Задача восстановления интервальной полезности

 

Теорема, доказанная выше, дает возможность восстанавливать ин­тервальную функцию полезности и(х), если известны уравнения поверхностей безразличия (порядковое приближение функции по­лезности) Q(х) = const и параметра s, задающего уравнение кривой x = x(s), пересекающей поверхности безразличия ровно в одной точке, d = v(s) u(x(s)).

 

Рис. 3.2.

Согласно формуле (3.25), представляющей ИФП в виде суперпозиции трех функций, кроме Q(x) необходимо знать (с) и v(s). Функция с = (s) легко находится подста­новкой выражения кривой x(s) в функцию Q(x): c = Q(x(s)) = (s), после чего надо перейти к обратной функции (с) = s.

Нахождение функции v(s) представляет самостоятельную про­блему, потому что индуцирующая ее ИФП неизвестна, именно ее и надо найти. Однако доказанная ранее лемма 1 позволяет ста­тистически рассчитать функцию v(s), если имеется возможность из каких-то дополнительных источников получить некоторую вспо­могательную информацию об эквивалентных приращениях интер­вальной полезности на значениях параметра s.

Действительно, предположим, что индивиду, ИФП которого требуется определить, предлагаются разные значения параметра s, например

s₀ , s¹ , s² ,…, sⁿ < s₁ ,

и от него требуется, давая приращения (s₀) параметру s в точ­ке s₀, указать эквивалентные ему (по ИФП) изменения этого же параметра (sⁱ) в точках sⁱ. Положим, это удается сделать так, что в соответствии с ИФП индивида (рис. 3.2.)

(s₀) ~ (s¹) ~ … ~ (sⁿ). (3.32)

Предположим также, что для всех этих значений параметра s₀, s¹, s²,..., s" удалось найти не один набор эквивалентных приращений (s₀), (sⁱ), а достаточно много, чтобы для каждого sⁱ оценить предел

Q(sⁱ) = при (sⁱ) 0.

Это позволит построить функцию q(s), например, методом наи­меньших квадратов. Поскольку искомая функция v(s) удовлетво­ряет условиям леммы 1, а функция q(s) уже определена по на­блюдениям, можно воспользоваться формулой (2.14), и функция v(s) становится известной, если известны величины v(s₀) и :

v(s) =v(s₀) + v'(s₀) q(s)ds.

Однако нет никакой необходимости знать «точное» значение этих констант. Действительно, поскольку всякая ИФП определяется с точностью до положительного линейного преобразования, т. е. с точностью до масштаба и начала отсчета (а функция v(s) - ИФП в силу (3.22)), то можно положить v(s₀) = 0, v'(s₀) = 1 и по­лучим

v(s) = q(s)ds. (3.33)

Теперь все три функции v(s), (с), Q(х) известны и ИФП и(х) можно считать восстановленной.

Практическое определение ИФП сталкивается с рядом трудно­стей. Как можно заметить, основная трудность определения ИФП v(s) параметра s заключается в подборе такой кривой х(s), пара­метр которой легко ассоциируется индивидом с самим значени­ем ИФП. Кроме того, индивид должен задать по нескольку экви­валентных изменений значений параметра для значительного числа точек s¹, s²,..., sⁿ. Наконец, имеется принципиальная трудность, связанная с тем, что некоторые индивиды в принципе не могут указать эквивалентные величины приращений. В этом случае при необходимости использования именно интервальных функций по­лезности исследователь (или плановые органы) должны прибег­нуть к помощи экспертов, которые сами зададут эквивалентные значения приращений.

В следующем разделе изложенная общая схема построения ИФП будет проиллюстрирована конкретными экономическими примерами.

 

3.5. Об использовании ИФП в экономико –

Математических моделях

 

Использование функций полезности в экономико-математическом и экономическом анализе началось до создания современной теории измерения. Несмотря на отсутствие адекватного проблеме формаль­ного аппарата, «полезностный» подход помог разъяснению многих важных вопросов. Однако до сих пор иногда раздаются отголоски прежних дискуссий о том, можно ли измерить полезность числом, существует ли «кардинальная» полезность или она всегда харак­теризует лишь простую упорядоченность объектов выбора.

Теперь ясно, что всякий разговор об адекватности понятийного и формального аппарата теории полезности необходимо вести на языке теории измерения в терминах шкал, отношений и т. д., и т. п. Отрицательное или скептическое отношение к возможности пред­ставления полезности, т. е. субъективного отношения, числом обус­ловливалось и тем, что охарактеризовать простую упорядоченность гораздо легче, чем интервальную, требования которой на самом деле оказываются более сильными, поскольку ИФП образует более узкий класс, нежели порядковые функции полезности. Кроме того, в математике довольно распространены традиция и стремления (часто противоположные традиции или стремлениям исследователей-эмпириков) получать результаты, справедливые для максимально широкого круга объектов, а не те, которые выполняются лишь для более узкого и боле конкретного класса специфических объектов.

Но в данном случае с помощью слишком общих свойств порядковой полезности не всегда можно получить достаточно содержательные результаты, описывающие реальность. Если изучаемая ре­альность имеет ряд свойств, ко­торые «не улавливаются» поряд­ковой полезностью, то, разумеется, исследователь должен уточнять и конкретизировать свою фор­мальную схему, накладываемую на объективную реальность в процессе познания.

Рис. 3.2.

 

 

 

 

Рассмотрим два типичных примера экономико-математического моделирования, когда представления о полезности как об исклю­чительно порядковой величине оказывается совершенно недоста­точно.

Первый пример относится к задаче на «справедливое» распре­деление благ между несколькими группами потребителей (рис. 3.2).

Пусть первая группа характеризуется целевой функцией и₁(х) = , а вторая — и₂(х)=х₂, требуется распределить между ними две единицы продукта так, чтобы «суммарное» удовлетворение потребностей было максимальным:

и(х) = +x₂ max, x =(x₁, x₂) 0, x₁ + x₂ 2. Если предположить, что допустимы любые монотонные измене­ния полезности, то функции = ln и = lпх₂по-прежне­му будут определять «уровень удовлетворения потребностей» групп. Однако теперь «суммарное» удовлетворение потребностей должно характеризоваться функцией

Как легко видеть, в первом случае линии равной суммарной полезности описываются семейством кривых x₂ = c - , во втором – линии разного уровня суть кривые x₂ = (с и c’ - некоторые константы, возрастающие при увеличении «суммарного» удовлетворения).

Совершенно ясно, что «оптимальные» и «справедливые» распре­деления в первом случае (1/4;7/4) и во втором (2/3;4/3) будут различными. Поэтому либо надо признать, что первое и второе распределения одинаково «хороши» и неразличимы с «глобальной» точки зрения, либо, если это не так, необходимо заключить, что порядкового измерения полезностей недостаточно для установления принципов справедливого распределения. В то же время линейное (положительное) преобразование >0 не изме­нит оптимальное распределение х⁰₁, х⁰₂.

Может показаться, что при решении аналогичных задач на рас­пределение достаточно произвольно зафиксировать порядковые полезности (т. е. придать поверхностям безразличия любые воз­растающие значения), а, кроме того, разрешить преобразовывать их лишь линейно, и тогда проблема автоматически снимается. Однако порядковая полезность — это характеристика отношения вполне определенного порядка на множестве возможных векторов потребления, так что запрет на переход к другим функциям с по­мощью монотонного преобразования может быть обоснован лишь тогда, когда действительная упорядоченность векторов потребления предполагает выполнение некоторых дополнительных условий в сравнении с порядковой упорядоченностью. Следовательно, припи­сывание возрастающих числовых значений поверхностям безразли­чия не должно быть произвольным.

Другой известный экономический пример связан с задачей перспективного планирования, когда требуется максимизировать средневзвешенную (по времени) общественную полезность, изме­ряемую в порядковой шкале:

U(x)=

где х(t) — вектор потребления в момент t; Q(x) — функция поряд­ковой полезности; D — коэффициент дисконтирования (соизмере­ния полезностей в разные моменты времени). Очевидно, что опти­мальный план х°(t) решения задачи не является инвариантом относительно монотонных преобразований функций Q(х). В то же время все полученные таким образом другие функции Q(х) одина­ково верно описывают порядок предпочтения. И здесь либо нельзя пользоваться линейным функционалом типа интеграла, либо необ­ходимо признать, что все траектории, максимизирующие интеграл, одинаково оптимальны. Но тогда фактически признается эквива­лентность любых приращений функций полезности или любых сдвигов от плана х¹ к плану х².

Важным достоинством интервальной полезности является опера­циональная возможность ее аналитического использования в эконо­мико-математических моделях. Это обусловлено тем, что с ее чис­ленными («шкальными») значениями допустимо гораздо большее число операций. Как будет показано далее, конструктивному ре­шению проблемы построения глобального критерия народнохозяй­ственного планирования может существенно помочь представление Функций полезности с помощью интервальных шкал.

Конечно, получать численное представление ИФП непросто. Однако если наблюдаемое поведение системы (индивид, группа, плановые органы) определяется именно интервальным предпочте­нием и проявляется так, что его описания порядковой полезности недостаточно, то использование интервальной шкалы становится совершенно необходимым.

В каких же математических моделях социально-экономических явлений существенна именно интервальная шкала измерения полез­ности и совершенно недостаточной оказывается порядковая? С точ­ки зрения теории измерения это такие модели с использованием функций полезности, где результат счета (оптимальный план, прогноз и т. п.) изменяется при монотонном изменении функций полезности, но не изменяется при их линейном преобразовании. Очевидно, в соотношениях этих моделей функции полезности встре­чаются в форме, эквивалентной функции Н из формулы (3.11). В этом случае истинность количественных суждений типа «План х° — оптимален» или «Система в момент времени t будет находиться в состоянии х(t)» будет инвариантной относительно линейного преобразования шкалы полезности. Обычно во всех таких моделях встречается не одна функция полезности, а несколько, или сами модели оказываются динамическими.

Наконец, имеет смысл подчеркнуть еще одно обстоятельство, на котором мы еще не раз остановимся. Речь идёт о дескриптивном и нормативном вариантах обсуждаемой проблемы. Если изучаемым системам онтологически присуща интервальная полезность, то она проявляется в поведении и ее необходимо учитывать в том виде, как она есть. Если же для принятия плановых решений необходимо иметь интервальную шкалу полезности, например, потребителей, а потребители не в состоянии сформулировать ее вербально или своим непосредственным поведением, то сами плановые органы должны приписать шкалам и «начало отсчета», и «масштаб».