Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла

Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу вычисления площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла. Наконец-то все ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.

Для успешного освоения материала, необходимо:

1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Неопределенный интеграл. Примеры решений.

2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа, поэтому актуальным вопросом будут также ваши знания и навыки построения чертежей. Как минимум, надо уметь строить прямую, параболу и гиперболу.

Начнем с криволинейной трапеции. Криволинейной трапеция - это плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции y = f (x), осью OX и линиями x = a; x = b.

 

 

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу

.

У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений мы говорили, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ. То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Рассмотрим определенный интеграл

.

Подынтегральная функция

задает на плоскости кривую (её при желании можно начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

 

Пример 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Это типовая формулировка задания. Важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. С техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций. Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

В данной задаче решение может выглядеть так.

Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение y = 0 задает ось OX):

Штриховать криволинейную трапецию не будем, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке [-2; 1] график функции y = x ² + 2 расположен над осью OX, поэтому:

.

Ответ: .

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница

,

обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений. После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 4, x = 2, x = 4 и осью OX.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

 

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью OX?

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = e^-x, x = 1 и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж:

 

 

Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью OX, то её площадь можно найти по формуле:

.

В данном случае:

.

Ответ: .

 

Внимание! Не следует путать два типа задач:

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

 

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

 

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 2 x – x ², y = - x.

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. При построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы y = 2 x – x ² и прямой y = - x. Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

.

Значит, нижний предел интегрирования a = 0, верхний предел интегрирования b = 3. Часто выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

 

Повторимся, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматоматически».

 

А теперь рабочая формула:

Если на отрезке [ a; b ] некоторая непрерывная функция f (x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g (x), то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке [0; 3] парабола располагается выше прямой, а поэтому из 2 x – x ² необходимо вычесть – x.

Завершение решения может выглядеть так:

 

Искомая фигура ограничена параболой y = 2 x – x ² сверху и прямой y = - x снизу.

На отрезке [0; 3] 2 x – x ² ≥ - x. По соответствующей формуле:

.

Ответ: .

На самом деле, школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. пример №3) – частный случай формулы

.

Поскольку ось OX задается уравнением y = 0, а график функции g (x) расположен ниже оси OX, то

.

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения

 

Пример 5

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

, .

 

Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

, .

 

В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но, по невнимательности,… найдена площадь не той фигуры.

Далее, реальный случай:

 

Пример 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике, по невнимательности, нередко решают, что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке [-1; 1] над осью OX расположен график прямой y = x +1;

2) На отрезке [1; 3] над осью OX расположен график гиперболы y = (2/ x).

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

 

Пример 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, .

Представим уравнения в «школьном» виде

, .

и выполним поточечный чертеж:

 

 

Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: b = 1.

Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое?

Может быть, a =(-1/3)? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что a =(-1/4). А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения графиков

и .

Для этого решаем уравнение:

.

, .

Следовательно, a =(-1/3).

Дальнейшее решение тривиально. Главное, не запутаться в подстановках и знаках. Вычисления здесь не самые простые. На отрезке

, ,

по соответствующей формуле:

Ответ:

В заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.

 

Пример 9

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, , .

Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.

Для поточечного построения чертежа необходимо знать внешний вид синусоиды. Вообще, полезно знать графики всех элементарных функций, а также некоторые значения синуса. Их можно найти в таблице значений тригонометрических функций. В ряде случаев (например, в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.

С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия:

– «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:

На отрезке [0; π] график функции y = sin³ x расположен над осью OX, поэтому:

(1) Как интегрируются синусы и косинусы в нечетных степенях, можно посмотреть на уроке Интегралы от тригонометрических функций. Отщипываем один синус.

(2) Используем основное тригонометрическое тождество в виде

(3) Проведем замену переменной t = cos x, тогда:

Новые переделы интегрирования:

У кого совсем плохи дела с заменами, прошу пройти на урок Метод замены в неопределенном интеграле. Кому не очень понятен алгоритм замены в определенном интеграле, посетите страницу Определенный интеграл. Примеры решений.

.

(4) Здесь мы использовали свойство определенного интеграла

,

расположив пределы интегрирования в «привычном» порядке

Ответ: .

 

Пример 10

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, , .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ ниже.

 

Рассмотрим интересный пример с арккотангенсом:

 

Пример 11

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

;

и координатными осями. Полного решения не будет. Правильный ответ:

.

 

 

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Выполним чертеж:

 

 

На отрезке [2; 4] график функции y = 4/x расположен над осью OX, поэтому:

.

Ответ:

Примечание: В задачах на нахождение площадей преподаватели часто требуют записывать ответ не только точно, но и, в том числе, приближенно.

 

Пример 5: Решение: Выполним чертеж:

На отрезке [-1; 3], , по соответствующей формуле:

.

Ответ:

Пример 6: Решение: Выполним чертеж.

На отрезке [1; 3], (4- x)≥(3/ x), по соответствующей формуле:

.

Ответ:

 

Пример 10: Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

.

Ответ:

.

Примечание: обратите внимание, как берется интеграл от тангенса в кубе, здесь использовано следствие основного тригонометрического тождества

.

Далее в интегралах использован метод подведения функций под знак дифференциала (можно использовать замену в определенном интеграле, но решение будет длиннее).