Определение функции полезности как задача теории

Измерения

 

Важнейшей задачей самопознания общества является выявление закономерностей, которым подчиняется социальное поведение че­ловека. Определение количественных закономерностей — задача математического моделирования; при этом обычно предполагается, что модель описывает не одного конкретного индивида — Ивана Петровича Сидорова, а некоторое множество статистически нераз­личимых индивидов, характеризующихся одинаковыми значениями некоторых признаков, обусловливающих (детерминировано или вероятностно) само поведение.

К настоящему времени предложено и обсуждено огромное коли­чество моделей поведения; нас будет интересовать лишь один тип моделей, а именно таких, когда предполагается, что элемент слу­чайности отсутствует и что само наблюдаемое или прогнозируемое поведение здесь результат выбора одной альтернативы х из мно­жества X возможных. Этим самым предполагается, что все альтер­нативы данного множества известны индивиду, и он делает сво­бодный выбор в соответствии со своими предпочтениями, выбирая наилучшую альтернативу, т. е. ведет себя в каждой конкретной ситуации рационально.

Если обозначить через и (х) функцию, выражающую предпоч­тение индивида, то его поведение будет решением задачи

и (х) max, х Х. (2.8)

Допустимость или правомерность широкого использования мо­дели (2.8) при описании и объяснении поведения человека подвер­гается сомнению, отдельными социологами и экономистами. В пре­дыдущей главе мы приводили некоторые доводы противников ис­пользования математического моделирования, тем не менее кажется уместным отметить здесь еще несколько аспектов проблемы. Не вторгаясь в область психологии и физиологии человека, не конкретизируя роль социальной среды, экономических факторов воспитания и т. п., но рассматривая только возможность исполь­зования операционально измеряемых переменных (в шкалах любого типа), необходимо признать, что представления о закономерностях поведения могут выражаться исключительно в терминах только следующих трех схем:

- переменные поведения ни в какой степени не могут считаться связанными с другими наблюдаемыми переменными. Их значения обусловливаются «внутренними причинами», объяснение которых недоступно современным научным методам. Поведение человека хаотично, непредсказуемо и неуправляемо;

- поведение человека жестко детерминировано набором изме­римых социально-экономических, биологических и т. п. парамет­ров и может быть поэтому объяснено, прогнозируемо и управляемо;

- поведение человека — это случайный процесс, одни переменные подвержены стохастике в большей мере, другие — в меньшей; со­ответственно связи этих переменных с обусловливающими их пара­метрами также в большей или меньшей степени имеют стохастиче­ский характер.

По-видимому, онтология третьей схемы представляется наиболее приемлемой с точки зрения современной науки вообще. Однако эта схема должна иметь более конкретный и развитый вид, причем необходимо должна отражать наличие свободной воли человека. Диалектика свободы выбора человеком и необходимости этого выбора, обусловленной всей сетью причинно-следственных связей, в которую погружен человек, объяснена марксистской философией. На более конкретном языке системного анализа «внутренняя» сво­бода выбора субъекта этого поведения и причинное его объясне­ние извне — суть два взаимодополнительных момента: либо система рассматривает сама себя — тогда она (для себя) свободно прини­мает те или иные решения, либо система рассматривается со сторо­ны другой системы, с точки зрения которой поведение может быть в той или иной степени детерминировано, предсказуемо и управ­ляемо. Противоречия никакого здесь нет, поскольку объект рассмот­рения в каждом случае свой.

Отражение этих двух моментов как раз дается простейшей моделью типа (3.8), которая является «усреднением» третьей схемы и которая явно подчеркивает выбор человеком своего состоя­ния (поведения) из множества возможных. То, что для самого человека является актом, для внешнего наблюдателя является при­чинно-обусловленным фактом. Целевая функция и (х) для самого индивида является выражением его собственных, внутренних уста­новок и предпочтений, для внешнего наблюдателя она есть способ описания наблюдаемого поведения. Однако, несмотря на последнее обстоятельство, способ описания с помощью целевой функции опирается на установленные психологией и социологией факты, которые подтверждают наличие у человека системы оценок им явлений внешнего для него мира и собственных актов деятельности. Человеческое сознание не просто отражает объективную реаль­ность, но и «окрашивает» ее в те или иные эмоциональные цвета желаний, нежеланий, предпочтений и субъективного отношения. Математическая теория полезности есть только один из самых первых шагов на пути моделирования этого субъективного отноше­ния как элемента поведения человека. Главное в концепции полез­ности — допущение существования более или менее устойчивого отношения человека к результатам собственного поведения, отноше­ния, в той или иной степени определяющего это поведение.

Конечно, применение модели (3.8) в каждом конкретном случае моделирования социально-экономического поведения может прини­мать свои формы. Различным образом может задаваться множе­ство альтернатив, из которого выбирается одна, по-разному может описываться и целевая функция и(х), стохастика внешних условий или выбора может быть более или менее существенной и т. д., однако всегда предполагается наличие множества возможных со­стояний X и упорядоченность его элементов с точки зрения интере­сов индивида.

Теория полезности как формально-математическая дисциплина достигла за последние годы значительного развития. Ее целью является математическое описание и формальный анализ моделей предпочтения индивидов, осуществляемый обычно с помощью вве­дения различных порядков на множестве возможных альтернатив, выяснения условий существования функций полезности, представ­ляющих эти порядки, разработки методов построения и использо­вания этих функций для анализа и прогноза поведения целена­правленных систем, а также для принятия управленческих решений в самых различных ситуациях.

За рубежом методы теории принятия решений теории полез­ности применяются довольно широко. В нашей стране к ним также растет интерес, правда, не так быстро, как они того заслуживают.

Для изложения дальнейшего материала полезно напомнить два из основных ре­зультатов теории полезности.

Пусть на подмножестве X векторного пространства Е_n задано отношение R₁, удовлетворяющее условиям рефлексивности, полноты, транзитивности и непрерыв­ности. Тогда существует и(х) — вещественная функция действительной векторной переменной х, обладающая свойством

xR₁y

При этом функция и(х) определена с точностью до положительного монотонного преобразования _t>0 так, что всякая функция w(х) = [и(х)] тоже будет функцией полезности. Функция и(х) в этом случае называется порядковой функцией полезности.

Как нетрудно видеть, этим в терминах теории измерения задается эмпирическая система с отношением V_i = { х, R₁ } числовая система с отношением т = {Е, } и гомоморфизм

и = и(х) так, что определена шкала S_n ={ V_i, т, и(х)} измерения поряд­ковой полезности.

Ф. Альтом был получен еще один важный и интересный результат, опре­деляющий необходимые и достаточные условия существования интервальной функ­ции полезности, т. е. полезности, измеряемой в шкале интервалов. Ввиду их важности для всего дальнейшего кратко укажем эти условия, несколько изменив форму изложения.

На неотрицательных векторах х 0 рассматриваются два отношения: двух­местное R₁, и четырехместное R₂. При этом предполагается, что отношения R₁ и R₂ удовлетворяют следующим условиям:

1 (полнота): xR₁yили yR₁x; yR₂z или R₂x

2 (рефлексивность): xR₁x, yR₂x y;

3 (транзитивность): xR₁y и yR₁z означают, что xR₁z, x yR₂z и z R₂p q означает, что x yR₂p q;

4. x yR₂z эквивалентно zR₂y x;

5. xR₁y означает, что для любого z z xR₂z y;

6. Выполнение условий x yR₂ и y zR₂ означает, что выполняется отношение x zR₂

7. Пусть y_kR₁z k=1, 2,… и limy_k =y при , тогда yR₁z;

8. Пусть y_k zR₂z k=1, 2,… и limy_k =y при , тогда y zR₂z ;

9. Пусть x y_kR₂y z k=1, 2,… и limy_k =y при , тогда x yR₂y z;

10. Если xR₁y, но не yR₁x; yR₁z, но не zR₁y, то существует конечная последовательность х₁,х₂,...,х_k , такая, что для неё выполняется:

х₁ х₂ R₂ х₂ х₃ , х₂ х₃ R₂ х₁ х₂ и т.д.;

х_k zR₂x y, x y R₂ х_k z;

х₁ R₁ х, х R₁ х₁, х₂ R₁ y, y R₁ х₂ и х₁ = x, х_n = y.

В этом случае можно доказать, что существует вещественная функция и(х), опре­деленная с точностью до положительного линейного преобразования и такая, что

xR₁y и(х) и(y),

(x, ) R₂(y, ) u() – u(x) u() – u(y). (3.9)

Как и в предыдущем случае, данный результат представляет собой формальное решение двух первых проблем теории измерения: проблемы представления и пробле­мы единственности. Эмпирической системой здесь является система Vi_n={Х, R₁,R₂ }, числовой системой = {Е, ₂, ₄ }, гомоморфизмом — функция полезности и(х), а шкалой — тройка

S_инт = { Vi_n, , u(x)}.

Естественно называть функцию и(х) интервальной функцией полезности (ИФП).

Главной нашей задачей будет исследование возможностей по­строения и использования в моделях планирования интервальных функций полезности.

Мы предполагаем, что наблюдаемое поведение описывается в терминах максимизации интервальной функции полезности, т. е. что такая функция существует. Нашей целью является ее построе­ние по наблюдаемым определенным эмпирическим данным. Так как построить ее — это значит построить шкалу Sинт, то необходимо найти функцию u(х), которая отражает и порядок R₁ и порядок R₂.

Для определения (восстановления) функций порядковой полез­ности по наблюдениям за поведением предложено и проверено большое число различных процедур, схем и методов. Поэтому мы будем считать, что функция интерваль­ной полезности, заданная на положительных векторах х Е_n, изве­стна только с точностью до своих поверхностей безразличия

u(x) = const. (3.10)

Так как интервальная функция оказывается и порядковой, то семейство поверхностей безразличия (3.10) описывается не с помощью «истинной» интервальной функции полезности u(х), а с помощью ее порядкового приближения

Q(x) = const, (3.11)

которое считается известным. Поскольку функции u(х) и Q(х)постоянны на одних и тех же поверхностях и задают один и тот же порядок R₁, они должны быть связаны некоторым положительным монотонным преобразованием F(t):

u(x) = F(Q(x)), F_t`>0. (3.12)

Таким образом, необходимо найти такое преобразование F(t), которое удовлетворяет условию (3.12), т. е. превращает данную порядковую функцию полезности в интервальную. Можно также сказать, что необходимо приписать каждой из поверхностей без­различия Q(х) =с вместо числа с новое число F(с), чтобы полу­чилась интервальная функция полезности.