Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Подведение числителя под знак дифференциала
Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или (коэффициенты a, b и f не равны нулю). То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?
Пример 14 Найти неопределенный интеграл . Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм. 1) Когда дан интеграл вида или (где коэффициенты a, b и f не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор. 2) Сформируем числитель подынтегрального выражения тождественными преобразованиями (выразим числитель через знаменатель). Для этого пока просто заключаем выражение, которое находится в данном примере в знаменателе (неважно – под корнем или без корня), под знак дифференциала: . 3) Раскрываем дифференциал: . Смотрим на числитель нашего интеграла: Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, 3 x. В данном случае с подходящим множителем получится: . 4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал: Снова смотрим на числитель нашего интеграла: . Уже ближе, но у нас получилось не «то» слагаемое (+2), а другое: (+3/2). 5) К нашему дифференциалу приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции: . – Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять) наше «не то» слагаемое: – Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала: – Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить) константы: . 6) Выполняем проверку: У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно. Чистовое оформление решения выглядит примерно так: (1) Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме. (2) Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать (3) Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов.
(4) Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу (константу C припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе). Остальное дело техники. И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.
Пример 15 Найти неопределенный интеграл .
Пример 16 Найти неопределенный интеграл .
Для решения Примеров 15 и 16 будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в нашей справочной таблице: . Как видите, интегрирование дробей - дело кропотливое, часто приходится применять искусственные приемы и подборы. Но что делать… Существуют и другие виды дробей, так называемые дробно-рациональные функции, они решаются методом неопределенных коэффициентов. Но это уже тема урока Интегрирование дробно рациональных функций.
Решения и ответы: Пример 2: Решение: .
Пример 4: Решение: .
Пример 7: Решение:
Пример 8: Решение: .
Пример 10: Решение: .
Пример 13: Решение: .
Пример 15: Решение: Пример 16: Решение: .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 159; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.19.31.73 (0.009 с.) |