Согласование интересов при наличии «памяти»

Участников

 

Вернемся к общей проблеме согласования. По-прежнему i будет индексом участников коллектива I = {1, 2,..., п}, индикатором , будем отмечать непрерывную ИФП участника i, , i I, задан­ную на компакте X

u_i = (x), x X, .

Примем три следующих предположения.

I. «Память» каждого участника описывается оператором само­согласования

F_i (u^a )_x = (x) = ,

где все х^а,0, как и все х^а,1, эквивалентны в смысле R₁ и R₂ (выполня­ется условие полной сравнимости).

II. Коллективная функция полезности (x) относится к классу ИФП и для каждого набора является сложной функцией, зависящей от х только через значения функ­ций u_i:

Требуется охарактеризовать свойства оператора согласования интересов п участников

F = (x) = и^а(х).

Более строго, необходимо, зная операторы памяти F_i и вид функции и^а(х) для некоторого фиксированного набора , уметь опре­делить вид функции для любого другого набора .

Сформулируем некий принцип, который позволит решить постав­ленную задачу. Пусть участники коллектива при данном наборе ИФП участников согласовали свои интересы определенным обра­зом — так, как считается «справедливым». Очевидно, изменение предпочтений у одного или нескольких участников, хотя и может привести к другой форме коллективного предпочтения, все же должно оставаться по-прежнему «справедливым», т.е. само изменение, например, весовых коэффициентов отдельных целевых функций именно тем и вызывается, что их неизменность означала бы нару­шение признанной «справедливости». Необходимость сохранения установленной «справедливости» при согласовании интересов и порож­дает принцип, который представляется удобным назвать принципом инвариантности компромисса, поскольку каждое согласование инте­ресов должно быть неким компромиссом.

III. Итак, принимается следующий принцип инвариантности компромисса. Пусть , , - два разных набора ИФП участников; в то же время пусть для любого i пары состояний х и , у и , а также пары пере­ходов x^l x² и y^l y², х³ х⁴ и у³ у⁴ эквивалентны в смысле «памя­ти», т. е.:

[х, ] ~ [ , ], [y, ] ~ [ , ] i,

[x^l x², ] ~ [y^l y² , ], [х³ х⁴ , ] ~ [у³ у⁴ , ] i, (5.30)

тогда выполнение неравенств

(x) (y), (x^l ) - (x² ) (x³ ) - (x⁴ ) (5.31)

влечет также выполнение неравенств

() (), (y^l ) - (y² ) (y³ ) - (y⁴ ) (5.32)

и наоборот.

Другими словами, характер коллективного предпочтения не должен меняться при изменении частных предпочтений, если рас­сматривать вместо прежних состояний или переходов новые, экви­валентные прежним для всех участников в смысле их «памяти». Интуитивно понятно, что, зафиксировав некоторое «коллективное мнение» для некоторого набора предпочтений участников, можно будет для любого другого набора в определенном смысле пере­нести прежнее предпочтение на эквивалентные состояния и переходы и тем самым однозначно получить новое «коллективное мнение». Это возможно сделать, если известны правила перехода от поверх­ностей безразличия функций (х) к эквивалентным поверхностям функций (y).

Теорема 2. Всякий оператор согласования интересов F[u_t, u₂,..., u_n], удовлет­воряющий условиям (I), (II), (III) и условиям теоремы 2, является некоторой сложной функцией от операторов самосогласования участников:

F[u_t, u₂,..., u_n]_x = [F₁ (u_t ) _x , F₂ (u₂ ) _x , …, F_n (u_n ) _x ],

причем F_i [ ] = , .

Доказательство. При каждом фиксированном наборе функций u_i(х) ИФП кол­лектива и(х) есть сложная функция f^a от u_i(х); рассмотрим эту функцию для набора :

= f^a [ (x), (x), …, (x)], , (5.33)

где u_i принадлежит отрезку = { u_i: min (х) u_i max (х)}, а u = (u_t, u₂,..., u_n) содержится в n -мерном параллелепипеде

L^a = ... .

Если существует оператор согласования, значит определены все функции fa (ut, u2,..., un), каждая в некоторых точках своего параллелепипеда La. Пусть для набора согласование дается сложной функцией fB (, ,..., ), а переходы от функции к функциям определяются оператором самосогласования, так что

() =A_i (х)+ В_i,

() = A_i (y) + В_i и т.д., (5.34)

где А и В — константы, задаваемые формулами (4.19); индексы у констант мы опускаем ради упрощения записи. Тогда условие инвариантности (4.31) — (4.32) для наших функций можно переписать в следующем виде:

f^a ( (х), …) f^a [ (y), …] f^B [A₁ (х) + В₁ , …] f^B [A_i (y) + В₁ , …];

f^a [ (x^l), …] - f^a [ (x²), …] f^a [ (x³), …] - f^a [ (x⁴), …]

f^B [A₁ (x^l) + В₁ , …] - f^B [A₁ (x²) + В₁ , …] f^B [A₁ (x³) + В₁ , …] - f^B [A₁ (x⁴) + В₁ ,…]

Здесь х, у, х1, х2, х3, x4 X суть все те значения переменных, на которых выполняются равенства (4.34), т. е. можно считать, что выполняются условия теоремы 2. Поэтому можно считать, что на этих значениях выполняются равенства

L + K f^B [A₁ (x) + В₁ , …] = f^a [ (x), …], k > 0.

Подставив вместо констант Ai, Вi их выражения, получим

A_i (х) + В_i = (х) +

+ () - () =

= [ (х) - () + () =

= (x)[ () - ()] + ().

Так как при фиксировании индикатора мы получаем вполне определенные значения () и (), то функция f^B зависит только от . Если теперь дополнительно для данного набора полезностей установить такие масштабы измерения и точки начала отсчета, чтобы () = 0; () = 1 (что всегда можно сделать в силу интервальности шкалы), то получим

f^a ( (x), (x), …, (x)) = f^B ( (x), (x), …, (x)) .

Теорема доказана.

Отсюда следует, что, вообще говоря, согласование может опре­деляться любой непрерывной функцией п переменных, надо только определить согласование какого-то начального набора функций , ..., , а затем либо переносить этот вид согласования на случай других функций (когда области определения f^a и f^B будут одинаковы), либо дополнительно определять форму согласования. Так как оператор согласования - это одна и та же функция от операторов , то значения последних — (x) - действительно могут называться «инвариантными полезностями».

Важнейшим условием, позволяющим получить необходимый ре­зультат, было предложение о том, что все пары функций (х) и (y), х, у X сравнимы, т.е. существуют такие различные пары точек х°, х1 и у°, у1 из X, что (x°) = (y0); (х1) = (у1), причем

(x°) (x[); (y°) (у1). Ослабление этого условия (условия полной сравнимости) приводит к изменению лишь формы само­согласования Fi. Характер процедуры общего согласования остается прежним.

В заключение приведем некоторые соображения по поводу прак­тического определения «памяти» или «самосогласования» на базе специальной статистической информации. Еще раз подчеркнем, что развиваемая в данной работе концепция имеет целью разра­ботку аппарата не для всех ситуаций согласования интересов, а только применительно к случаю экономико-математического мо­делирования в планировании, когда согласовываются не интересы участников абстрактного «коллектива» или «общества», а целевые функции определенных социально-демографических групп насе­ления в задачах оптимального планирования. В частности, если в момент времени t принимается согласование целевых функций в виде функционала T_t (,..., ), то надо уметь определить и функционал согласования T_t+1 (,..., ). Изменение «вкусов» и предпочтений (функций ) с течением времени неизбежно при­водит к необходимости сопоставления прежних предпочтений с но­выми при учете в планировании на перспективу «поведения» выде­ленных групп.

Таким образом, при планировании на перспективу (до учета фактора дисконтирования в чистом виде) необходимо: 1) прогно­зировать изменения, которые произойдут в целевых функциях со­циально-демографических групп; 2) произвести сравнение новых предпочтений со старыми.

Первая задача сводится к прогнозированию параметров целевых функций , которое позволит определить вид функций . Вторая задача требует для каждой группы указать, какие значения ее целевой функции эквивалентны (в смысле «самосогласования») различным значениям целевой функции .

Как было показано, наличие «памяти» или «самосогласования» в условиях интервальной шкалы полезности означает существова­ние линейного преобразования, переводящего значения целевых функций в эквивалентные им значения функций :

= A_i + В_i .

Таким образом, для каждой группы необходимо эксперимен­тально определить две константы: A и B.

Процедуру определения этих констант можно представить себе в следующем виде. Путем специального опроса сначала опреде­ляются наборы состояний , ,..., и , ,..., , k = l, 2,..., К, которые группа считает эквивалентными (в смысле «самосогласо­вания»), т. е.

[ , u^t ] ~ [ , u^t+1 ], l =1, 2,..., s_k, m=1, 2,..., r_k,

здесь k — номер соответствующего наблюдения, устанавливающего пару эквивалентных значений функций и . Усреднения по всем состояниям x и у позволят определить эквивалентные средние значения:

, k = 1, 2, …, K.

Очевидно, должны выполняться соотношения:

k = 1, 2,..., К.

Последние соотношения означают, что константы А и В могут быть определены как коэффициенты соответствующей линии регрессии, определяемой совокупностью точек (пар значений) . К сожалению, мы не располагаем экспериментальными данными, с помощью которых можно было бы оценить эти константы.