Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
Переходим к рассмотрению следующего типа дробей: , , , (коэффициенты a и c не равны нулю). На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом:
Пример 5
Пример 6 Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и как осуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачем выделяются квадраты в данных примерах. В частности, в Примере 6 сначала необходимо представить знаменатель (2 x 2-5) в виде , а потом подвести под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой . Попробуйте самостоятельно решить примеры №№ 7 и 8, тем более, что они достаточно короткие.
Пример 7 Найти неопределенный интеграл: .
Пример 8 Найти неопределенный интеграл: .
Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то Ваши навыки дифференцирования на высоте.
Метод выделения полного квадрата
Интегралы вида , (коэффициенты a и b не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата. На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения: или . Формулы применяются именно в таком направлении, то есть идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их, соответственно, в либо .
Пример 9 Найти неопределенный интеграл . Это простейший пример, в котором при слагаемом x 2 – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус). Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя: . Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать: Теперь можно применить формулу : После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход: , всё нормально, ошибок нет.
Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:
Пример 10 Найти неопределенный интеграл . Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока
Пример 11 Найти неопределенный интеграл . Что делать, когда перед x 2 находится минус? В этом случае нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем! Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку прибавить: Тут получилась формула , применяем: ВСЕГДА выполняем на черновике проверку: что и требовалось проверить. Чистовое оформление примера выглядит примерно так: Усложняем задачу.
Пример 12 Найти неопределенный интеграл: Здесь при слагаемом x 2 уже не единичный коэффициент, а «пятёрка». (1) Если при x 2 находится константа, то её сразу выносим за скобки. (2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами. (3) Очевидно, что всё сводится к формуле . Надо разобраться в слагаемом 2 ab, а точнее, найти величину b получить «двойку». (4) Как видим, здесь b = (2/5). Значит, к выражению прибавляем (2/5)2 = (4/25), и эту же дробь вычитаем. (5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить (7/5)-(4/25), но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма , и действие (7/5)-(4/25) выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже. (6) Собственно, можно применить формулу , только вместо «икс» у нас x +(2/5), что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию x +(2/5) следовало подвести под знак дифференциала: , но, как уже неоднократно отмечалось, этим часто пренебрегают. (7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:
Пример 13 Найти неопределенный интеграл . Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы, но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 220; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.156.250 (0.016 с.) |