Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Память» участников или «самосогласование»
Задача согласования логически может быть разделена на две части: определение способа согласования данных функций uk(x), k=1, 2,...,n; определение характера изменения формы согласования при изменении индивидуальных функций. Будем предполагать, что выполняется одно очень важное условие: оператор согласования, задающий коллективную целевую функцию F(u1,..., uk) = u(х), обладает тем свойством, что если сразу все участники не различают по предпочтению какие-то альтернативы а, b Х, то и коллектив в целом их не различает: ui (a)= ui (b) u(a) = u(b). (5.7) Разумеется, это условие выполняется, если оператор согласования удовлетворяет более сильному условию: ui(a) ui (b) u(a) u(b). (5.8) При выполнении указанного очень важного условия неравенство u(a) u(b) означает, что хотя бы для одного i {1, 2,..., п} имеет место ui (a) ui (b). Значит, при каждом данном наборе функций uk(x) значения функции и(х) зависят только от значений функций uk т. е. и(х) есть некоторая суперпозиция функций uk: и(х)=Ф(u1(х), u2(x),...,(un(x)). (5.9) В этом случае удобно от пространства значений переменных (х) перейти к пространству значений функций (uk), в котором можно геометрически представлять как поверхности безразличия функции Ф(u1,u2,...,un) так и отображение множества А Еn в множество UA = {uk: uk = uk(x), x X} (рис. 5.1.). Заметим, что если задано правило согласования F, удовлетворяющее сформулированному выше важному условию, то для каждого данного набора функций uk(x) заданы поверхности безразличия функции Ф(u1, и2,..., un), реализующие конкретно это согласование, т. е. задано решение первой части задачи согласования.
предпочтений участников порождает определенное агрегированное предпочтение коллектива. Поскольку реальные предпочтения участников могут меняться с течением времени, глобальное предпочтение также может меняться. При одном наборе uk(x) согласование будет характеризоваться с помощью функции Ф(u1, и2,..., un), при другом наборе vk(x) -функцией (v1,v2,...,vп). Вторая часть задачи согласования заключается в установлении связи между функциями Ф и .
Дескриптивная задача моделирования поведения коллектива имеет своей целью установление правил, в соответствии с которыми изменение глобального предпочтения следует изменениям отдельных предпочтений. В нормативном плане следует указать, как должно бы меняться поведение (и предпочтение) коллектива при изменении предпочтений его членов. Представляется, что и в том и в другом случае необходимо рассматривать не абстрактные возможности изменения предпочтений, а те модификации, которые имеют смысл, которые реально возможны. Операциональный смысл потенциальной множественности предпочтений состоит прежде всего в их возможности изменения во времени. То, что участник остается «самим собой», несмотря на изменение его предпочтений, может интерпретироваться как наличие у него «памяти» о самом себе. Обычно изменение предпочтений происходит постепенно, по частям, поэтому можно предположить, что каждый участник в определенном смысле способен сравнивать свои состояния при одном предпочтении с состояниями при другом предпочтении хотя бы для некоторых «близких» (в том или ином смысле) предпочтений. Возможность такого сопоставления, «согласования» своих различных предпочтений индивидом, а точнее, сравнения различных состояний при разных предпочтениях явно подразумевается в утверждении типа: «Жить теперь стало лучше, чем вчера», так как предпочтения «теперь» и «вчера» у индивидов могли весьма различаться. Фактически на этой же идее сопоставимости собственных предпочтений основана и схема соизмерения полезностей во времени с помощью коэффициентов дисконтирования. В самом деле, использовать коэффициенты для соизмерения можно лишь в том случае, когда «полезность благ» измеряется в одной и той же шкале; но так как функции полезности в разные моменты времени могут быть разными, то до соизмерения их надо выразить в единой шкале, т. е. соизмерить вне времени.
Конечно, по своей сути эта проблема в значительной степени является психологической, так как затрагивает не только изменение предпочтений, но и сохранение «я» индивида в этом изменении, проблему его памяти [24]. Можно считать, что необходимым условием сохранения личности или индивидуальности является возможность сопоставления своих удовлетворенностей во времени, наличие памяти о самом себе. Аналогично статистическая группа остается сама собой, если возможно соотносить характеристики ее удовлетворенностей «прежде» и «теперь». В случае невозможности такого соотнесения не имеет смысла говорить об одном индивиде или об одной группе, а надо говорить о разных индивидах, разных группах. В данной работе согласование интересов рассматривается в предположении возможности осуществления указанных сопоставлений. Перейдем к рассмотрению модели памяти произвольного участника. Уточним обозначения: множество альтернатив х Х будем считать односвязным компактом и неизменным; если u(х) обозначает некоторую фиксированную интервальную функцию полезности, а u(х)— любую функцию из того же класса ИФП, то u(х) = ku(х) + l, (5.10) где k и l—произвольные постоянные, причем k>0. Будем считать, что каждый класс ИФП вида (5.10) задается одним своим представителем иа(х), , так что между индикаторами и функциями uа(х) установлено взаимно однозначное соответствие. Множество представляет собой множество всех возможных целевых функций. Будем различать функции (5.10) по их индикаторам u (х), u (х),..., ,... w, так что u (х) и u (х) — некоторые выделенные функции классов . Память участника или самосогласование между классами предпочтений определяется с помощью двухместного упорядочения R1 и четырехместного R2 (относительно переменных х, y X): [х, u ] R1 [y, u ] [х° х1, u ] R2 [у° yl, u ]; x, y, х°, х1 , у°, yl X, . Вместо функций u (х), u (х) можно использовать любую другую функцию классов , определяемую формулой (5.10). Отношение R1 означает, что состояние х Х при ИФП u (х) не хуже состояния у Х при ИФП индивида u (х). Отношение R2 выражает, что переход из состояния х° в состояние х1 при ИФП u (х) не хуже, чем переход от состояния у° к состоянию у1 при ИФП u (х). Если отношения R1 , R2 выполняются в обе стороны, то будем писать: [x, u ] ~ [y, u ] [х х1, u ] ~ [у yl, u ]. Основное предположение заключается в том, что порядки R1 и R2 определяются с помощью некоторого единого оператора F, заданного на функциях иа(х) со значениями fa (x) = F[u ]x, где fa(x) - непрерывная функция, так что имеют место: [х, u ] R1 [y, u ] f (x) f (y); (5.11) [х° х1, u ] R2 [у° yl, u ] f (х1) - f (х1) f (yl ) - f (y0 ). (5.12) Таким образом, оператор F переводит полезности u (х) и u (у) векторов х и у в единую шкалу, которую можно назвать «шкалой инвариантной полезности». Очевидно, должны быть заданы естественные условия связи между ИФП u , u и отношениями R1 и R2: [х, u ] R1 [y, u ] u (x) u (y); (5.11)' [х° х1, u ] R2 [у° yl, u ] u (х1) - u (х0) u (yl ) – u (y0 ). (5.12)' Кроме того, предполагается, что выполняется некоторое специальное условие сравнимости предпочтений, означающее существование для некоторых пар функций u (х) и u (х) эквивалентных (в смысле R1 и R2) пар альтернатив. Будем различать три модификации этого условия.
Условие полной сравнимости: существует два подмножества множества альтернатив: Х0, Х1 Х, элементами которых являются соответственно некоторые альтернативы x0, х1, , т. е. Х° = { x0, }, Х1 = { х1, }, так что выполняется: , , (5.14) что в силу основного предположения приводит также к соотношению . (5.15) Условие попарной сравнимости: для любой пары существуют альтернативы из X x0, х1, , x0, х1, , такие, что , , . Соответствующие пары функций будем называть сравнимыми. Условие опосредованной сравнимости: для любой пары существует конечное множество из М = М() функций (x), (x), …, (x), такое, что пары функций (x), (x), k = l, 2,..., М — 1, сравнимы, а все ak зависят от и , . Предполагая существование оператора F, прежде чем найти его явный вид, установим необходимые условия, которым он должен удовлетворять. Лемма 5. Значение оператора F на функциях u(х) есть интервальная функция того же класса, что и и(х). Доказательство. Необходимо доказать, что f(x)=ku(x) + l, k>0. (5.14) Сравнивая условие (5.11) с соотношением (5.11)', видим, что функция f(x) имеет одинаковые с u(х) поверхности безразличия и коэффициент k>0. Кроме того, сопоставляя условие (5.12) с формулой (5.12)', можно заметить, что всякий раз, когда в точках х , х , y , y X выполняется соотношение u(x ) - u(x°) u(yl) - u(y°), (5.15) выполняется и соотношение f(x ) - f(x°) f(yl) - f(y°). (5.16) Эквивалентность неравенств (4.15) и (4.16) означает также эквивалентность равенств f(x ) - f(x°) = f(y ) - f(y°) u(x ) - u(x°) = u(y ) - u(y°), откуда по доказанной лемме 2 следует, что должно выполняться соотношение (5.14). Таким образом, значение оператора F на функции u (х) есть линейная функция от u (х), т.е. F(u ) = ku (x) +l. Однако это не означает, что сам оператор является обыкновенной сложной функцией от u (х), поскольку для каждой из них коэффициенты k и l будут своими. В частности, когда рассматриваются функции из класса , можно записать: F[u (x)] = k(a)u (x) + l(a), . (5.17) Замечание. Очевидно, если оператор F[u (x)]задан, то оператор F' = Р • F(u ) + Q, где Р > 0 и Q — некоторые числа, будет задавать те же самые отношения R и R . Таким образом, и сам оператор тоже определяется с точностью до положительного множителя и слагаемого.
Лемма 6. Пусть порядки R и R задаются с помощью фиксированного оператора F и пусть выполняется условие попарной сравнимости. Тогда для каждой пары существуют константы и , с помощью которых могут описываться порядки R и R :
[x, ua ] R1 [y, uB ] uB (y) + , ua (x1 ) - ua (x0 ) [ uB (y1 ) – uB (x0 )]. (5.18) При этом константы определяются следующим образом: = , = ua (x0,a) - ub (x0,b ). (5.19) Доказательство. Пусть оператор F задан; тогда его значения на функциях ua(x) и ub(x) определяются в соответствии с леммой 5 как fa(x) = k(a) ua(x) + l(a), fb(x) = k(b) ub(x) + l(b), k(a) > 0, k(b) > 0. Для [х, ua ] [у, ub] должно выполняться k(a) ua(x) + l(a) k(b) ub(x) + l(b). (5.20) а для - . (5.21) Неравенства (5.20) и (5.21) означают, что существуют константы = , = , которые позволяют переходить от поверхностей безразличия одной функции ub(у) к поверхностям безразличия другой ua(х), т. е. что уровни удовлетворения интересов при разных ИФП сравнимы с помощью интервальной шкалы. Содержательный смысл констант легко выясняется, а их величины вычисляются, если выполняются условия полной сравнимости. В этом случае неравенства (5.20), (5.21) переходят в равенства: k(a) ua(хa,0) + l(a) = k(b) ub(yb,0) + l(b),
откуда непосредственно следуют выражения для и в (5.19). Таким образом, константа aопределяет отношение разностей ИФП в эквивалентных точках, а константа b— разницу в началах отсчета обеих шкал в масштабе одной из них. Оператор F при определенных условиях может быть задан конструктивно для всех функций сразу. Об этом говорит следующая теорема. Теорема 2. Пусть непрерывные функции ua (х) заданы на односвязном компакте x X. Пусть также отношения R1 и R2, удовлетворяющие условиям (4.11) — (4.13) и условию полной сравнимости, задаются с помощью оператора F(ua) = fa(x), a ua(х1,a) > ua(х0,a). В этом случае оператор выражается следующим образом: . Доказательство. Если оператор F существует, то по лемме 6 для каждой пары точек х, у и данных функций иа(х), ub (у) можно подобрать константы A и B (одни и те же для всех х, у) по формулам (5.19) так, что будет иметь место fa(x) иа (x) ub (у) +B. (5.23) Подставляя в неравенство (5.23) для значений иа и ub вместо A и B их выражения из (5.19), получим: иа (x) ub (у) + ua(х0,a) – ub(х0b)A, или иа (x) [ub (у) + ub(х0, b)] + ua(х0,a), или иа (x) - ua(х0,a) [ub (у) + ub(х0b)]. (5.24) Так как дробь в правой части неравенства (5.24) имеет положительные числитель и знаменатель, то неравенство (5.20) можно переписать в виде . (5.25) Таким образом, это условие выполняется всякий раз, когда выполняется неравенство f a (x) ≥ f b (x), а значит, и когда выполняется отношение [x, u a ]R , [y, u b ]. При этом в силу условия полной сравнимости эквивалентная точка х0,a остается одной и той же независимо от параметра b другой функции. Пусть теперь в произвольных точках х, , у, , выполняется fa () - fa(x) - fb(y). (5.26) По лемме 6 это неравенство эквивалентно неравенству ua () - ua(x) - ub(y) ], вкотором коэффициент А определяется по формуле (5.19). Подставим вместо него его выражение из (5.19): ua () - ua(x) - ub(y) ]. Как и в неравенстве (4.24), числитель и знаменатель дроби в правой части положительны. Поэтому . Добавляя и вычитая из числителя первой дроби u ,a (х 0,a), а из числителя второй дроби u b (х 0b) получим - - , (5.27) что оказывается эквивалентным неравенству (5.26). Обозначая через Ф[ua] оператор
Ф[ua]x = , можно заметить, что доказанные неравенства (5.25) и (5.27) означают справедливость следующих соотношений: fa(x) Ф[ua]x Ф[ub]y , fa () - fa(x) - fB(y) - Ф[ua]x - Ф[ub]y . Верным оказывается и обратное заключение. В самом деле, если выполняются правые неравенства, то неравенства f a (x) < f b (x) и f a () - f a (x) < f b ()- f b (y) не могут иметь места, так как в этом случае по лемме 6 и только что доказанному должны были бы нарушаться правые неравенства. Поэтому функции f a (x) и Ф[ua]x совершенно одинаково описывают порядки R и R . Так как эквивалентные точки х0,a, х1,a, не зависят от точек х0,b, х 1,b, то операторы F и Ф совпадают. Теорема доказана. Условия полной сравнимости автоматически обеспечивают согласованность констант между собой для любых пар функций. Действительно, пусть сравнение поверхностей безразличия функций , , задается, константами А, В, а, b, Е, D так, что: иа(х) = A иB(y) + B fa(x) = fB(y); (y) = a (z) + b (y)= (z); иа(х) = E (z) + D fa(x) = (z). Очевидно, должно выполняться: Е = аА, D = B + bA. (5.28) В то же время, в силу формул (5.22): A = , B = иа (х0,a) - A (х0,B); a = , b = (х0,B) - a (х0,x); E = , D = иа (х0,a) - E (х0,x). (5.29) С помощью (5.29) нетрудно убедиться, что (5.28) имеет место, значит, все константы согласованы друг с другом и оператор Ф[u] действительно может играть роль оператора F. Таким образом, если существует оператор F[ua], определяющий порядок R1 и R2, то его значения могут быть заданы формулой fa(x) = , , где х0,a и х0,a х1,a эквивалентны для всех . Лемма 6 показывает, как при согласовании в случае интервальных полезностей соизмеряются поверхности безразличия двух различных функций и переходы с одной поверхности на другую. Оказывается, соизмерение осуществляется простым пересчетом начала отсчета и масштаба функций и(х). По-видимому, разные способы задания порядков R и R могут приводить к различным операторам F(u), а в некоторых случаях такого оператора и вообще может не существовать. Теорема 2 фактически утверждает, что при выполнении условия полной сравнимости оказываются эквивалентными три способа описания «памяти» или «самосогласования»: в виде некоторого оператора F[u a ]; с помощью правил соотнесения кривых безразличия функций иа(х) и иb(х): иа = иb + ; с помощью оператора Ф [u a ]. Если выполняется только условие попарной сравнимости, то оператор Ф может быть определен несколько более сложным способом. Так как эквивалентные точки для каждой пары функций свои и не совпадают для разных пар, то необходимо сначала выразить уровни поверхностей безразличия всех функций через уровни поверхности безразличия одной из них, например через уровни поверхности безразличия функции иE(х). Константы Аа,E, Ва,E определены для всех функций иа(х), так что «эквивалентные» значения функций иа и иE должны удовлетворять равенству (индекс е у констант опущен) иа = Аа иE + Ва . Взяв две различающиеся альтернативы х°, х1 X, пусть для определенности иE(xl) > иE(х°), найдем для каждого величины иа,0 = Аа иE (х°) + Ва , иа,1 = Аа иE (х1) + Ва . После этого оператор Ф зададим следующим образом: Ф [ua] = (иа(х) - иа,0 ) / (иа,1 - иа,0 ). Можно показать, что этот оператор подобно предыдущему случаю полностью описывает порядки R1 и R2, когда они удовлетворяют условиям (4.11), (4.12), (4.11)' и условию попарной сравнимости. В случае выполнения только условия опосредованной сравнимости также может быть задана некоторая процедура, позволяющая находить оператор самосогласования.
|
|||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-19; просмотров: 219; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.81.221.121 (0.123 с.) |