Математическая постановка задачи синтеза модели cистемы и способов её использования

Такой подход к синтезу позволил формализовать закон сохранения целостности объекта, осуществить в модели взаимную трансформацию свойств объекта и свойств движения, сформировать формализованный принцип построения системы

Принцип системности. Для синтеза облика системы и способов ее использования, обладающей показателем потенциальной ЭП I(Q), необходимо и достаточно задать множество Q ÌR и функцию F(...), удовлетворяющих условию (2.1.1.)

А само соотношение (2.1.1.) целесообразно назвать уравнением синтеза, в общем случае с двумя неизвестными Q и F(...). Это уравнение формализует закон сохранения целостности. Новая трактовка проблемы синтеза системы порождает новый класс задач, решение которых и обеспечивает синтез облика и способов применения системы.

Задача А. Дано. Область из множества допустимых ПВС QÌR, множества допустимых состояний вектора возможностей V и вектора управления U, некоторое положительное значение показателя I(Q) (требуемое значение показателя ЭП).

Требуется определить функцию ,удовлетворяющую условию (2.1.1.)

Задача Б. Дано. Множество допустимых ПВС R, функция , некоторое положительное некоторое положительное значение показателя I(Q).

Требуется определить область из множества допустимых ПВС QÌ R, удовлетворяющую условию (2.1.1.)

Задача В. Дано. Область из множества допустимых ПВС Q ÌR, множества допустимых состояний вектора возможностей V и вектора управления U, функция .

Требуется определить вектор возможностей v(r)Î V и вектор управления u(r) Î U удовлетворяющих условию F(u(r),v(r),r)dr Þ .

Задача Г. Дано. Множество допустимых ПВС R, функция , вектора возможностей v(r)ÎV и управления u(r)ÎU.

Требуется определить область из множества допустимых ПВС Q ÎR,

удовлетворяющую условию F(u(r),v(r),r)dr Þ .

Такой подход к синтезу позволил конструктивно определить, что должны содержать и давать исследователю методология, методы и технология моделирования

Методология должна содержать условия, определяющие свойства множества требуемых пространственно-временных состояний системы Q

Методы должны содержать условия, определяющие переход из одного состояние в требуемое на множестве требуемых пространственно-временных состояний системы Q

Технология должна содержать условия реализации переходов из одного состояние в требуемое на множестве требуемых пространственно-временных состояний системы Q

Обычно система (объект) имеет определенный количественный состав, распределенный в пространстве с соответствующими зонами воздействия (влияния). Поэтому при непрерывном изменении времени условие (2.1.1.) будет задаваться в условиях формирования структуры системы и распределения функций между ее элементами при ограниченном количественном составе системы следующим образом.

(Множество G)

1. X Ì X ;

2. X X = 0,

3. X = X , J = [1, N*M*H];

X - требуемые состояния i - го элемента системы;

4. F(u (t), v (t), t)*X dt = I(t ),

где N, M, H - характеризуют количественный состав системы (объекта) не нарушая общности изложения для трёхмерного пространства; I(t )-показатель требуемой потенциальной эффективности применения разрабатываемой системы; [t , t ] =Т.

В каждой из N*M*H точек областями воздействия (влияния, взаимодействия) перекрывают соответствующие фрагменты контролируемого пространства. Один индекс характеризует распределение элементов по высоте (по слоям), а два других – распределение в каждом слое. Потенциал поля эффективности является производительностью системы, распределенной в пространстве. Поэтому необходимо установить зависимость производительности системы от ее пространственно-временных состояний, возможностей и управлений системы.

Для решения сформулированных задач, в первую очередь, необходимо установить факт существование интеграла (2.1.1.). Для этого подынтегральная функция - ППЭ -должна быть ограничена и иметь конечное число точек разрыва на множестве Q. Практическое рассмотрение свойств потенциала поля эффективности позволило установить факт удовлетворения условиям ограниченности и кусочно-непрерывности на множестве определения.

Важная особенность задач моделирования сложных систем (объектов) заключается в исследовании явления, зависящего от большого числа разнородных факторов. Каждый из этих факторов должен быть соответствующим образом отражен в уравнениях, описывающих процесс. Поэтому получаются зависимости, содержащие большое количество величин различной физической природы.

Простые физические идеи, составляющие содержание общих физических законов, предстают перед нами в форме чрезвычайно сложных уравнений потому, что простота исходных представлений неизбежно теряется при переходе к первоначальным величинам, в которых должны быть составлены основные уравнения задачи. Простые по своему физическому смыслу связи между первоначальными величинами можно установить только в самых элементарных случаях. В нашем случае это весьма затруднительно. Поэтому на основе разработанной методологии определяются свойства множества требуемых состояний системы и условия перехода из одного состояния в другое. На множестве этих состояний и условий перехода получаются уравнения и соотношения модели системы и модели её применения. Полученные уравнения и соотношения содержат определенный объём знаний о характере зависимостей между интересующими нас переменными. Но выражены эти знания в такой форме, что закономерности между переменными и производительностью системы в явном виде установить невозможно.

Таким образом, трудности, перед которыми мы стоим, обусловлены стремлением выразить общие физические законы и основные положения методологии в первоначальных, исходных величинах. Естественно, возникает вопрос, является ли этот шаг неизбежным и нельзя ли, вообще отказавшись от перехода к первоначальным величинам, исследовать задачу в тех переменных, которые соответствуют природе изучаемого процесса и непосредственно определяют эффекты, подлежащие рассмотрению. Систему уравнений, реализующую базовые зависимости достижения результатов использования системы от параметров движения, характеристик отдельных подсистем, ресурсов, количественного состава можно представить следующим образом:

A (u (r),v (r)) = В (u (r),v (r)), (2.2.1.)

где A(...) и B(...) операторы, отображающие множества пространственно-временных состояний системы (объекта), характеристики подсистем, ресурсов, количественного состава на числовое множество и определяющие эффект, существенный для исследуемого процесса. Данная система уравнений формируется на основе базовых зависимостей достижения результата в процессе функционирования и естественно-научных законов предметной области. Преобразуем систему (2.1.) к виду

A (u (r),v (r)) / B (u (r),v (r)) = K ,

l=l(l)G, где K - безразмерные коэффициенты (коэффициенты гомогенности).

Если K = 1, то обеспечивается требуемое размещение элементов системы и, соответственно, требуемое распределение производительности системы в пространстве. При таком рассмотрении процесса уравнение синтеза облика системы и способов ее применения преобразуется к виду:

K (t', t)l (t)dt = I(t'), (2.2.2.)

где l (t) - производительность ijf - го элемента системы в соответствующей области пространства t'Î[t ,t ].=Т.

Если определить K (t', t)= K (t', t), то уравнение (2.2.2.) преобразуется к системе N x M х H интегральных уравнений следующего вида

K (t',t)l (t)dt=DI (t') с ограничением DI =I , (2.2.3.)

Уравнение(2.2.3.) есть интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с ядром K (t', t). Это уравнение в общем случае не имеет решения. Из теоремы Пикара [2] следует, что если ядро и правая часть есть непрерывные функции, то в классе непрерывных функций интегральное уравнение может не иметь решения. В нашем случае, ядро K (t', t) есть (должно быть) функция K (t', t) = Тогда интегральное уравнение (2.2.3.) имеет решение, если правая часть абсолютно непрерывна, ее производная принадлежит пространству функций с интегрируемым квадратом [3]. Что касается корректности задачи, то исследования показали, что ограниченные изменения меры гомогенности системы - ядра интегрального уравнения - приводят к ограниченным изменениям решения. Уравнение Фредгольма 1- го рода описывает процесс для t'Î[ t ,t ] =Т. То есть для параметров движения объекта, характеристик состояний агрегатов и подсистем соотнесенных с состояниями, фиксированными в промежуточной точке временного интервала. В соответствии с целью работы необходимо рассматривать состояния соотнесенные с конечным моментом времени. Поэтому конкретизация уравнения синтеза облика системы рассмотрена для интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода(2.3.) Уравнение Вольтерра 1-го рода всегда можно свести к уравнению Вольтерра 2-го рода

l (t )+ {[K (t ,t)] }/{[K (t ,t)] }l (t)dt =

={[DI ] /[K (t ,t )] }, (2.2.4.)

где элемент [K (t ,t)] - вторая, а элемент [K (t ,t)] - первая производная ядра при t = t . А если ядро интегрального уравнения (2.2.4.) в области определения имеет лишь конечное количество точек разрыва с одной и той же абсциссой t или с одной и той же ординатой t , ядро принимает нулевые значения при t > t , свободный член - непрерывная функция, то существует непрерывное и притом единственное решение уравнения (2.2.4.). Если ядро и свободный член интегрального уравнения квадратично - суммируемы, то существует, при том единственное, квадратично - суммируемое решение этого интегрального уравнения. [4] Это свойство позволяет поэтому в работе рассматривать вопросы построения модели системы (объекта), как формирование комплекса мероприятий по обеспечению требуемой производительности системы, распределенной в пространстве и времени, с позиций теорий интегральных уравнения и вариационного исчисления.

Для синтеза облика и способов применения системы оружия необходимо рассмотреть постановку задачи, основанную на решении интегральных уравнений, и установить возможность формирования требуемых облика и способа применения. А для получения наилучших значений характеристик облика и способа применения системы на множестве возможных значений необходимо рассмотреть постановку задачи, основанную на решении вариационной задачи. Что мы рассмотрим в следующей части работы.