Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Алгебраическая форма комплексного числа. Алгебра комплексных чисел
Комплексное число, как упорядоченная пара чисел, представимо как в виде точки на комплексной плоскости, так и в виде z = a + bi, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще и тригонометрическая, и показательная формы комплексного числа, о которых пойдет речь далее. Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры. Необходимо только помнить, что алгебраические действия должны производиться одновременно с обеими частями упорядоченной пары.
Сложение комплексных чисел Пример 1: Сложить два комплексных числа , Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части: Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях. Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части. Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: , – то есть «от перестановки слагаемых сумма не меняется».
Вычитание комплексных чисел Пример 2: Найти разности комплексных чисел и , если , Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака: . Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: . Рассчитаем вторую разность: Здесь действительная часть тоже составная: . Чтобы не было какой-то недосказанности, приведём пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.
Умножение комплексных чисел Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:
Пример 3: Найти произведение комплексных чисел , . Очевидно, что произведение следует записать так: Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным. Повторим школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена. Распишем подробно:
Надеюсь, всем было понятно, что . Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках. Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: . В учебной литературе легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел и вывод знаменитого равенства для i. Если хотите, пользуйтесь, но подход с умножением многочленов более понятен. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае это - забивание головы опилками.
Деление комплексных чисел Пример 4: Даны комплексные числа , . Найти частное . Составим частное: . Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на комплексно сопряженное знаменателю выражение, чтобы в знаменателе получилось действительное число. Вспоминаем бородатую формулу и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому комплексно сопряженным выражением в данном случае является , то есть . Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, помножить числитель на то же самое число : . Далее в числителе нужно раскрыть скобки, т. е. перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте. А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что i 2=-1, и не путаемся в знаках!!!). Распишем подробно: Пример мы подобрали здесь «хороший», если же взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде . В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей упростить это частное приведём правильный ответ: i.
Пример 5: Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме a + bi). Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу (a - b)(a + b) = a 2 - b 2. В знаменателе уже есть (a + b), поэтому знаменатель и числитель нужно помножить на сопряженное выражение (a - b), то есть на :
Пример 6: Даны два комплексных числа z 1 = 5 + 2 i, z 2 = 2 – 5 i. Найти их сумму, разность, произведение и частное. Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда для решения предлагается навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны, соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что: i 2=-1.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 179; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.160.154 (0.01 с.) |