, применяющая математические ме­тоды, имеет дело не только с качественными суждениями, но и с количественными. Числа, с которыми она имеет дело, получаются в результате измерений, в результате использования шкал того или иного типа. Если мы говорим, что «расстояние от Москвы до Нью-Йорка в несколько раз больше расстояния от Москвы до Парижа» или что «реализация программы муниципального жилищного строитель­ства позволит значительно повысить уровень народного благосо­стояния», то это значит, что имеется реальная возможность опреде­лить количественное значение «расстояний» или «уровня благосо­стояния» и, более того, эмпирически проверить, соответствует ли предикат предмету в данных утверждениях. При этом, поскольку любая из эквивалентных шкал (данного типа) моделирует реаль­ность «одинаково правильно», при эмпирической проверке можно пользоваться любой из них.

Количественные утверждения, допускающие операциональную про­верку, могут быть самой различной формы, но их истинность или ложность может зависеть от конкретной шкалы, с помощью которой были получены числовые характеристики. Например, если сказать, что «вчера температура воздуха в 12 часов дня была вдвое выше, чем в 15 часов», то утверждение будет соответствовать истине, только если пользоваться какой-то одной определенной шкалой температур, предположим шкалой Цельсия. Если же аналогичное по форме утверждение делается об отношении расстояний или масс, то его истинность или ложность будет одной и той же независимо от масштаба измерения расстояния или масс.

Основную ценность в науке имеют такие количественные утвер­ждения, истинность или ложность которых инвариантна относи­тельно допустимых преобразований используемых шкал, т. е. не зависит от конкретного вида используемой шкалы. Именно такие утверждения называются адекватными. Если это не так, то соответствующие количественные утверждения неадекватны и, для того чтобы понять их содержательно, необходимо точно знать, ка­кой конкретно шкалой пользовались. Известно, например, что утверждение о том, какая из двух средних «удовлетворенностей» или «привлекательностей» больше, неадекватно, когда до обычного усреднения в коллективах сами индивидуальные «удовлетворенно­сти» или «привлекательности» измерялись в порядковых шкалах. При одной шкале первый коллектив будет характеризоваться боль­шими величинами, при другой все может быть наоборот.

Если тип шкалы установлен, то можно ставить вопрос относи­тельно адекватности тех или иных количественных утверждений. В таких утверждениях обычно используются какие-то арифмети­ческие преобразования шкальных значений и последующие сравне­ния их между собой и с другими величинами. Поэтому формализо­вать проблему адекватности — значит выразить с помощью опреде­ленных преобразований шкальных значений некоторые математи­ческие соотношения и проверить их инвариантность относительно группы допустимых преобразований использованных шкал.

В 1972 г. Ю. А. Шеголевым была четко поставлена и ре­шена проблема допустимости числовых операций над шкальными значениями одной и той же переменной. А именно: если значение х_п+1получается как вполне определенный результат преобразова­ния значений х₁, х₂,…, х_п:

х_п+1 =F (х₁, х₂,…, х_п), (3.1)

то какой вид должна иметь функция F(х₁,..., х_п), чтобы равен­ство (2.1) выполнялось независимо от конкретной шкалы данного типа? Если (х)—допустимое преобразование данной шкалы, то необходимо найти все функции F(х_1, х₂,..., х_п),удовлетворяющие функциональному уравнению

(х_п+1)= F( (х₁), (x₂),…, (х_п)) . (3.2)

Аналогично этой проблеме можно сформулировать задачу на определение общего вида всех таких функций от п независимых переменных, измеренных в одной и той же шкале, значения кото­рых инвариантны относительно допустимых преобразований данной шкалы:

Н (х₁, х₂,…, х_п)=H( (х₁), (x₂),…, (х_п)) . (2.3)

Предположим, нас интересует вид функций F(х₁, x₂,…,х_п) и Н (х₁, x₂,…,х_п), когда шкала является шкалой отношений (j(х) = кх) или шкалой интервалов (j(х) = кх +l). Как нетрудно видеть, отно­шение шкальных значений для шкалы отношений х₁/x₂, не зависит от конкретного вида шкал, а для интервальной шкалы инвариант­ным оказывается отношение разностей («интервалов») (х_{1_}- x₂) / (х _{_}- x ).- Отсюда, собственно, и название этих шкал. Верно и обратное: всякое допустимое преобразование (х) сохра­няющее отношение х₁/ x₂, x₂ 0 или (х_{1_}- x₂)/ (х _{_}- x ), х x неиз­менным, будет либо вида кх, либо вида кх + 1.

На основании этого можно утверждать, что функции F и Н мо­гут иметь вид:

F (х₁, х₂,…, х_п)= +х_п + (х₂—х₁) ∙Φ(),

Н (х₁, х₂,…, х_п) = Φ(), (3.4)

где Ф — произвольная функция соответствующего числа аргу­ментов.

Однако можно доказать справедливость и обратного утвержде­ния о том, что если некоторые функции F и Н удовлетворяют условиям (3.2) и (3.3) соответственно при любых хj и значениях параметров к, I, то они будут иметь вид типа (2.4) с точностью до перестановок переменных хj.

Покажем ход рассуждений для интервальной шкалы типа (2.3). Пусть дифференцируемая функция Н (х₁, х₂,…, х_п) удовлетворяет при любых х_j,к, I равенству

Н (х₁,х₂,...,х_п ) Н (кх₁ + I, кх₂ + I,..., кх_п + I).(3.3)'

Требуется вывести необходимые условия на ее вид.

Дифференцируя тождество (2.3)' по х_j, к, I слева и справа, получим после соответствующих преобразований уравнение - в частных производных, которому должна удовлетворять всякая функция Н (х₁, х₂,…, х_п):

(3.5)

Решением этого уравнения и будет функция типа функции Н из (3.4).

Теперь можно ответить на вопрос относительно того, что можно делать с получаемыми в результате измерения числами. Очевидно, что сам по себе вопрос допустимости суммирования или какого-либо другого преобразования шкальных величин не имеет смысла. Необходимо точно указать, какого типа количественное утвержде­ние, проверяемое на адекватность, стоит за этим суммированием.

Пусть, например, необходимо выяснить, может ли рассматри­ваться в качестве некоторой закономерности, инварианта количе­ственное утверждение следующего вида: «Сумма двух величин х+у, измеряемых в интервальной шкале, всегда будет строго больше третьей величины z, измеряемой в той же самой интерваль­ной шкале», т. е.

х + у >z.

Совершенно очевидно, что это неравенство неадекватно, по­скольку переход к величинам х' = кх+l, у' = ку + 1, z'=кz + 1, к>0 дает х' + у'—1>z',

что не обязательно означает неравенство х' + у'>z', если констан­та l 0. В то же время неравенство

х + у>z + ,

в котором величина измеряется в той же шкале, адекватно. И вообще если в случае интервальной шкалы говорить об адек­ватности соотношений вида

, (3.6)

то они будут адекватны, если только п = т.

В самом деле, соотношение (2.6) равносильно тогда соотношению

, (3.6)’

если x_m < y_m; , если х_т>у_т здесь хотя бы одна разность x - y ≠ 0, иначе вся ситуация была бы тривиальной. А так как сумма дробей есть не что иное, как частный случай функции H, то соотношение (3.6)' адекватно. Другими словами, его можно проверять эмпирически; oно будет либо истинным, либо ложным.

В связи с последним примером отметим один аспект применения теории измерения, имеющий немалое методологическое значение и довольно интенсивно обсуждавшийся прежде. Вопрос ставится так: обязательно ли всем формальным операциям, допустимым с точки зрения адекватности, соответствуют некие реальные эмпирические процедуры? Или некоторым допустимым операциям над шкальными значениями не соответствуют никакие реальные операции?

Так, для случая шкалы отношений ( (х)=kx, k>0)в качестве примера приводится операция взятия логарифма числа и последую­щего сложения или деления:

Ln(x₁)+ ln(x₂ ) – ln(x₃) ≥ln(x₄)(3.7)

Это соотношение адекватно, если все переменные измерены в одной и той же шкале. Имеем ln ln(x₄), что равносильно неравенству

(x₄) (3.7)'

Переход к эквивалентной шкале x' = kx дает после несложных преобразований

(x′₄)

Откуда ln ₁ + ln ₂ – ln ₃ ln _4,

 

т. е. неравенство для сумм и разностей логарифмов адекватно.

Но какие эмпирические операции могут стоять за взятием ло­гарифмов, если в эмпирической системе, образующей шкалу отно­шений, даны лишь сравнения самих объектов и их пар (типа отно­шений масс или расстояний), но нет никаких логарифмов и т.п.? Аналогично этой ситуации адекватное (при m = n) неравен­ство (3.6) относится к случаю, когда сравниваются суммы одного и того же числа интервальных шкальных значений; в то же время в соответствующей эмпирической системе явно не присутствуют операции сложения объектов с последующим сравнением: допуска­ется сравнивать лишь сами объекты и пары (порождающие раз­ности шкальных значений).

Однако это несоответствие допустимых формальных операций и эмпирической, реальности только кажущееся. Все дело в том, что соотношение (3.7)' формально тождественно соотношению (3.7), а соотношение (3.6)' — соотношению (3.6). Поэтому в формальных выражениях, преобразованиях, сравнениях, если они адекватны, не содержится ничего такого, что не было бы отражением реаль­ности.

Отметим еще один момент, связанный с построением шкал и приложениями теории измерения. Очень часто эмпирическая си­стема с отношениями не является, вообще говоря, совокупностью объектов реального мира со своими отношениями, не зависящей от исследователя. Так, например, пытаясь построить переменную, характеризующую некоторое субъективное отношение индивидов к каким-то явлениям внешнего мира, исследователь-социолог форми­рует специальный набор вопросов, ответы на которые далее позво­лят построить соответствующую шкалу. В этом случае социоло­гическая анкета является инструментом познания реальности, «прибором», показания которого и будут характеризовать эмпи­рическую систему с отношениями.

Другой, часто встречающийся случай — когда вводится шкала, измеряющая индивидуальную «полезность» некоторого явления, например набора продуктов, потребляемых индивидом в течение фиксированного промежутка времени. Предполагается, что между всевозможными наборами потребления и положительным гиперортантом векторного пространства Е ,п существует изоморфизм и далее под наборами потребления понимаются n-мерные векторы x≥0. Ясно, что и здесь существует промежуточный «прибор» - модель множества наборов потребления в виде гиперортанта.

И в том, и в другом случае неудовлетворительный результат измерения не обязательно означает, что в социальной реальности отсутствует возможность измерения некоторых ее свойств; просто «прибор», по которому мы судим о реальности, должен быть усо­вершенствован, что может быть сделано лишь при осуществлении грамотного анализа результатов измерения. Однако самым главным здесь остается формулировка содержательных гипотез о свойствах реальности, которые должны проверяться эмпирически с помощью получения первичной информации и последующего измерения соот­ветствующих переменных.