Целевые функции экономического поведения

Моделирование потребительского спроса с

Помощью целевых функций

 

Наиболее известна и широко используется в самых различных экономико-математических моделях и прикладных исследованиях следующая модель поведения рыночного потребителя:

Q(x) max,

(p, x) s, x 0. (4.1)

«Потребителем» здесь является семья определенного типа, х — n-мерный вектор продукции, потребляемой в течение фиксирован­ного промежутка времени, р — вектор соответствующих цен, s — доход, Q(х) — порядковая функция полезности.

Данная модель представляет собой конкретизацию модели вы­бора из гл. 2 при явном задании допустимого множества альтер­натив (вариантов семейного потребления) с помощью цен р и дохода s. Простота делает модель особенно удобной при планиро­вании уровня жизни и расчетах возможного потребления (спроса) семей, когда экономические условия, в которых они находятся, — цены и доход — меняются известным образом. Однако определение функции Q(х), описывающей структуру потребительского предпоч­тения семьи, задача не совсем простая. Кроме того, до сих пор встречается негативное отношение к использованию подобных функ­ций полезности в плановых расчетах, аргументированное тем, что ориентироваться на сложившееся потребительское предпочтение не­правильно, потому что с точки зрения общественных интересов потребление населения должно быть не таким, как оно того хочет, а таким, каким ему надлежит быть.

По этому поводу можно заметить, что использование в эконо­мических расчетах для планирования или прогнозирования функций полезности вовсе не означает ориентации планирования на сложив­шуюся структуру предпочтения, которая в ряде случаев действи­тельно может приводить к нежелательным с точки зрения общества явлениям. Но что бы ни предпринимали плановые или какие-либо другие органы, население, группы, индивид всегда ведут себя так, как это соответствует их собственным предпочтениям и как это допустимо с точки зрения внешних условий, определяющих мно­жество возможных альтернатив X. Поэтому не принимать во вни­мание имеющееся предпочтение социально-демографических групп, значит закрывать глаза на реальность и принимать заведомо не­правильные плановые решения. Если же необходимо изменить сло­жившуюся структуру потребления каких-либо групп населения, то для этого есть только два метода: изменить условия, в которых находится группа (в нашем случае менять цены р и доход s), или изменять само предпочтение, функцию Q(x) с помощью соответ­ствующих воспитательных мер, рекламы, разъяснения и т. п.

Предложено большое число различных методов, позволяющих на базе статистики бюджетных обследований находить параметры функции Q(х). В основном все методы предназначены для построения уравнений поверхностей безразли­чия, хотя имеются и такие, которые при некоторых дополнительных предположениях дают возможность определять эту функцию более точно — с точностью до линейного преобразования.

Обозначим оптимальное решение задачи (4.1), т. е. рациональ­ное поведение потребителя, через х°. Пусть вектор цен не меня­ется, а доход данного потребителя принимает какие-то значения между s₀ и s₁:

s₀ s s₁. (4.2)

В этом случае поведение х° будет функцией от s: х° = х°(s), назы­ваемой функцией спроса. Зная вид этой функции, можно построить порядковую функцию полезности дохода

(s) = Q(х° (s)). (4.3)

Выражение (4.3) подчеркивает, что деньги, доход сами по себе ценности для потребителя не имеют, их «полезность» определяется лишь в той степени, в какой они могут быть превращены в потреб­ляемые продукты, вектор х°. Разумеется, такое представление о значимости денег для потребителя не всегда может быть достаточно справедливым. В ряде моделей предполагается, что и сама функция полезности и(х) зависит от дохода по крайней мере как от пара­метра: и(х) = и_s(х). Такое предположение, по-видимому, имеет смысл использовать только в том случае, когда допустимое множе­ство альтернатив не является множеством вида {х: х 0, (р, х) s},так как в теории полезности предполагается, что выбор определя­ется данным неизменным предпочтением (функцией полезности) для разных допустимых множеств альтернатив. Если же предпочте­ние меняется вместе с множеством, из которого делается выбор, то гносеологическая и содержательная ценность всей теоретической конструкции значительно снижается.

Если функция Q(х) строго выпуклая, то решение задачи (3.1) единственно (поведение потребителя определяется однозначно) и кривая х = х°(s) пересекает поверхности безразличия Q(x) = const только в одной точке.

С ростом величины s множество допустимых наборов потребле­ния «увеличивается»:

{х: х 0, (р, х) s} {х: х 0, (р, х) s’} при s < s’.

По этой причине и в силу положительности частных производных оптимальное значение Q(x°) тоже строго увеличивается (на «большем» множестве максимальное значение функции боль­ше, чем на «меньшем» множестве, содержащемся в «большем»). Но это означает, что (s) растет с ростом s. Поскольку любое монотонное преобразование функции Q (х) оставляет ее функцией полезности (порядковой), то любая строго возрастающая функция может играть роль «функции полезности дохода s».

Ситуация оказывается аналогичной разобранной в п. 3: между значениями дохода s и величинами с, определяющими поверхности безразличия, имеется взаимно однозначное соответствие:

c = (s), s = (c).

Кривая х = х°(s) (рис. 4.1), как кривая в пространстве Е_п по­требительских благ, называется кривой Энгеля. Изучению этих кривых посвящено много работ, в частности, они используются в моделировании экономики на государственном уровне для выявления глобальных целевых функций.

Как перейти от порядкового измерения полезности к количе­ственному? Может показаться, что поскольку каждому значению с функции порядковой полезности (Q(x) =с) соответствует ровно одно значение дохода s, а доход измеряется в числах, то, взяв в качестве меры полезности рубли, мы получим сразу количественное выражение полезности в рублях:

s(x) = [Q(x)]. (4.4)

Выражение (4.4) можно назвать «компенсированным доходом», потому что содержательно величина s(х) равна тому количеству дохода s, которое может гарантиро­вать потребителю достижение уровня удовлетворения потребностей (уров­ня полезности), не меньшего, чем набор х: Q(х). Можно показать, что

s(x) = (4.5)

Рис.4.1.

Вообще говоря, функцию (4.5) можно принять в качестве функции полезности, если стремиться к «есте­ственной» мере порядковой полез­ности, но это совершенно не даёт никаких прав считать s(x) числовой или интервальной функцией полезности. В самом деле, если предпочтения потребителя описываются интервальной функцией полезности, то для него существует отношение порядка на переходах от уровня потребления х куровню потребления х'. Например, может иметь место

x- (4.6)

Однако нет никакой гарантии, что всякий раз, когда имеет место отношение предпочтения (4.6), будет выполняться

(4.7)

В частности, пусть s(x) = 3000 руб., s(у) = 1000 руб., s(х') = 3150 руб., а s(y') = 1100 руб. Тогда

= 150 руб. > 100 руб. = s(y') – s(y).

Поскольку предполагается, что рассматривается один и тот же потребитель (функция полезности одна и та же при разных уров­нях дохода) в разных состояниях в смысле его дохода, то, не­смотря на превышение прироста большего его дохода (150 руб.) над приростом меньшего дохода (100 руб.), более предпочтительными могут оказаться именно 100 руб., а не 150. В результате между тре­бованиями (4.6) и (4.7) возникает явное противоречие. Кроме того, известен такой экономический факт, что прирост дохода на 1 руб. тем меньше значим для потребителя, чем больше сам доход. Этот факт описывается на экономико-математическом языке как падение предельной полезности дохода при его росте. Под предельной по­лезностью дохода понимают объективно обусловленную оценку (множитель Лагранжа) бюджетного ограничения задачи (4.1). Как и прямое решение задачи (4.1) х°, двойственное решение ° будет функцией дохода:

° = °(s). (4.8)

При некоторых естественных предположениях двойственная оценка совпадает с производной оптимального значения целевой функции задачи (4.1) по правой части ограничения s, поэтому

°(s) = ’(s) = . (4.9)

Как было отмечено, величина

’(s) = °(s) > 0, (4.10)

и эмпирически установлено, что °(s) = tg убывает с ростом s (рис. 4.2).

Ввиду важности этого факта как в прикладном, эмпирическом плане, так и в чисто теоретическом (он будет использован в формально-математических доказательствах п.6), придадим ему вид самостоятельной леммы.

Рис. 4.2

Лемма 4.

Пусть целевая функция Q(х) модели (4.1) имеет строго положитель­ные частные производные, строго выпукла, вектор р > 0, а оптимальное решение х° — тоже строго положительный вектор. Тогда двойственная оценка ° бюджетного ограничения — строго убывающая функция дохода s: ° = °(s), так что

s¹ < s² °(s¹ ) > °(s² ).

Доказательство. Заметим прежде всего, что в силу строгой выпуклости функции Q(х) и строгой положительности вектора х° по теореме Куна — Таккера должно вы­полняться равенство

. (4.11)

Так как x°(s) – однозначная функция, значения которой меняются при изменении s, а - однозначная функция x°, а значит, и s, то из приведенного равенства (4.11) следует, что ° = °(s) есть однозначная функция s.

Пусть s¹ < s² , тогда Q(x°(s¹ )) - Q(x°(s² )) < 0. В силу строгой выпуклости функции Q(x) должно выполняться следующее соотношение:

x°(s¹ )) > Q(x°(s² )) - Q(x°(s¹ )) > 0,

которое с учетом (4.11) дает

°(s¹ )(p, x°(s² ) - x°(s¹ )) > Q(x°(s² )) - Q(x°(s¹ )).

Рассматривая разность Q(x°(s¹ )) - Q(x°(s² )), аналогичным образом получаем

°(s² )(p, x°(s¹ ) - x°(s² )) < Q(x°(s¹ )) - Q(x°(s² )).

Сравнение последних двух неравенств дает

°(s² ) < °(s¹ ).

Лемма доказана.

Таким образом, из факта падения предельной полезности дохода с его ростом следует, что возрастающие, но выпуклые вниз функции не могут быть приняты в качестве интервальной функции полезности дохода, так как для них функция будет возрастающей. Возникает естественный вопрос: а нельзя ли, основываясь на эмпирическом факте существования предпочтения на локальных приращениях дохода, явно выразить это предпочтение с помощью интервальной функции полезности дохода v(s)? Так как ситуация оказывается совершенно аналогичной рассмотренному ранее общему случаю восстановления ИФП, то ответ на данный вопрос положителен. Кривая Энгеля x⁰ = x⁰(s) позволяет получить функцию = Q(x⁰(s)), а значит, и функцию . Остается определить v(s) по формуле (2.33), предварительно найдя пределы эквивалентных приращений q(s)= , где и - эквивалентные приращения дохода при его уровнях и s. Определив их непосредственным опросом потребителя (или каким-либо другим способом), можно найти q(s), затем и v(s), после чего функция полезности u(x) восстанавливается по формуле .

Прежде чем рассмотреть иллюстрированный пример на эмпирическое определение интервальной полезности, выскажем несколько отдельных замечаний по поводу скептического отношения к самой идее существования и возможной операционализации концепции «измеримой полезности». В фундаментальной монографии П.Фишберна по теории полезности, в которой при основательном освещении математических вопросов прикладные аспекты затраги­ваются лишь вскользь, признаются недостаточными попытки опе­рационального определения «измеримых предпочтений» (хотя, по-видимому, сам автор готов в целом принять гипотезу их непо­средственного существования). Указывается три способа опера­ционализации с целью сравнения переходов х у, z w:а) сравнение лотерей, исходами которых с равными шансами являются (х, w) и (у, z); б) сравнение «замены» (х — а) на у с «заменой (z —а) на w, в) сравнение денежных доплат к (х — у) и (z—y), с тем чтобы получающиеся «полезности» уравновеши­вались полезностями исходов у и w.

Первое замечание, которое необходимо сделать, касается обще­го характера рассуждений по поводу операционализации, в резуль­тате которых будто бы можно доказать или опровергнуть возмож­ности выявления «измеримых предпочтений». По нашему мнению, говоря об операционализации, необходимо более конкретно указы­вать и альтернативы, и ЛПР, и ситуацию, в которой находится по­следнее, потому что в одних случаях данный способ может быть приемлем, а в других — совсем нет. В частности, мы рассматриваем ИФП по отношению к рыночному потребителю с целью прогнози­рования спроса, по отношению к экспертам, оценивающим индекс социально-экономического развития региона (см. 4.2), и по отноше­нию к экономике в целом.

Во-вторых, нельзя ни в коей мере забывать, что речь идет не об «абсолютной истине», а только о модели, о приближенной схеме, отражающей некоторые важные свойства поведения людей и облег­чающей его прогнозирование. «...Можно ли выбрать одно и только одно значение х, для которого (х долл. 0 долл.) ~ (100 000 долл. х долл.)? — пишет П. Фишберн — Если вы действи­тельно можете это, то я осмелюсь сказать, что ваше суждение о различиях является несколько более проницательным, чем у боль­шинства смертных». Автор этой фразы совершенно не хочет счи­таться с допустимостью приближенных моделей, описывающих ре­альность на уровне среднего, поскольку неопределенность при реальном выборе величины х никак не мешает использованию мо­дели, в которой она единственна.

В то же время имеющиеся факты могут указывать на проявле­ние «измеримых предпочтений» в некоторых типах поведения. Как уже упоминалось, известен факт падения предельных полезностей дохода (или значимости рубля для потребителя) с ростом дохода. Но каков содержательный смысл, например, такого соотношения:

(1800 руб.) < (1200 руб.)?

Это соотношение утверждает, что при сравнении единичных приростов доходов в 1800 и 1200 руб. первый прирост оказывается менее значим, чем второй. В рамках приводившейся выше модели поведения потребителя это означает, что соответствующие измене­ния в потребительских наборах тоже могут сравниваться.

Если рассматривать ИФП как модель отношения индивида к его возможным состояниям, то все три способа операционализации, приведенные выше, могут быть приемлемыми в зависимости от конкретной ситуации. Конечно, если оценка лотерей осуществля­ется с позиции «субъективных вероятностей», введение которых, на наш взгляд, имеет смысл только при моделировании индиви­дуального поведения, то здесь может быть что угодно. Однако если вероятность трактуется статистически как некоторая устойчивая характеристика массовых явлений, то индивиду будет заведомо выгоднее ориентироваться на среднее.

Операционализация через сравнение замещений, по-видимому, уже не должна никого смущать. В прекрасно написанной книге Р. Л. Клини и X. Райфа, посвященной целиком прикладным аспектам теории полезности, эта идея многократно и эффективно используется на конкретном материале. В частности, и третий спо­соб операционализации оказывается просто способом, позволяю­щим проводить соответствующие сравнения, например в процеду­рах экспертных оценок. Разумеется, в каждом конкретном случае сам вид соответствующего опроса должен быть тщательно раз­работан применительно к изучаемой ситуации.

Рассмотрим условный пример эмпирического определения функ­ции v(s). Основой для построения функции могут служить экви­валентные приращения доходов в начальной точке s₀ и в остальных точках s. Если бы каждый потребитель из некоторой группы по­требителей был в состоянии указать по отношению к некоторой последовательности { (s^k) } приращений дохода в точке s₀ последо­вательность почленно эквивалентных приращений в произвольной точке s>s₀, то можно было бы пытаться после статистической обработки непосредственно пользоваться формулами (3.33) и (3.25). Однако проводить опрос потребителей с целью получения инфор­мации об эквивалентных приращениях доходов весьма сложно, так как потребитель не всегда в состоянии дать правильный ответ. Все же возможен отбор некоторого количества «экспертов» из каждой группы потребителей, которые будут в состоянии дать не­обходимую информацию. Наконец, как уже отмечалось, можно представить саму проблему несколько в иной плоскости, считая, что речь идет об установлении «эквивалентных по справедливости» изменений доходов у групп, отличающихся по размерам дохода. В этом случае функция v(s) должна так упорядочивать группы потребителей, чтобы ее изменения в одной области могли указы­вать необходимые компенсирующие изменения доходов в другой.

Эквивалентные приращения необходимы для получения функ­ции v(s). На основании общих соображений, а также некоторого опыта опроса потребителей можно выделить два более простых случая. Первый случай заключается втом, что эквивалентные приращения оказываются пропорциональными самим величинам доходов, т. е.

. (4.12)

Очевидно, в этом случае v (s) = a+b и, во­обще говоря, мы получаем логарифмическую шкалу полезности доходов. Во втором случае равенство (4.12) не выполняется, но предел отношений эквивалентных приращений совпадает с самими отношениями:

.

В этом случае нет трудностей статистического определения пре­дела и достаточно для каждого s взять среднее из отношений (s₀)/ (s), приравняв его значению функции q(s). Так как в дей­ствительности надо найти приближенное выражение функции v(s), то нет необходимости иметь слишком большое число точек s^k, в которых сравниваются приращения доходов. Поэтому, вычислив значения q(s^k), можно аппроксимировать функцию либо кусочно-линейной, либо некоторой гладкой функцией, полученной, напри­мер, с помощью метода наименьших квадратов.

Отметим, что определяемая решением экстремальной задачи (4.1) предельная полезность дохода (s) и получаемая в резуль­тате статистической обработки данных специального опроса потре­бителей величина q(s) фактически представляют собой одно и то же. В самом деле, (s) = v ^/(s) (аналогично формуле (4.10), а q(s) = v'(s) / v (s₀). Поэтому

(s) = v (s₀) q(s).

Рассмотрим небольшой условный пример на вычисление функции v(s). Пред­положим, опрошено 10 «экспертов» — представителей групп семей, состоящих из 4 человек, из которых двое не работают, третий имеет среднемесячный заработок 10000 руб., а четвертый попеременно 8500, 13500, 17500, 25000, 35000 руб. В соответствии с этим среднедушевые доходы принимают значения:

s₀ = 4625 руб., s₁ = 5875 руб., s₂ = 6875 руб., s₃ = 8750 руб.; s₄= 11250 руб.

«Экспертам» предлагалось определить эквивалентные изменения в зарплате одного из членов семьи при двух уровнях этой зарплаты: 8500 и 13500 руб., 8500 и 17500; 8500 и 25000; наконец, 8500 и 35000руб. Конкретно, они должны были ответить на вопрос: на сколько надо увеличить зарплату в 13500 руб., чтобы ее прирост был так же зна­чим для семьи, как прирост зарплаты от 8500 до 9000 руб.? Затем такой же вопрос ставился по отношению к уровням зарплаты в 17500, 25000 и 35000 руб. После этого опрос «экспер­тов» повторялся, но вместо уровня зарплаты в 90000 руб. он относился к уровню в 9500 руб. (10500 руб. и т. д.). Усредненные мнения «экспертов» относительно эквивалентных приращений представлены в табл. 3.1.

Величины q(s_i), i= 1, 2, 3, 4, вычисляем по формуле

.

Для табл. 3.1 q(s_i) равны соответственно:

q(s₁) =0,56, q(s₂) =0,37, q(s₃) =0,30, q(s₄) =0,23.

Таблица 4.1.

Доход Эксперты	s0	s1	s2	s3	s4
1 группа	500	800	1500	2000	2500
2 группа
3 группа

 

Вместе с очевидным значением q(s₀) = 1 мы имеем пять точек кривой q(s) (рис. 4.3). Методом наименьших квадратов можно найти параметры кривой второго порядка q(s) = a₀ + a₁s + a₂s², приближающей искомую функцию и проходящей через точку s₀ = 46,25, q(s₀) = 1. Для этого необходимо решить следующую задачу на условный экстремум:

,

= q(s_i) - a₀ - a₁s_i - a₂ ,

a₀ + a₁s₀ + a₂ = 1, i =4, 2, 3, 4.

Решив эту задачу, можно найти, что

a₀ = 37,83, a₁ = — 1,152, a₂ = 0,008.

Уравнение искомой кривой имеет вид

q(s) = 37,83—1,152 s + 0,008 s².

Теперь можно определить интервальную функцию полезности дохода:

v(s) = + [37,83(s — s₀) — 0,576 (s² — ) + 0,0026 (s³ — )].

Так как выбор констант и произволен, то можно их положить равными

, = (—37,83 s₀ + 0,57 — 0,0026 ) .

Тогда функция v(s) представится в виде

v(s) = s - .

Заметим, что не только доход может служить в качестве пара­метра кривой x(s), так что для него находятся эквивалентные приращения (s₀) и (s), равно увеличивающие функцию v(s) =u(x(s)). Можно использовать, например, такую кривую:

x = y(s) = . (4.14)

В этом случае изменяется зна­чение только одной переменной, а остальные значения фиксиро­ваны.

Рис. 4.3.

Функция v(s) тогда оказы­вается функцией полезности одного блага (уровни других благ заданы). В ряде случаев использование в качестве параметра самих некоторых переменных оказывается более удобным, так как экспертам проще говорить об эквивалентных изменениях переменных, а не об изменениях абстрактных параметров кривой.