Определение интервальной целевой функции

Экспертов

 

Как было отмечено ранее, социально-экономическая деятельность людей включает не только такое поведение, результатом которого становятся те или иные состояния самого субъекта (спрос, мигра­ция и т. п), но и такое, результатом которого являются состояния управляемого субъектом объекта. Это управляющее поведение субъекта, как и любые другие, определяется его отношением, предпочтением, часто заданным на множестве возможных состояний объекта, поскольку субъект в состоянии своими действиями или актами управления «выводить» объект в любое из них. Не обсуж­дая в данный момент, хороши или плохи предпочтения эксперта-управленца, приводящие к плановым и управленческим решениям, заметим, что эти предпочтения входят в социально-экономическую систему в качестве непременной составляющей, и поэтому их надо изучать, моделировать, а когда необходимо, и воздействовать на них.

Анализу экспертных оценок, их моделированию и т. д. посвяще­но огромное количество экономических, психологических и матема­тических исследований. Сложилось целое научное направление по математическому анализу мнений экспертов, принявшее в нашей стране определенные организационные формы. Так, уже много лет плодотворно и эффективно функционирует Комиссия по экспертным оценкам Совета по кибернетике РАН, которая проводит регулярно научные семинары и издала целую серию статей, трудов и монографий. В этой области предложено и проанализировано большое количество моделей экспертных предпочтений и схем, пригодных для агрегированного представле­ния мнений разных экспертов, для определения степени из согла­сованности и компетентности для выработки практических решений.

В данной работе мы не будем касаться всех многочисленных аспектов этого направления. Нас будут интересовать только вопро­сы непосредственного построения интервальной шкалы измерения предпочтений управленцев-экспертов, кроме того, мы хотим разо­брать конкретный пример целевой функции для регионального планирования. Этот пример, хотя и является несколько условным, тем не менее дает вполне определенное представление о приклад­ных возможностях рассматриваемого подхода.

Необходимость математического описания предпочтений экспер­тов, принимающих плановые и управленческие решения, прежде всего вызывается растущими, сложностью и объемом информации, ее динамизмом, потребностью освободить экспертов от рутинной работы с помощью ЭВМ, автоматизированных систем управления.

Наивные представления о полном вытеснении человека машиной в процессах экономического управления уступили в настоящее время место стремлению создавать человеко-машин­ные диалоговые системы, в которых за человеком остается твор­ческая часть выработки решений и «последнее слово», а машина, обрабатывая большой объем информации, остается лишь его партне­ром и помощником.

В сложных процедурах принятия плановых решений ЭВМ может помочь и в уточнении самих предпочтений человека. Как известно, человек ошибается гораздо чаще, чем машина, хотя в общем и знает, чего он хочет. Машина же, обрабатывая информацию о действиях эксперта, может смоделировать, восстановить его целе­вую функцию и показать далее, какие решения будет принимать человек и к чему они могут привести. Эксперт, видя последствия принимаемых им решений на основе сложившегося предпочтения, может пересматривать его, уточнять, так что человеко-машинная система становится самосовершенствующейся. Разумеется, для того чтобы машина могла восстанавливать предпочтения эксперта, человека, необходимо, чтобы сам человек заложил в нее некоторую модель своего поведения.

Целевая функция, описывающая предпочтение субъекта или эксперта, характеризует уровень удовлетворения его потребностей или степень оценки им данной альтернативы. Однако можно срав­нивать качество альтернатив друг с другом и с помощью некоторых «индикаторов», не обязательно отражающих всю структуру пред­почтения, а полученных при некоторых дополнительных предполо­жениях, уменьшающих общее число возможных альтернатив, нало­жением некоторых структурных условий. Так, например, можно сравнивать уровни удовлетворения материальных потребностей населения в разных районах по потреблению мяса, однако никто не будет считать целью материального потребления увеличение сред­недушевого потребления мяса, которое может быть индикатором уровня потребления лишь при определенной структуре всего потреб­ления. Особенно часто возникает ситуация установления соответ­ствующего индикатора, когда необходимо оценить и сравнить уров­ни сложившихся состояний с точки зрения некоторых нестрого формализованных критериев «социально-экономического развития», «общего прогресса» и т. д. Именно эти случаи рассматриваются ниже в примерах на восстановление предпочтений экспертов.

Рассмотрим ситуацию, в которой плановику-эксперту приходится принимать решение, и опишем ее формальную сторону математи­чески.

Пусть состояния объекта, оптимизируемые планово-управленче­скими решениями, характеризуются набором переменных (векто­ром) х = (х₁, х₂,..., х_п). Пусть эксперт имеет «плановое» предпоч­тение, описываемое интервальной целевой функцией и(х), заданной на множестве состояний х X. Предполагается, что эксперт спосо­бен из любой пары состояний х¹ и х² выбрать «лучшие», т. е. выска­зать, на каком из них ИФП принимает большее значение. Кроме того, предполагается, что, как было отмечено в п. 4.1, эксперт может указать и эквивалентные изменения отдельных переменных, соответ­ствующие равным изменениям целевой функции. Первое предполо­жение позволит по наблюдениям за «поведением» определить по­рядковую функцию Q(x), второе предположение даст возможность сделать ее интервальной. Мы рассмотрим оба эти этапа раздельно.

Поведением эксперта и в том, и другом случае будут ответы на вопросы специальной анкеты, хотя можно учитывать и его реальное поведение в процедурах принимавшихся решений. Основ­ным методом для восстановления порядковой полезности служит разработанная Л. Терстоуном и развитая многими за­рубежными и российскими учеными процедура парных сравнений. В ее основе лежит попарное упорядочение объектов и приписывание на базе этого каждому из них некоторого числа. Предполагается, что по значениям векторов состояния хⁱ и х^j экс­перт «подсознательно измеряет» значения функции u' = и(х'), u^j = u(х^j) и, «сравнивая» их между собой, говорит, какой из объектов «лучше». Однако «вычисление» значений и' и u^j эксперт производит с ошибкой, так что вместо истинных значений будут сравниваться значения (и' + ¹) и (u^j + ^j), где ¹, ^j — соот­ветствующие «ошибки измерения» эксперта. Если предположить, что ошибки ¹, ^j независимы и распределены нормально с равной (полагаемой равной единице) дисперсией и нулевым математи­ческим ожиданием, то можно воспользоваться аппаратом теории вероятностей и вычислить по многократным наблюдениям наиболее вероятные значения и' и u^j, которые оказываются математическими ожиданиями нормально распределенных величин (и' + ) и (u^j + ). Фактически в этой схеме предполагается, что величины полез­ности и измеряются числом. Если это не так, т. е. если шкала поряд­ковая, то схема позволит определить этот порядок, а дальнейшее уточнение шкалы необходимо осуществлять дополнительно.

Если указанные предположения выполняются, то при сравне­нии двух состояний хⁱ и х^j объект i будет признан экспертом лучше объекта j, когда (и' + ⁱ) (u^j + ^j), т. е. ^{i j} + (u^j - и'). В этом случае соответствующая вероятность, обозначаемая р_ij будет задаваться формулой

р_ij = .

Вычислив этот интеграл, можно получить

р_ij = . (4.15)

где Ф () = находится по соответствующим таблицам.

о

Таким образом, вероятность того, что эксперт предпочтет объект i при сравнении его с объектом j, есть известная функция разности «истинных» значений полезности этих объектов. Функция эта — строго монотонная, изменяющаяся от нуля (когда объект j «бесконечно лучше» объекта i) до единицы (когда ситуация про­тивоположна). Однако в этих крайних случаях формулой пользоваться не очень удобно, так как небольшим изменениям значе­ния вероятности р_ij могут соответствовать слишком большие раз­ности «истинных» полезностей (u_j—u_i). Так или иначе, если объекты сравнивались не одним экспертом, а несколькими (ошибки которых подчиняются одному и тому же статистическому закону распределения), то можно принять в качестве оценки вероятности р_ij долю экспертов, предпочитавших объект i объекту j. Имея мно­жество объектов и соответственно пар сравнения, дающих оценки р_ij, можно решить систему, составленную из уравнений вида (4.15), и получить наиболее подходящие оценки значений полезностей на объектах и(х).

После этого нетрудно, задавшись каким-либо определенным ви­дом функции и(х), например квадратичной, найти ее параметры с помощью регрессионного анализа. В результате будет построена функция и (х), описывающая предпочтения экспертов. Лабораторией моделирования социальных факторов РАН были проведены экспериментальный опрос экспертов и обработка полученной информации, привед­шая к представлению предпочтений экспертов с помощью квадра­тичной функции полезности. Объектами были условные «регионы», а состояния их характеризовались значениями показателей: х₁ -месячный среднедушевой доход, х₂ — обеспеченность жилой пло­щадью на душу, х₃ — годовое потребление мяса на душу, х₄ — обеспеченность дошкольными учреждениями. Расчеты показали, что найденная целевая функция экспертов достаточно удовлетворитель­но характеризует их предпочтения.

Найденную функцию и(х) можно далее уточнить, доведя ее до интервальной W(x) спомощью дополнительного опроса экспер­тов и применения формулы (3.25), которую запишем в виде

W(x) = v [ (u(x)) ].

Рис. 4.4.

Функция (с) должна быть выражена через квадратичную функцию u(x(s)), что не очень удобно, если в качестве кривой x = x(s) брать кривую типа кривой Энгеля. Поэтому для нахожде­ния другого варианта приближения порядковой функции полезности можно воспользоваться «объективными характеристиками» сос­тояний регионов, считая, что мнение экспертов отражает именно это обстоятельство. А именно можно предположить, что состоя­ния регионов объективно упорядочены так, что поверхности без­различия функции полезности, а точнее, поверхности равных зна­чений индекса социально - экономического развития суть параллель­ные гиперплоскости в пространстве соответствующих переменных. Что касается реального расположения регионов в пространстве значений переменных, то можно считать, что они, имея тенденцию перемещаться с течением времени вдоль гра­диента целевой функции (см. п.4.3), каждый в разной степени переместились в этом направлении, так чтоэллипсоид статистического их рассеивания имеет в ка­честве своей главной оси именно это направление. Основываясь на данной ин­терпретации наблюдаемых фактов «рассеивания» ре­гионов вдоль некоторого на­правления — главной ком­поненты, можно брать само значение главной компо­ненты в качестве характеристики уровня развития. В этом случае, для того чтобы построить интервальную функцию, необходимо каждому значению главной компоненты приписать новое интерваль­ное значение. Именно так была построена ИФП в данном иссле­довании.

Порядковая функция полезности, найденная методом главных компонент, оказалась следующего вида:

Q(x)= 0,587 x₁+ 0,459 x₂+ 0,405x₃+ 0,530 x₄.

В качестве кривой x = x(s) использовались четыре прямые, задаваемые уравнениями типа (3.14):

x = x^k(s) = х° + ,

где параметр s соответствует каждый раз приросту единствен­ной изменяемой компоненты k вектора х (рис. 3.4). Начальная точка имела компоненты: х° = (90, 9, 54, 20).

По функции Q(x) и начальной точке легко находятся четыре (по числу кривых x^k(s))линейные функции c = (s):

c = (s) = p_k s + ,

откуда s = ()^–1 (c) = .

В нашем случае они имеют вид:

(4.16)

Теперь, если для каждого k удастся определить v^k(s) — ИФП параметра s, то можно будет построить четыре варианта ИФП, которые в идеальном случае должны совпадать:

u^k(s) = v^k (a^k + b^k).

Опишем процедуру опроса экспертов для нахождения функ­ций v^k(s), характеризующих уровень социально-экономического развития региона при фиксированных значениях трех (из четырех) компонент и при значении компоненты k, равном ( + s^k ). В этом случае экспертам предлагается рассмотреть N состояний «типич­ного» региона х°, х¹,..., х^N-1 отличающихся только значениями компоненты k: , + , + , …, + , и указать, какие должны быть изменения в значениях k -й компоненты , j = 1, 2,..., N —1 каждого из состояний, чтобы компенсировать увеличение уровня социально-экономического развития за счет из­менения компоненты k в состоянии х° на . To есть требуется определить набор из N эквивалентных (в смысле приращения ин­декса социально-экономического развития) величин параметра s^k:

~ ~…~ .

Предположим, что вблизи выделенных точек можно воспользо­ваться кусочно-линейной аппроксимацией функции v(s), как об этом говорилось выше. Тогда, опросив экспертов, задающих раз­ные значения эквивалентных приращений, можно усреднить вели­чины

= / по всем экспертам (i). В качестве при­мера приведем часть таблицы, в которую заносится информация, полученная от экспертов (табл. 3.2).

Таблица 4.2

Эквивалентные изменения среднемесячного душевого дохода при разных состояниях региона

Второй столбец табл. 4.2 дает разные начальные изменения параметра s: а следующие столбцы дают эквивалентные ему изменения дохода при другом уровне обеспечения . Деля каждую строчку на элемент в первом столбце, можно получить значения величин 1/ и затем q_i усреднить по всем экспертам:

.

Так как найдены значения функции q(s^l) только в точках , можно сгладить эти значения методом наименьших квадратов. Полагая, что функция q(s^l) — убывающая с коэффициентом экспонента, которая в точке равна единице, имеем

q(s^l) = e ^{- (Sl - )} . (4.17)

Параметр легко рассчитывается по точкам (, q_j):

= - .

Интегрируя затем (3.17), получим (для каждого из четырех индексов k)

. (4.18)

Подставляя в (3.18) вместо s^k его выражения через с, получим

, (5.19)

где через a^k и b^k обозначены соответствующие значения из соот­ношений (4.16).

Таким образом найдено четыре варианта интервальной функции полезности главной компоненты с. Поскольку получившиеся функ­ции u^k(c) разные, их необходимо усреднить, преобразовав пред­варительно каждую положительным линейным преобразованием так, чтобы в некоторой одной и той же «средней» точке s они все имели одинаковое значение и одинаковые производные (равные все, например, единице).

Найдем константы A^k и B^k линейного преобразования, приво­дящего функцию u^k(c) к нужному масштабу. Имеем в некоторой

точке с°:

(с°) = A^k u^k (с°) + B^k = 1 k, k (4.20)

Соотношения (3.19) и (3.20) дают:

A^k = , B^k = 1 - A^k u^k (с°). (4.21)

Окончательно получим:

u(c) = ,

u(x) = (0,587x₁ + 0,459 x₂ + 0,405 x₃ + 0,530x₄). (4.22)

В заключение обсудим методическую сторону проблемы построе­ния и использования ИФП типа (4.22). Прежде всего необходимо отметить исключительно важную роль экспертов и в методе парных сравнений для восстановления порядковой функции, и (особенно) при построении ИФП параметра кривой x(s). Как показывают эксперименты, опрашиваемые эксперты должны достаточно серьез­но относиться к решению своей задачи по заполнению анкеты. Ответы на вопросы анкеты не должны даваться между делом, в свободную минутку, как часто бывает, им надо уделять столько времени, сколько требуется для того, чтобы серьезно продумать аргументы, в соответствии с которыми ответ будет тот, а не другой. Предположение о том, что существует интервальная шкала для измерения некоторого индекса социально-экономического развития региона, автоматически предполагает существование ИФП v^k(s^k) = v^k(x_k — x_k⁰). Возможность экспертных оценок эквивалентных изме­нений переменной x_k в разных точках при условии убывания функ­ции q^k (x_k — x_k⁰) означает, что эксперт считает более значимым увели­чение уровня развития у менее развитых районов, чем у более развитых (при прочих равных), и может указать, в какой мере. Однако это не означает безусловной необходимости выравнивания значений индекса и независимо от значений других характеристик региона. Для того чтобы говорить о целевых функциях планиро­вания развития регионов, надо не только иметь информацию об «обобщенном потреблении», даваемую функцией и(x₁, x₂, х₃, х₄), но и информацию об «обобщенных затратах» — вкладе региона в экономическое развитие всей страны. Сопоставление по регионам этих индикаторов друг с другом может указать «истинное» поло­жение регионов и служить основой для формулировки региональ­ного критерия оптимальности.