Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла. Тригонометрическая подстановка
Это очень важная задача, поскольку будет рассмотрен типовой интеграл и приём решения, который неоднократно встретится в будущем. Но сначала небольшое напоминание по уравнению окружности. Уравнение вида задаёт окружность с центром в точке радиуса . В частности, уравнение задаёт окружность радиуса с центром в начале координат, в точке (0; 0).
Пример 4 Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью с уравнением . Выполним чертёж:
Сначала вычислим площадь круга с помощью известной школьной формулы. Если радиус круга , то его площадь равна: S = π∙r 2 = π∙ 22 = 4 π ед 2. Для того, чтобы вычислить площадь круга с помощью определенного интеграла, необходимо из уравнения выразить функцию «игрек» от «икс» в явном виде: Верхняя полуокружность задается уравнением . Нижняя полуокружность задается уравнением . Можно подставить несколько точек окружности в эти уравнения и убедиться в справедливости вышеизложенных утверждений. Как вычислить площадь круга? В данном примере круг симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно вычислить площадь одного сектора в 1-ой четверти (заштрихован синим цветом), а затем результат умножить на 4. Таким образом: . Такой же, но неопределенный интеграл рассматривался в Примере 6 раздела Сложные интегралы, он решался длительным и трудоёмким методом сведения интеграла к самому себе. Можно пойти тем же путём, но для определенного интеграла существует удобный и эффективный метод тригонометрической замены: Проведём замену: Почему именно такая замена, очень скоро станет понятно, а пока найдем дифференциал: Выясним, во что превратится корень, который распишем очень подробно: . Если в ходе решения вы не сможете догадаться применить формулу наподобие , то, увы, получите: «Приходите в следующий раз». После преобразования корня отчетливо видно, почему проведена замена , особое внимание обращаем на коэффициент при синусе – «двойке», этот коэффициент нужно подбирать таким образом, чтобы при возведении в квадрат всё хорошо вынеслось за скобки и из-под корня. Осталось вычислить новые пределы интегрирования: Если , то . Новый нижний предел интегрирования: . Новый верхний предел интегрирования: .
Таким образом: . Площадь сектора необходимо умножить на 4, следовательно, площадь всей окружности: Вероятно, у некоторых возник вопрос, зачем вообще мучиться с интегралом, если есть короткая школьная формула S = π∙r 2? А дело в том, что возможность очень точно вычислить площадь круга появилась только с развитием математического анализа, хотя уже в древности Архимед площадь круга рассчитывал с приличной точностью. Разобранный пример можно решить в общем виде, то есть найти площадь круга, ограниченного окружностью произвольного радиуса: . В результате получится как раз формула S = π∙r 2! Следует отметить, что к решению данной задачи можно было применить и другой подход – вычислить площадь верхнего полукруга с помощью интеграла , а затем удвоить результат. Но в силу чётности подынтегральной функции решение сводится к оптимальной версии: . Еще раз подчеркнём важность проведенной тригонометрической замены, она встретится на практике не раз и не два. Поэтому, для закрепления материала, чуть - более сложное задание для самостоятельного решения:
Пример 5 Вычислить определенный интеграл . По условию требуется вычислить определенный интеграл, поэтому чертеж выполнять не нужно. Хорошо подумайте над коэффициентом в замене . Если возникнут трудности с интегралом после замены, вернитесь к уроку Интегралы от тригонометрических функций. Полное решение и ответ в конце урока.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 295; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.188.175.182 (0.007 с.) |