Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Производная и дифференциал функции↑ Стр 1 из 2Следующая ⇒ Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Т.Н. Ерохина
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Учебное пособие Барнаул 2005 Т.Н. Ерохина
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Учебное пособие Барнаул 2005
Ерохина Т.Н. Сборник задач и упражнений по математике: учебное пособие.-Барнаул,2005,-46 С.
Учебное пособие составлено с учетом Государственного стандарта среднего профессионального образования. В пособии подобран теоретический и практический материал для освоения программы дисциплины «Математика». Материал изложен в доступной форме, с соблюдением должной математической строгости. Приводятся решения типовых примеров и задач, что способствует лучшему пониманию учебного материала. В конце каждой темы имеются упражнения для самостоятельной решения. Данный материал предназначен в первую очередь для студентов торгово-экономического колледжа дневной, заочной и дистанционной форм обучения. Может быть использован преподавателями и студентами других учебных заведений, а также для самостоятельного обучения. Рецензент: Л.В. Болгерт преподаватель информатики БТЭК © Издательство 2005 Содержание
Предисловие.................................................................................... 4 1 Предел функции.......................................................................... 5 Упражнения................................................................................ 10 2 Производная и дифференциал функции.............................. 11 Упражнения................................................................................ 26 3 Неопределенный интеграл...................................................... 30 Упражнения................................................................................ 36 4 Определенный интеграл.......................................................... 38 Упражнения................................................................................ 44 Список использованных источников....................................... 46
Предисловие
В учебном пособии раскрывается содержание основных понятий и теорем курса математического анализа на специально подобранных упражнениях и задачах. В каждом разделе приводятся краткие теоретические сведения, состоящие из определений и основных математических понятий. Первый раздел посвящен пределу функции, второй – производной функции, третий и четвертый – интегральному исчислению. В пособии подобраны типовые задачи и приводятся их решения. В каждом разделе содержаться упражнения для самостоятельной работы. Пособие рекомендуется для практических занятий всех форм обучения БТЭК. Автор считает своим долгом выразить искреннюю признательность студентам и преподавателям, высказывающим критические замечания и предложения, способствующие улучшению данного пособия в будущем. Предел функции
Число а называется пределом числовой последовательности х1, х2, х3… хn, если для всякого сколь угодно малого положительного числа Е найдется такое положительное число N, что çхn – aç< Е при n>N. В этом случае пишут . Число А называется пределом функции f (x) при х → а, если для любого сколь угодно малого Е > 0 найдется такое δ > 0, что çf(x) – Aç < Е при 0<çх – аç < δ.
Аналогично , если çf(x)-Aç< Е при çхç>N. Условно записывают , если çf(x)ç>М при 0<çх-аç<δ, где М – производное положительное число. В этом случае функция f(x) называется бесконечно большой при х→а. Если , то функция a(x) называется бесконечно малой при х→а. Вычисление приделов основывается на следующих теоремах и их следствиях. Если существуют и , то . . , если g(x)≠0. , где с=const. . . Пример 1 Вычислить . Воспользуемся теоремой о пределе разности и суммы, получим Таким образом, для вычисления предела многочлена f (x) при х → х0 достаточно вместо переменной х поставить значение х0, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия, т.е. Пример 2 Вычислить . Предел отношения двух многочленов, , где х0 – число. Если q(х0) ≠ 0, то можно применить теорему о пределе частного. Здесь и .Так как , то имеем: . Пример 3 Вычислить . Если , то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если , то . Если же имеем неопределенность вида , в этом случае предел можно вычислить разложением многочленов на множители или заменой . Разложим на множители числитель и знаменатель. . Пример 4 Вычислить . Здесь , , имеет место неопределенность вида . I Способ решения: Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу: , где ; корни квадратного уравнения. D = b2 – 4ac дискриминант. Решим уравнение . Его корни ; . . ; . . II Способ решения: Введем замену: , , так как , то . Пример 5 Вычислить . , . Имеет место неопределенность вида . Преобразуем дробь, стоящую под знаком предела, умножив числитель и знаменатель на сопряженное числителя. Пример 6 Вычислить . Данный предел представляет отношение многочленов при . По свойствам бесконечно больших функций , где , - бесконечно большая функция, - бесконечно малая функция. . . Пример 7 Вычислить . В числителе - бесконечно большая функция. По свойствам бесконечно больших функций , где , - бесконечно большие функции. . Пример 8 Вычислить . Имеет место неопределенность вида . Вынесем в числителе и знаменателе аргумент со старшей степенью. . Упражнения Вычислить пределы (1.1-1.46): 1.1 ; 1.2 ; 1.3 ; 1.4 ; 1.5 ; 1.6 ; 1.7 ; 1.8 ; 1.9 ; 1.10 ; 1.11 ; 1.12 ; 1.13 ; 1.14 ; 1.15 ; 1.16 ; 1.17 ; 1.18 ; 1.19 ; 1.20 ; 1.21 ; 1.22 ; 1.23 ; 1.24 ; 1.25 ; 1.26 ; 1.27 ; 1.28 ; 1.29 ; 1.30 ; 1.31 ; 1.32 ;1.33 ; 1.34 ; 1.35 ; 1.36 ; 1.37 ; 1.38 ; 1.39 ; 1.40 ; 1.41 ; 1.42 ; 1.43 ; 1.44 ; 1.45 ; 1.46 . Правила дифференцирования 1. 2. , где 3. 4.
Таблица производных
- дифференциал функции , где - дифференциал независимой переменной х. Пример 1 Найти производные функций: а) ; б) ; в) . Решение: а) Применим правила дифференцирования. Пример 2 Найти производные функций: а) ; б) . Решение: Данные функции являются сложными степенными . б) . Пример 3 Найти производные функции: а) ; б) ; в) ; Решение: а) Функция сложная , где , . . б) Функция сложная , где , , . в) Функция сложная , где , , . Упражнения Найти производные функции (2.1-2.43): 2.1 ; 2.2 ; 2.3 ; 2.4 ; 2.5 ; 2.6 ; 2.7 ; 2.8 ; 2.9 ; 2.10 ; 2.11 ; 2.12 Найти ; 2.13 ; 2.14 ; 2.15 ; 2.16 ; 2.17 ; 2.18 ; 2.19 ; 2.20 Найти ; 2.21 ; 2.22 ; 2.23 ; 2.24 ; 2.25 ; 2.26 ; 2.27 ; 2.28 ; 2.29 ; 2.30 ; 2.31 ; 2.32 Найти ; 2.33 ; 2.34 Найти ; 2.35. ; 2.36 ; 2.37 ; 2.38 ; 2.39 ; 2.40 ; 2.41 ; 2.42 ; 2.43 . Найти производные и дифференциалы функций (2.44-2.54): 2.44 ; 2.45 ; 2.46 ; 2.47 ; 2.48 ; 2.49 ; 2.50 ; 2.51 ; 2.52 ; 2.53 ; 2.54 . Найти производные высших порядков (2.55-2.62) 2.55 Найти . 2.56 Найти . 2.57 Найти . 2.58 Найти . 2.59 Найти . 2.60 Найти 2.61 Найти. 2.62 Найти. Найти интервалы монотонности функций (2.63-2.70): 2.63 ; 2.64 ; 2.65 ; 2.66 ; 2.67 ; 2.68 ; 2.69 ; 2.70 . Исследовать с помощью первой производной функции на экстремум (2.71-2.78): 2.71 ; 2.72 ; 2.73 ; 2.74 ; 2.75 ; 2.76 ; 2.77 ; 2.78 . Исследовать с помощью второй производной функции на экстремум (2.79-2.85): 2.79 ; 2.80 ; 2.81 ; 2.82 ; 2.83 ; 2.84 ; 2.85 . Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости следующих кривых (2.86-2.95): 2.86 ; 2.87 ; 2.88 ; 2.89 ; 2.90 ; 2.91 ; 2.92 ; 2.93 ; 2.94 ; 2.95 . Исследовать функции и построить их график (2.96-2.104): 2.96 ; 2.97 ; 2.98 ; 2.99 ; 2.100 ; 2.101 ; 2.102 ; 2.103 ; 2.104 . Неопределенный интеграл
Функция F(х) называется первообразной для функции f (x), если или . Если функция f(х) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении ; где С – постоянная. Неопределенным интегралом от функции f (x) называется совокупность всех ее первообразных. – знак интеграла, f (x) подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования. Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием. Основные интегралы. 1) , n ≠ -1, 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) , 8) , 9) , 10) , 11) , 12) , 13) , 14) , 15) , 16) , 17) . Методы интегрирования I. Непосредственное интегрирование: подынтегральное выражение путем преобразований и использования свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. Пример 1 Вычислить . Разделим числитель на знаменатель, получим
Пример 2 Найти . Приведем подынтегральные выражения к степенным . Пример 3 Найти . Раскроем скобки . Пример 4 Найти . Результат проверить дифференцированием. Преобразуем знаменатель . Проверим результат . Получили подынтегральную функцию, интеграл найден верно.
II. Замена переменной в неопределенном интеграле: замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: 1) , где - монотонная, непрерывная дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид ; 2) , где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой постановке: Пример 5 Найти . Приведем подынтегральное выражение к табличному с помощью замены . Найдем дифференциал от обеих частей подстановки: , откуда . Следовательно, . Пример 6 Найти . Так как производная выражения равна , применим подстановку . Дифференциал от обеих частей равен , . . Пример 7 Найти . Во многих случаях нет необходимости записывать, какое выражение мы принимаем за новую переменную. . III. Интегрирование по частям: интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле ; где , - непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за U берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден. Пример 8 Найти . Положим , , тогда . Следовательно,
Пример 9 Найти . Положим , , тогда , . Следовательно,
Пример 10 Найти . Положим , , тогда , . Следовательно, . Вновь применим формулу интегрирования по частям. Положим , , тогда , . Таким образом, Так как в правой части стоит искомый интеграл, то перенесем его в левую часть получим Упражнения Найти интегралы (3.1-3.61): 3.1 ; 3.2 ; 3.3 ; 3.4 ; 3.5 ; 3.6 ; 3.7 ; 3.8 ; 3.9 ; 3.10 ; 3.11 ; 3.12 ; 3.13 ; 3.14 ; 3.15 ; 3.16 ; 3.17 ; 3.18 ; 3.19 ; 3.20 ; 3.21 ; 3.22 ; 3.23 ; 3.24 ; 3.25 ; 3.26 ; 3.27 ; 3.28 ; 3.29 ; 3.30 ; 3.31 ; 3.32 ; 3.33 ; 3.34 ; 3.35 ; 3.36 ; 3.37 ; 3.38. ; 3.39 ; 3.40 ; 3.41 ; 3.42 ; 3.43 ; 3.44 ; 3.45 ; 3.46 ; 3.47 ; 3.48 ; 3.49 ; 3.50 ; 3.51 ; 3.52 ; 3.53 ; 3.54 ; 3.55 ; 3.56 ; 3.57 ; 3.58 ; 3.59 ; 3.60 ; 3.61 .
Определенный интеграл
Определенным интегралом от функции на отрезке [a; b] (или в пределах от a до b) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (max Δxк) стремится к нулю:
Если функция непрерывна на [a; b], то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на элементарные отрезки и от выбора точек . Числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования. Упражнения Вычислить интегралы (4.1-4.37): 4.1 ; 4.2 ; 4.3 ; 4.4 ; 4.5 ; 4.6 ; 4.7 ; 4.8 ; 4.9 ; 4.10 ; 4.11 ; 4.12 ; 4.13 4.14 ; 4.15 ; 4.16 ; 4.17 ; 4.18 ; 4.19 ; 4.20 ; 4.21 ; 4.22 ; 4.23 ; 4.24 ; 4.25 ; 4.26 ; 4.27 ; 4.28 ; 4.29 ; 4.30 ; 4.31 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Поделиться: |
Познавательные статьи:
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-01; просмотров: 291; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!
infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.219.255.63 (0.012 с.)