Формальный аппарат теории интервальной

Полезности

 

Прежде чем получить выражение F(t)в явном виде, необходимо доказать ряд про­межуточных утверждений.

Лемма 1.

Пусть v(t) — непрерывно дифференцируемая и строго возрастающая функция, заданная на отрезке [t₀, t₁] c производной v'₀ в точке t₀. Пусть также t — точка отрезка [t₀, t₁], (t)>0 и (t ₀,) такова, что

 

v(t₀ + (t₀)) – v(t₀ ) = v(t + (t)) – v(t). (3.13)

 

Тогда имеет место следующее равенство:

v(t) = v(t₀ ) + v'₀ dt при t 0 и t [t₀, t₁]. (2.14)

Доказательство. Так как для функции v(t) всегда выполняется равенство

v(t) = v(t₀ ) + (s)ds, то остаётся показать, что при (t) 0.

Рассмотрим условие (2.13), которому должны удовлетворять приращения аргумента (t) и (t₀ ). Из этого условия в силу строгой положительности производной v' (t) следует, что для данного t (t₀ ) есть функция (t):

(t₀ ) = [ (t)] [ (t₀ ) + v(t + (t)) – v(t)] - t₀ .

При этом (t₀ ) 0, если (t) 0. Здесь означает функцию, обратную к .

Перепишем теперь (2.13) в виде

(3.15)

где через обозначена величина бесконечно малого порядка по сравнению с , т.е. при 0. Вынося за скобки в левой части величину (t₀ ), а в правой - (t), можно получить:

t [t₀, t₁]. (3.16)

Так как при 0 также (t₀) 0, последнее соотношение означает, что имеет предел, равный

q(t) = при (t) 0, (3.17)

что и требовалось доказать.

В дальнейшем нам будет необходимо воспользоваться ещё одним математическим результатом.

Лемма 2.

Пусть непрерывные функции f(x) и F(x) определены на односвязном компакте x X. Тогда два нижеследующих условия эквивалентны:

(I) f(x) = kF(x) + l, x X, k ;

(II) {f(x₁) - f(x₂) = f(x₃) - f(x₄)} {F(x₁) - F(x₂) = F(x₃) - F(x₄)};

(III) x₁, x₂, x₃, x₄ X.

Доказательство. Справедливость условия (II) при выполнении условия (I) про­веряется простой подстановкой. Докажем справедливость условия (I) при выполне­нии условия (II).

Образуем два множества Z и W следующим образом:

Z = {z: z = F(x), x X}, W = {w: w = f(x), x X}.

Так как X — односвязный компакт, а функции F(х) и f(x) непрерывны, то, очевидно, множества Z и W суть отрезки. Построим отображение точек множества W на множество Z следующим образом:

L(w) = {z: z = F(x), w: w = f(x), x X}, w W. (3.18)

Так как для каждого w W существуют точки x X, на которых f(x) = w, а значит, и z = F(x), то множество L(w) непусто для любого w W.

Нашей целью будет показать, что:

1) отображение L(w) есть однозначная функция своего аргумента:

z = L(w);

2) L(w) удовлетворяет условию

для любых w₁,w₂ Î W; 3) L(w) — непрерывна.

Далее можно будет воспользоваться тем фактом, что если некоторая непрерывная функция (х) на отрезке из E₁, удовлетворяет условию

то она линейна, т. е. существуют константы а 0 и b, такие, что

(x) = ах+b.

Докажем однозначность отображения (3.18) от противного. Пусть существуют z₁ z₂, такие, что z₁, z₂ L(w₀), w₀ W. Это означает, что существуют такие х₁ х₂ из X, что w₀ = f(x₁) = f(x₂) и F(x₁) F(x₂). Но это невозможно, так как тогда для любого х₃ Х будет иметь место

f(x₁) - f(x₃)= f(x₂) - f(x₃),

в то время как F(x₁,)—F(x₃) F(x₂)—F(x₃). Значит, функция z = L(w) однозначна. Докажем равенство для полусумм. Пусть w₂,w₂ W. Так как W — отрезок, то

w₃ = W, значит, существуют z₁, z₂, z₃ Z, такие, что z_i=L(w_i), i=1,2, 3.

Для w₁ имеет место равенство

w₁ — w₃ = w₃— w₂, w_i W.

По определению множества W существуют x_i X, такие, что w_i =f(x_i), т.е.

f(x₁) - f(x₃)= f(x₃) - f(x₂).

По условию леммы 2 аналогичное равенство выполняется и для функции F(x):

F(x₁)—F(x₃) =F(x₃)—F(x₂) или F(x₃)= _, что означает z₃ = или

Докажем теперь непрерывность функции z = L(w), w W. Рассмотрим беско­нечную сходящуюся последовательность w_n и покажем, что последовательность точек z_n = L(w_n) сходится к . Очевидно, существуют точки x_n X, такие, что z_n = F(x_n) и w_n = f(x_n).В силу компактности множества X в последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность , так что x_nk . В силу непрерывности функций f(x) и F(x) на точках выделенной подпоследо­вательности имеет место

F(x_nk) , f(x_nk) .

Но это означает, что , поскольку

L ={ : = F(), =f(), X}.

Непрерывность доказана, а тем самым доказана вся лемма.

Обратимся к нахождению функции F(t) для перехода от порядковой полез­ности к интервальной. Пусть нам дана кривая x = x(s), пересекающая поверхность безразличия (параметр s изменяется от s₀ до s₁, и каждому s соответствует свое значение х). Пусть кривая x(s) при этом пересекает каждую из поверхностей без­различия ровно в одной точке, т.е. решение уравнения Q(x(s))=c относительно s единственно. Обозначим через (s) функцию Q(x(s)):

(s) = Q(x(s)), s [s₀, s₁]. (3.19)

Очевидно, в силу сказанного при s₀ s s₁, между значениями параметра s и зна­чениями константы с, фиксирующей поверхности безразличия в терминах порядковой полезности, существует взаимно однозначное соответствие

c = (s), s = (c). (3.20)

Поскольку каждое значение параметра s определяет некоторый уровень порядковой полезности, функцию (s) можно считать «порядковой функцией полезности пара­метра s». Аналогично случаю порядковой полезности для интервальной полезности можно тоже определить функцию, задающую полезность (интервальную) пара­метра s:

v(s) =u(x(s)), s [s₀, s₁]. (3.21)

Функции v(s), определенные соотношением (3.21), действительно интервальны, так как между произвольными функциями v(s) и V(s), индуцируемыми функциями и(х) и U(x), должна выполняться связь

v(s) =u(x(s)) = U(x(s)) + = V(s) + , >0. (3.22)

Если обозначить значения функции и(х) через D, получим

v(s) = D, s = (D), (3.23)

поскольку между s и D тоже существует взаимно однозначное соответствие. По этой причине по любому значению одного из трех параметров с, D, s можно найти значения остальных двух. В частности,

D = v[ (с)], с = [ (D)], (3.24)

причем эти формулы устанавливают связь между константами одних и тех же поверх­ностей безразличия Q(x)=c, и(х) = D, когда Q(x) и и(х) отличаются друг от друга произвольным строго монотонным преобразованием. Нам понадобится еще небольшая лемма.

Лемма 3.

Функция s(x) = (Q(x)) есть инвариант, не зависящий от строго монотон­ного преобразования функции Q(x). В частности, для интервальной функции полез­ности и(х) имеет место s(x) (и(х)) х.

Доказательство. Наряду с функцией s(x) = (Q(x)) рассмотрим функцию

(x) = (и(х)), где и(х) - интервальная функция полезности (она связана с Q(x) положительным монотонным преобразованием). В соответствии с формулами (3.24) имеем

() = (u()) = ( ) = [v( ())] = [v( (Q()))]= (Q()) =s().

Содержательно функция s(x) выражает значение параметра s, при котором кривая x(s) пересекает ту поверхность безразличия, уравнение которой может быть представлено в виде Q(x)=Q() или в виде u(x)=u().

Основная идея перехода от порядковой полезности к интервальной заключается в том, чтобы приписать каждой поверхности безразличия (которые одинаковы у Q(x) и и(х)) не с-значения уровня порядковой полезности, а D-значения интер­вальной полезности, отвечающие соответствующим значениям параметра s. Другими словами, если известны функции Q(x), c = (s) Q(x(s)) и D = v (s) u(x(s)), но функция u(x) неизвестна, то ее можно восстановить по формуле

u(x) = v( (Q(x))). (3.25)

Этот результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1.

Пусть на выпуклом компакте Х Е_n определены непрерывные функции и(х) и Q(x), причем функция и(х) есть неизвестная интервальная функция полезности, а Q(x) задает ее поверхности безразличия Q(x)=c. Пусть, далее, однопараметрическая кривая x = x(s), у которой нет самопересечений, пересекает каждую из поверхностей безразличия ровно в одной точке, так что между значениями параметра s и функций Q(x), u(x) устанавливаются взаимно однозначные соответствия c = (s), D = v(s). Тогда функция Ф(х) =v[ (Q(x))] будет интервальной функцией полезности.

Доказательство. Сначала заметим, что Ф(х), имея одни и те же поверхности безразличия с Q(x), связана с нею положительным монотонным преобразованием, поскольку функции v(s) и (с) строго монотонны. Значит, Ф(х) возрастает всякий раз, когда возрастает и любая интервальная функция полезности и(х).

Покажем теперь, что Ф(х) имеет равные приращения в тех точках и только в тех, в которых некоторая интервальная функция полезности и(х) имеет равные прира­щения. Тогда по лемме 2 можно будет сделать вывод о том, что Ф(х) и и(х) связаны положительным линейным преобразованием, а значит, принадлежат одному классу интервальных функций полезности.

Пусть в точках х₁, х₂, х₃, x₄ X «истинная» функция интервальной полезности и(х) удовлетворяет равенству

U(х₁) - U(х₂) = U(х₃) - U(х₄). (3.26)

Так как каждую из поверхностей, определяемых уравнениями U(х) = U(х_i ), i=1, 2, 3, 4, кривая x(s) пересекает при единственном значении параметра s = s_i, то можно записать

U(x(s₁))-U(x(s₂))=U(x(s₃))-U(x(s₄)) (3.27)

или

V(s₁)-V(s₂)=V(s₃)-V(s₄), (3.28)

где V(s) = U(x(s)) -- «интервальная функция полезности» параметра s, индуци­руемая функцией U(x).

Поскольку заданная условиями теоремы функция v(s) есть некоторая интер­вальная функция полезности параметра s, то для нее тоже должны выполняться аналогичные равенства:

v(s₁) — v(s₂)= v(s₃) — v(s₄). (3.29)

В силу того, что s_i суть значения параметра, соответствующего поверхностям без­различия и(х) = u(х_i), а значит, и Q(x) = Q(х_i), можно записать, что s_i = s(х_i) = (Q(х_i)). Подставляя эти выражения для s_i в последнее равенство, получим:

v[ ^|(Q(х₁))] - v[ ^|(Q(х₂))] = v[ ^|(Q(х₃))] - v[ ^|(Q(х₄))] (3.30)

или

Ф(х₁)-Ф(х₂)=Ф(х₃)-Ф(х₄). (3.31)

Докажем теперь справедливость обратного утверждения. Пусть в точках x_i X, i=1, 2, 3, 4, выполняется равенство (3,31). Тогда должно выполняться равенство (3.30).

Так как (Q(x)) =s(x) зависит только от поверхности безразличия (лем­ма 3), то от равенства (2.30) можно перейти к равенству

V[ (u(x₁ ))] – v[ (u(x₂ ))] = V[ (u(x₃ ))] – v[ (u(x₄ ))],

где и(х) — интервальная функция полезности, которой соответствует функция

v(s) = u(x(s)). В результате получаем

u(x_l) - u(x₂) = и(х₃) - и(х₄).

Последнее равенство завершает доказательство теоремы.