Несобственные интегралы от неограниченных функций

 

Иногда такие несобственные интегралы называют несобственными интегралами второго рода. Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: .

Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция f (x) терпит бесконечный разрыв (не существует):

1) в точке ,

2) точке ,

3) в обеих точках сразу,

4) или даже на отрезке интегрирования.

Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка.

Если подынтегральной функции не существует в точке.

Рассмотрим сразу пример, чтобы было понятно:

.

Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, так как, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего предела

,

то знаменатель обращается в ноль, то есть подынтегральной функции в этой точке просто не существует!

При анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования. В этой связи проверим и верхний предел:

.

Здесь всё хорошо. Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:

Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода. Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна), либо несобственный интеграл равен конченому числу (когда площадь бесконечной фигуры – конечна!).

 

Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению a справа. Легко проследить по чертежу, что по оси OX мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва справа.

Посмотрим, как это реализуется на практике.

 

Пример 6

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (a = 3/4). Проверяем, всё ли нормально с верхним пределом.

Сначала вычислим неопределенный интеграл:

.

Выполняем замену переменных:

.

 

.

У кого возникли трудности с заменой, обратитесь к уроку Метод замены в неопределенном интеграле.

Вычислим теперь несобственный интеграл:

.

(1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела:

.

Добавка +0 обозначает, что мы стремимся к значению (3/4) оставаясь справа от него, что логично (см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом. В данном случае у нас правосторонний предел.

 

(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.

(3) Разбираемся с при . Как определить, куда стремится выражение? В него нужно просто подставить значение , подставляем три четверти и указываем, что . Причесываем ответ. В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу. В этом никакого криминала нет, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью OX.

А сейчас примеры для самостоятельного решения.

Пример 7

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

.

 

Пример 8

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

.

 

Если подынтегральной функции не существует в точке b.

Здесь всё делаем так же, за исключением того, что предел стремится к значению b слева. По оси OX мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва слева.

 

Пример 9

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

.

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке b = 3; устно проверяем, что с другим пределом интегрирования всё нормально.

Для разнообразия решим этот предел сразу – методом подведения функции под знак дифференциала. Те, кому трудно, могут сначала найти неопределенный интеграл по уже рассмотренной схеме.

Добавка (-0) обозначает, что предел у нас левосторонний, и к точке b =3 мы приближаемся по оси OX слева, оставаясь меньше 3.

Разбираемся, почему дробь

(это лучше делать устно или на черновике).

Подставляем под корень предельное значение b = 3 - 0.

и тогда

.

Окончательно:

.

Несобственный интеграл расходится.

Знак минус обозначает, что соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью OX. Будьте очень внимательны в знаках.

Да, конечно, здесь несобственный интеграл расходится, но и – это разные вещи, разные жанры, и если Вы недосмотрите за знаками, то, строго говоря, допустите серьезную ошибку.

И заключительные два примера для самостоятельного рассмотрения:

Пример 10

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

.

 

Пример 11

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

.

 

 

Разбор ситуации, когда оба предела интегрирования «плохие», или точка разрыва содержится прямо на отрезке интегрирования, можно найти в статье Эффективные методы решения определённых и несобственных интегралов.

 

 

Решения и ответы:

Пример 4: Решение:

.

Подынтегральная функция непрерывна на .

Пример 5: Решение:

.

Подынтегральная функция непрерывна на .

.

Несобственный интеграл расходится.

Пример 7: Решение:

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке

Несобственный интеграл расходится.

Примечание: с пределом выражения

можно разобраться следующим образом: вместо подставляем (-1)+0:

Пример 8: Решение:

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке

Примечание: Разбираемся в пределе выражения . Если , то

(см. график логарифмической функции!), тогда:

.

Именно эти соображения и помечаются, как

.

Пример 10: Решение:

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке b = 1

Пример 11: Решение:

.

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке

.

Несобственный интеграл расходится

Примечание: Разбираемся в пределе выражения

.

Если

, то

, и тогда

.

Будьте очень внимательны в знаках!