Понижение степени подынтегральной функции

 

Данный приём работает, когда подынтегральные функции нафаршированы синусами и косинусами в чётных степенях. Для понижения степени используют тригонометрические формулы , и

, причем последняя формула чаще используется в обратном направлении, как: .

 

Пример 7

Найти неопределенный интеграл.

Решение:

В принципе, ничего нового здесь нет, за исключением того, что мы применили формулу , понизив степень подынтегральной функции. Обратите внимание, что мы сократили решение. По мере накопления опыта интеграл от cos2 x можно находить устно, это экономит время и вполне допустимо при чистовом оформлении заданий. В данном случае целесообразно не расписывать и правило , сначала устно берем интеграл от 1, затем – от cos2 x.

 

Пример 8

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.

 

Далее – пример с повышением степени:

 

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

.

Сначала решение, потом комментарии:

(1) Готовим подынтегральную функцию для применения формулы .

(2) Собственно применяем формулу.

(3) Возводим знаменатель в квадрат и выносим константу за знак интеграла. Можно было поступить несколько иначе, но так удобнее.

(4) Используем формулу .

(5) В третьем слагаемом снова понижаем степень, но уже с помощью формулы .

(6) Приводим подобные слагаемые (здесь мы почленно разделили и выполнили сложение ).

(7) Собственно берём интеграл, правило линейности и метод подведения функции под знак дифференциала выполняем устно.

(8) Причесываем ответ.

В неопределенном интеграле нередко ответ можно записать несколькими способами.

В только что рассмотренном примере окончательный ответ

можно было записать иначе – раскрыть скобки и даже сделать это до интегрирования выражения. То есть вполне допустима следующая концовка примера:

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример решается двумя способами, и у Вас могут получиться д ва разных ответа (точнее, они будут выглядеть совершенно по-разному, но с математической точки зрения являться эквивалентными). Скорее всего, Вы не увидите наиболее рациональный способ и помучаетесь с раскрытием скобок, использованием других тригонометрических формул. Наиболее эффективное решение приведено в конце урока.

 

Подытоживая параграф, сделаем вывод: любой интеграл вида , где n и m – чётные числа, решается методом понижения степени подынтегральной функции.

На практике мне встречались интегралы с 8 и 10 степенями, решать их приходилось ужасно долго, понижая степень несколько раз, в результате получались длинные-длинные ответы.

 

 

Метод замены переменной

 

Как уже упоминалось в статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле, основной предпосылкой для использования метода замены является тот факт, что в подынтегральном выражении есть некоторая функция и её производная :

(функции , не обязательно находятся под знаком интеграла в виде произведения).

 

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

.

Смотрим в таблицу производных и замечаем формулы , , то есть, в нашем подынтегральном выражении есть функция и её производная. Однако мы видим, что при дифференцировании косинус и синус взаимно превращаются друг в друга, и возникает вопрос: как выполнить замену переменной и что же обозначать за t – синус или косинус?!

Вопрос можно решить методом научного тыка: если мы неправильно выполним замену, то ничего хорошего не получится.

Общий ориентир: в похожих случаях за t нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.

Итак, запомнили:

.

Прерываем решение и проводим замену

;

.

В знаменателе у нас всё хорошо, всё зависит только от, теперь осталось выяснить, во что превратится .

Для этого находим дифференциал dt:

Или, если короче:

Из полученного равенства по правилу пропорции получаем нужное нам выражение:

.

Итак:

Теперь всё подынтегральное выражение у нас зависит только от t и можно продолжать решение

Готово. Напоминаем, что цель замены – упростить подынтегральное выражение. В данном случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице.

 

А сейчас два примера для самостоятельного решения:

Пример 12

Найти неопределенный интеграл

.

 

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

.

Полные решения и ответы в конце урока.

 

Пример 14

Найти неопределенный интеграл

.

Здесь опять в подынтегральном выражении находятся синус с косинусом (функция с производной), но уже в произведении, и возникает дилемма – что обозначать за t, синус или косинус?

Можно попытаться провести замену методом научного тыка, и, если ничего не получится, то обозначить за t другую функцию, но есть общий ориентир.

Общий научный ориентир: за t нужно обозначить ту функцию, которая, образно говоря, находится в «неудобном положении».

Мы видим, что в данном примере, что студент косинус «мучается» от степени, а синус – свободно так сидит, сам по себе…

Поэтому проведем замену:

.

 

Пример 15

Найти неопределенный интеграл

.

Анализируем подынтегральную функцию. Что нужно обозначить за t?

Вспоминаем наши ориентиры:

1) Функция, скорее всего, находится в знаменателе;

2) Функция находится в «неудобном положении».

Кстати, эти ориентиры справедливы не только для тригонометрических функций.

Под оба критерия (особенно под второй) подходит синус, поэтому напрашивается замена .

В принципе, замену можно уже проводить, но сначала неплохо было бы разобраться, а что делать с ? Во-первых, «отщипываем» один косинус:

.

Произведение мы резервируем под наш «будущий» дифференциал dt. А выражаем через синус с помощью основного тригонометрического тождества:

. Проводим преобразования:

Вот теперь замена:

Готово.

 

Общее правило: Если в подынтегральной функции одна из тригонометрических функций (синус или косинус) находится в нечетной степени, то нужно от нечетной степени «откусить» одну функцию, а за t – обозначить другую функцию.

Речь идет только об интегралах, где есть косинусы и синусы. В рассмотренном примере в нечетной степени у нас находился косинус, поэтому мы отщипнули от степени один косинус, а за t обозначили синус.

 

Пример 16

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.